INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES.

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1 Curso ON LINE "Ejercicios resueltos" INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES. INECUACIONES DE PIME GADO CON UNA INCÓGNITA 0 + 4x 3x + 5 > x x 3/4E/ x < 0 4x 3x x x > x > 0 OJO!!! Si c < 0 a > b a c < b c x < 0 (, 0) ], 0[ epresentación gráfica 0 7(x ) + (x ) 3(x + ) 5 (x + ) + x 3/4E/ 7x 7 + x 3x 3 5x 5 + x 7x + x 3x + 5x x x La inecuación se verifica para cualquier valor de x 0 x (, + ) ], + [ epresentación gráfica 0 00 m.c.m: 04 x m.c.m: 0 x > x x x + x (x - ) - 6 ( x - ) - ( x+) x - 5 8x - 4-6x + - x - x - 5 8x - 6x - x - x x OJO!!! Si c < 0 a b a c b c x [, + ) [, + [ epresentación gráfica 3x 3 4x + 8 x < x + 3/4E/ 5 4 ( /3, + ) 3 ] /3, + [ 4(3x 3) 0(4x + 8) < 5x 0x + 0 x 40x 80 < 5x 0x + 0 x 40x 5x + 0x < x < OJO!!! Si c < 0 a < b a c > b c 3x > epresentación gráfica /3 3/4E/

2 Abel Martín "INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES" x x x x m.c.m: 39 x 5 4 (x - ) - 6 ( x - ) - ( x - ) x x - 4-6x + - x + x x - 6x - x - x x 39 OJO!!! Si c < 0 a b a c b c 5x 39 [39/5, + ) [39/5, + [ epresentación gráfica 0 39/5 3/4E/ 035 m.c.m. x 9/7 ( x ) 4 x + 3x 3 3 x x + 3/4E/ 6 (x ) 4 ( + 3x) (3 x) x + 4 6x x 3 x x + 4 6x x + x + x x 9 x 9/7 [9/7, + ) [9/7, + [ ( x + ) < x + ( x + ) m.c.m: 6 3x 8(x + ) < x + (x + ) 3x 8x 8 < x + x + 4 3x 8x x x < x < OJO!!! Si c < 0 a < b a c > b c 0 epresentación gráfica 4.4 3/4E/ ( /9, + ) x > 9 ] /9, + [ 9x > epresentación gráfica /9 ESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE INECUACIONES CON INCÓGNITA esolver un sistema de inecuaciones es buscar la solución común en todas y cada una de las inecuaciones que constituyen el sistema x < x 6x 4 > 3 x 3x x < x < x < 6x + x > x > 7 x > 0 4E/ No existe ningún valor eal de x que verifique simultáneamente ambas inecuaciones epresentación gráfica Matemáticas y TIC

3 Curso ON LINE "Ejercicios resueltos" 0 x > x < x > x 0 x < 6 x 0 x < 3 4E/ 0 x < 0 3 epresentación gráfica 0 [0, ) [0, [ 0 x 5 3 x x x + 3 x x 0 x x 3 x 3 x 3 x 0 4E/ 0 3 No existe ningún valor eal de x que verifique simultáneamente todas las inecuaciones epresentación gráfica 05 x + 3x 4 x x 4E/ x + 3x 4 4x 4 x x x x + x 0 3 3x 7 x 7/3 x epresentación gráfica 3x 5x ( x + 3) x mcm: 0x + 3x + 0 0x - 3x 0-7x 8 x 8/7 x.33 [,.33] (x + 3) x x + 6 x x - x - 6 x - 6 4E/

