ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 1

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1 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda Ecuaciones Objetivos. Resolver en R ecuaciones lineales, cuadráticas, de grado mayor o igual que, con valor absoluto, con radicales, fraccionarias y polinomiales (grado mayor que ) que admiten factorización por división sintética o fórmula general.. Resolver en R inecuaciones lineales, cuadráticas (de grado mayor o igual que ), con valor absoluto fraccionarias y polinomiales (grado mayor que ) que admiten factorización por división sintética o fórmula general. Temas. Ecuaciones lineales.. Ecuaciones cuadráticas (de grado mayor o igual que ).. Ecuaciones polinomiales (de grado mayor que ). 4. Ecuaciones fraccionarias. Ecuaciones con radicales. 6. Ecuaciones con valor absoluto. 7. Inecuaciones lineales. 8. Inecuaciones cuadráticas (de grado mayor o igual que ). 9. Inecuaciones polinomiales (de grado mayor que ). 0. Inecuaciones fraccionarias.. Inecuaciones con valor absoluto.

2 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda De nición Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en una o más variables. En este curso se resuelven únicamente ecuaciones en una incógnita. La(s) solución(es) de una ecuación es el valor(es) real(es) que asume la variable tal que la proposición resultante es verdadera. Ejemplo Hallar el conjunto solución de x + = 6 = x + x + 6 = : 6 = x + 6 = x + x = S = Ejemplo Hallar el conjunto solución de 4x(x + )( x + 6) = 0. Para solucionar ésta ecuación se usa la propiedad a b = 0 () a = 0 _ b = 0 =) 4x(x + )( x + 6) = 0 () 4x = 0 _ x + = 0 _ x + 6 = 0 () x = 0 _ x = _ x = 6 S = 0; 6;

3 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda Ejemplo Hallar el conjunto solución de x x x x x + = x + = x +, 6x + = x + 9x = x = x + x = 9 S = 9 Ejemplo 4 Hallar el conjunto solución de x = 0 x = 0 () x = () x = () x = p p p () x = _ x = S = p p ; Ejemplo Hallar el conjunto solución de (n + ) = (n + ) = 9n + 6n + = 9n + 6n 4 = 0 4 S = ;

4 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 4 Ejemplo 6 Hallar el conjunto solución de (x ) + = (x ) + = (x 0x + 4) + = 0x 40x = 0 0x 40x = 0 Por fórmula general tenemos que p S = 0 + ; p 0 Ejemplo 7 Hallar el conjunto solución de x + kx 0k = 0 x + kx 0k = (x k) (x + k) = 0 ) S = f k; kg Ejemplo 8 Hallar el conjunto solución de x 4 x + 6 = 0 Sea u = x =) x 4 x + 6 = u + u + 6 = (u )(u ) (u )(u ) = 0 () u = _ u = Como u = x se tiene x = _ x = S = p p p p ; ; ;

5 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda Ejemplo 9 Hallar el conjunto solución de x + p x + 6 = 0 x p x + 6 = x x + 6 Sea u = x x x + 6 = u u + 6 = (u )(u ) (u )(u ) = 0 () u = _ u = Como u = x se tiene x = _ x = S = f9; 4g Ejemplo 0 Resolver en R la ecuación x + x + = x + 4 x + 4 Obtener las restricciones (valores en los cuales el denominador se hace cero) x + 6= 0 ^ x + 6= 0; por lo que x 6= ^ x 6= Por qué no se hace lo mismo con x + y x + 4? x + x + = 4 se efectúan las operaciones x + x + 4, (x + ) (x + ) (x + )(x + ) = (x + ) 4(x + ) (x + )(x + ) aplicando la propiedad a b = c, a = c; b 6= 0 b ) x + 4 4x 4 = x + 6 4x 4, x + x =, x = posible solución Como es una de las restricciones, se tiene S = fg