4 Abel Martín "INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES" - 6 8/7 6 x 8/7 [ 6, 8/7] epresentación gráfica - 6 8/7 INECUACIONES DE PIME GADO CON INCÓGNITAS 009 y 4 4E/ x y 4 y y 4 Comprobación: Punto (0, 0) y NO 00 x + y 4E/ x + y x y 0 0 x + y Comprobación: Punto (0, 0) x + y 0 SÍ 0 y < x 5 4E/ y x 5 x y y < x 5 Comprobación: Punto (0, 0) y < x 5 0 < 5 NO ESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE INECUACIONES DE PIME GADO CON INCÓGNITAS y x y x 3 00 x 0 y 0 4E/ y x y x 3 y x 3 x y x y 0 y x Matemáticas y TIC

5 Curso ON LINE "Ejercicios resueltos" ESOLUCIÓN VISUAL CON CALCULADOA GÁFICA y x y +x x 0 y 3 + x y 0 [0, 000] y 3x + y 4x y 0 y 4 x 0 4E/ y 3x + y 4x + 6 x y x y ESOLUCIÓN VISUAL CON CALCULADOA GÁFICA y 3x+ y 4x+6 y 4 x 0 y 0 [0, 000] x + y 0 x 0 03 x 0 y 0 x + y 0 x 0 y 0 x y x y x + y 0 0 y E/ 4 x ESOLUCIÓN VISUAL CON CALCULADOA GÁFICA x + y 0 y 0 x 0 x y x 0 x 0 y 0 [0, 0] x + y 0 x 07 x 7 x y y 0 4E/

6 Abel Martín "INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES" x + y 0 x 7 y x y x x y x y y 0 x + y x 0 0 ESOLUCIÓN VISUAL CON CALCULADOA GÁFICA y 0 x x x 7 y x y 0 [, 7] x x 7 ESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GADO 008 x x E/ Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de º grado x ± 4 ( 35) ± (x 7)(x + 5) 0 ± Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: Estos valores determinan 3 intervalos en la recta real: x 7 x (x 7) (x + 5) (x 7)(x + 5) 0? x < SÍ - 5 < x < 7 + NO x > 7 + SÍ x /x 5 x 7 epresentación gráfica x x 0 4E/ Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de º grado x ± 4 ( ) ± + 8 ± 3 (x )(x + ) 0 x x Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: Estos valores determinan 3 intervalos en la recta real: x x 6 Matemáticas y TIC

7 Curso ON LINE "Ejercicios resueltos" (x ) (x + ) (x )(x + ) Verifica la inecuación? 0 x < + SÍ < x < + NO x > SÍ x /x x epresentación gráfica 00 x 6x + 9 < 0 4E/ ESOLUCIÓN MÉTODO : Se trata de un trinomio cuadrado perfecto: (x 3) < 0 Como el cuadrado de una expresión eal siempre el positivo: No existe ningún valor eal de "x" que verifique la inecuación ESOLUCIÓN MÉTODO : epresentación gráfica Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de º grado x 6 ± ± (x 3)(x 3) < 0 6 ± Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: x 3 x 3 Este valor determina intervalos en la recta real: 3 (x 3) (x 3) (x 3)(x 3) < 0? x < 3 + NO x > NO No existe ningún valor eal de "x" que verifique la inecuación epresentación gráfica 06 x + 0x + 5 < 0 4E/ ESOLUCIÓN MÉTODO : Se trata de un trinomio cuadrado perfecto: (x + 5) < 0 Como el cuadrado de una expresión eal siempre el positivo: No existe ningún valor eal de "x" que verifique la inecuación ESOLUCIÓN MÉTODO : epresentación gráfica Se trata de un trinomio cuadrado perfecto: (x + 5) < 0 Comprobamos los valores que nos hacen cero la expresión:

8 Abel Martín "INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES" Este valor determina intervalos en la recta real: x 5 No existe ningún valor eal de "x" que verifique la inecuación (x + 5) < 0 x < 5 + NO x > 5 + NO 5 epresentación gráfica 07 x + 3 x 9 < 0 4E/ m.c.m.: 9 9x + 6x < 0 multiplicamos ambos miembros por ( ) 9x 6x + > 0 Se trata de un trinomio cuadrado perfecto: (3x ) > 0 ESOLUCIÓN MÉTODO : Como el cuadrado de una expresión eal siempre el positivo: epresentación gráfica x /3 ESOLUCIÓN MÉTODO : Comprobamos los valores que nos hacen cero la expresión: 3x 0 3x x /3 Este valor determina intervalos en la recta real: x (3x ) > 0 x < /3 + SÍ x > /3 + SÍ /3 epresentación gráfica /3 ESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PIME GADO CON LA INCÓGNITA EN EL DENOMINADO x x + 7 m.c.m. x + 7 x x + 7 x 5 + x + 7 3x + 0 x + 7 x Matemáticas y TIC

9 Curso ON LINE "Ejercicios resueltos" Comprobamos los valores que nos hacen cero el numerador y el denominador: Numerador: 3x + 0 3x x /3 x 0.66 Denominador: x x 7 Estos valores determinan 3 intervalos en la recta real: x + x + 7 3x + x + 7 3x + 0? x + 7 x < 7 + NO 7 < x < /3 + SÍ x > / NO OJO!!! el valor que hace 0 el denominador no pertenece a la solución. eepprreesseennt taacci ióónn ggrrááf ficcaa x / 7 < x < /3 ( 7, /3] ] 7, /3] m.c.m. 7 x 7 /3 x x x + 5 3(7 x) 0 7 x x x x x 7 x 0 4x x Comprobamos los valores que hacen cero el numerador y el denominador: Numerador: 4x x 4 x Denominador: 7 x 0 x 7 Estos valores determinan 3 intervalos en la recta real: 4x x 4x x 7 Verifica la inecuación? 4x + 4 0? 7 x x < + NO < x < SÍ x > 7 + NO 00 OJO!!! el valor que hace 0 el denominador no pertenece a la solución. x / x < 7 [, 7) [, 7[ m.c.m. x x + 3 x x x epresentación gráfica

10 Abel Martín "INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES" x + 3 ( x ) x + 3 x + x x x x Comprobamos los valores que nos hacen cero el numerador y el denominador: Numerador: x x - 5 Denominador: x 0 x Estos valores determinan 3 intervalos en la recta real: 5 x + 5 x x + 5 x x + 5 0? x x < 5 + SÍ 5 < x < + NO x > SÍ OJO!!! el valor que hace 0 el denominador no pertenece a la solución. epresentación gráfica x /x 5 x > 5 0 x + 3 x x + 3 x 0 m.c.m. x x + 3 ( x ) x 0 x + 3 x + x 0 x + 4 x 0 Comprobamos los valores que nos hacen cero el numerador y el denominador: Numerador: x x - 4 Denominador: x 0 x Estos valores determinan 3 intervalos en la recta real: 4 x + 4 x x + 4 x x + 4 0? x x < 4 + SÍ 4 < x < + NO x > SÍ OJO!!! el valor que hace 0 el denominador no pertenece a la solución. epresentación gráfica x /x 4 x > x ESOLUCIÓN MÉTODO Comprobamos los valores que hacen cero el denominador: 0 Matemáticas y TIC

11 Curso ON LINE "Ejercicios resueltos" Denominador: + x 0 x - Este valor determina intervalos en la recta real: 5 + x 5 + x 5 + x 0? x /x > 5 (, + ) ] -, + [ ESOLUCIÓN MÉTODO x < + NO x > + SÍ OJO!!! el valor que hace 0 el denominador no pertenece a la solución. Pensemos un poco!!! 5 < 0 epresentación gráfica 5 será menor o igual que 0 cuando el denominador sea positivo + x + x > 0 x > ESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE TECE GADO O SUPEIO 007 x 3 5x + 6x 0.- Se puede sacar factor común: x (x - 5x + 6).- Trinomio cuadrado perfecto: NO 3.- Diferencia de cuadrados: NO Factorizamos por el método de uffini: x (x - ) (x 3) 0 Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: x 0 ; x ; x 3 Estos 3 valores determinan 4 intervalos en la recta real: 0 3 x (x ) (x + 3) x (x - ) (x + 3) 0 x < 0 SÍ 0 < x < + + NO < x < SÍ x > NO epresentación gráfica { x / x 0 x 3} x 3 + 4x + x