6 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 6 Ejemplo Determinar el conjunto solución de p x + + p x = p x + + p x =, p x + = p x se despeja un radical, p x + = p x se eleva a potencia, x + = x 0 p x + se realizan operaciones, 0 p x = 0 se despeja el radical, p x =, x = 4 se eleva al cuadrado, x = 6 posible solución, compruebe que 6 es solución. S = f6g Ecuaciones con valor absoluto Tipos de ecuaciones con valor absoluto: jp(x)j = a; jp(x)j = jq(x)j ; jp(x)j + jq(x)j = a con a R + [ f0g; p(x); q(x) expresiones algebraicas en x: Ejemplo Determinar el conjunto solución de j xj = x + 4 j xj = x x si x 0, x ]; ] si x < 0, x ]; [ Caso : Si x ] ; ]: j xj = x + 4, ( x) = x + 4, x = 7 ] ; ] por lo tanto S = Caso. x ]; +[ j xj = x + 4, (x ) = x + 4, x = 4 =]; +[ ) S =? 7

7 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 7 S = S [ S = 7 Ejemplo Determinar el conjunto solución de jx + j jx j = 4 Se de ne cada valor absoluto x + jx + j = (x + ) x jx j = (x ) si x si x < si x si x < y Una tabla que resume ambos valores absolutos deja ver con más claridad los intervalos a considerar Caso. Si x ] ; [ : x ( x) = 4, x 9 + x = 4, x = 7 = ] ; [ ) S =? Caso. Si x [ ; [ x + ( x) = 4 jx + j x x + x + jx j x x x, x x = 4, x = 4 [ ; [) S = Caso. Si x ]; +[ x + (x ) = 4, x + x + 9 = 4, x = ]; +[) S = 4

8 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 8 S = 4 ; Ejemplo 4 Hallar el conjunto solución de 4p (x + ) 4 = 0 p 4 (x + )4 = 0, jx + j = 0 x + = 0 ) x = 9 x = 0 ) x =

9 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 9 Inecuaciones De nición Una inecuación es la comparación de dos expresiones algebraicas en una o más variables mediante uno de los símbolos >, <, ó : Inecuación cuadrática Ejemplo Determinar el conjunto solución de x x 6 < 0 Se trata de una desigualdad polinomial de grado, el método para resolverla es. Se factoriza x x 6 obteniendo (x )(x + ). Se determinan los ceros de cada uno de los factores, es decir, x = ^x =. Se construye un cuadro de variación de signos de cada uno de los factores y de la expresión algebraica originalde la siguiente forma + x + x (x )(x + ) Como x x 6 < 0 la expresión x x 6 debe ser negativa. Esa condición se da solo cuando x ] ; [:El intervalo debe ser abierto en los extremos porque en tales valores el polinomio se hace cero y no menor que cero.

10 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 0 Inecuación racional S =] ; [ Ejemplo 6 Determinar el conjunto solución de x + x > Como no se sabe el signo de x, (recuerde que x R) no se puede multiplicar por x ambos lados de la desigualdad (si fuera positivo la desigualdad se mantiene. Pero si fuera negativo, se debe invertir la desigualdad) Se compara con cero: x + x > 0 y se efectúan operaciones y se factoriza: x + (x ) = x x > 0 El cero del numerador es x = y el del denominador es x = (restricción) + x + + x + + (x ) + x La expresión (x ) es positiva en el intervalo ]; [ x S =]; [ Inecuación con valor absoluto Ejemplo 7 Determinar el conjunto solución de jx + j j xj < 0 jx + j = x + (x + ) si x si x < y j xj = ( x) x si x si x < Una tabla que resume ambos valores absolutos deja ver con más claridad los intervalos a considerar

11 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda jx + j x x + x + j xj x x x Caso. Si x ] ; [ jx + j j xj < 0 ) (x + ) ( x) < 0, x x < 0, x < 0, x > 4 ) S =] 4; [\] ; [=] 4; [ Caso. Si x [ ; ] jx + j j xj < 0, (x + ) ( x) < 0, x x < 0, x < 4, x < 4 ) S = ; 4 \ [ ; ] = ; 4 Caso. Si x ]; +[ jx + j j xj < 0, (x + ) (x ) < 0, x x < 0, x < 4 ) S =] ; 4[\]; + =]; +[ En cada caso se encontró un intervalo solución. La solución general es la unión de las soluciones particulares. S =] 4; [\ ; 4 \]; +[ = 4; 4