12 Abel Martín "INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES".- Se puede sacar factor común: x(x + x + ).- Trinomio cuadrado perfecto: x (x + ) 0 Comprobamos los valores que hacen cero cada uno de los factores: x 0 ; x Estos valores determinan 3 intervalos en la recta real: 0 x (x + ) x(x + ) 0? x < + NO < x < 0 + NO x > SÍ x / x 0 epresentación gráfica (x ) 3 + x < Desarrollamos la expresión: x 3 + ( ) 3 + 3x ( ) + 3 x( ) + x < x 3 3x + 3x + x < x 3 3x + 5x < x 3 3x + 5x 3 < 0 Factorizamos la expresión por el método de uffini: (x )(x x + 3) < 0 Seguimos factorizando con la ayuda de la fórmula de la ecuación de º grado ± 4 3 ± 4 ± 8 x Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: x Este valor determina intervalos en la recta real: (x ) x x + 3 (x ) (x x + 3) < 0 x < + - SÍ x > NO { x / x < } epresentación gráfica ESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALO ABSOLUTO Matemáticas y TIC

13 Curso ON LINE "Ejercicios resueltos" 00 x + 5 Se puede aplicar la propiedad: Si a 0 x a a x a 5 x x x 3 OJO!!! Si c < 0 a b a c b c 7 x 3 7 x x.5.5 x x/3 + 5 Se puede aplicar la propiedad: Si a 0 x a a x a x x x OJO!!! Si c < 0 a b a c b c 7 3 x x x 9 9 x 9 0 ( 3/) x Se puede aplicar la propiedad: Si a 0 x a a x a 3 3 x x x OJO!!! Si c < 0 a b a c b c 3 4 x 3 4 x /3 x 4/3 4/3 x 8/3 4/3 8/ x 5 Se puede aplicar la propiedad: Si a 0 x a a x a 5 5 3x x x 0 OJO!!! Si c < 0 a b a c b c 0 x 0/3 0 3x 0 0/3 x 0 0 0/3 09 (/)x 3 x + Pueden ocurrir cosas: (/) x 3 0 (/) x 3 < 0 Si (/) x

14 Abel Martín "INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES" (/) x 3 0 La inecuación sería: x 3 x + x 6 0 x 6 x 6 x + 4 x x x 0 x 0 Si (/) x 3 < INTESECCIÓN: x 6 (/) x 3 < 0 La inecuación sería: x + 3 x + x 6 < 0 x < 6 x + 6 x + 4 3x 3x x /3 Efectuamos la unión gráfica de ambas soluciones: /3 6 INTESECCIÓN: /3 x < 6 /3 6 SOLUCIÓN algebraica: x / x /3 [/3, + ) [/3, + [ 00 x 3 3x + En este caso NO PODEMOS aplicar la propiedad: Si a 0 x a a x a Así que lo resolveremos a través del estudio de hipótesis: Pueden ocurrir cosas: x 3 0 x 3 < 0 Si x 3 0 x 3 0 x 3 La inecuación sería: (x 3) 3x + x + 3 3x + x 3x 3 4x 4 4x 4 x 3 INTESECCIÓN: x 3 Si x 3 < 0 x 3 < 0 x < 3 La inecuación sería: ( x + 3) 3x + + x 3 3x + x 3x x INTESECCIÓN: x x < 3 x Efectuamos la unión gráfica de ambas soluciones: 3 SOLUCIÓN algebraica: x / x [, + ) [, + [ 4 Matemáticas y TIC