PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción
|
|
- Ramón Ortega Escobar
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G.B.Danzig, matemático estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en ordenadores. 2. Inecuaciones lineales con dos variables Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by c (donde el símbolo puede ser también, <, o bien, >), donde a, b y c son números reales y x e y las incógnitas. Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de las incógnitas que verifican dicha inecuación. El conjunto de estos valores se denomina solución general de la inecuación. Una solución particular de la inecuación es un par de valores cualquiera que satisfaga dicha inecuación. Dos o más inecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Para resolver estas inecuaciones, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al plano. Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación 2x + 3y 3, representamos en primer lugar la recta 2x +3y = 3.
2 Dicha recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para saber qué parte seguiremos el siguiente procedimiento: Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1, 2). Para que dicho punto sea solución, tendrá que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimos en la inecuación inicial el punto elegido (1, 2): Como esta última desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el punto (1, 2) es una solución particular de la inecuación y por tanto el semiplano que contiene a dicho punto (1, 2) es la solución general, es decir, la solución general es el semiplano superior. Si hubiéramos elegido el punto (0, 0), al sustituir en la inecuación, tendríamos que: Esta última desigualdad es evidentemente falsa, y por tanto concluimos que el punto (0, 0) no es una solución particular de la inecuación, y por tanto el semiplano que contiene a dicho punto (0, 0) no es la solución, general. La solución general de la inecuación es el otro semiplano, es decir, el semiplano superior. En ambos casos se llega a que la solución general del sistema es: 3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales con dos incógnitas. Llamaremos región factible al conjunto de puntos (x, y) que satisfacen todas las desigualdades que forman el sistema y que constituyen la solución general. La región factible se puede calcular hallando la intersección de las regiones que son solución de cada una de las inecuaciones que forman el sistema.
3 Ejemplo: 2x+ 3y 3 Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: x 0 y 0 En primer lugar representamos las rectas 2x +3y = 3, x = 0 e y = 0 y posteriormente seleccionamos el semiplano solución de cada una de las desigualdades que forman el sistema: 2x + 3y 3 x 0 y 0 La región factible, que es la zona intersección de las tres zonas anteriores es: El triángulo rayado es la solución del sistema. La solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto convexo que puede ser acotado o no. La frontera de este conjunto puede pertenecer o no a la solución, dependiendo de si las inecuaciones iniciales son estrictas (< ó >) o no ( ó ). Llamaremos vértices a los puntos que son intersección de las rectas frontera. Su cálculo es sencillo, pues se reduce a resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, que se obtienen al igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes. En el ejemplo anterior, los calcularíamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas: 2x+ 3y = 3 x = 0 (1) 2x+ 3y = 3 x = 0 (2) (3) y = 0 y = 0 Cuyas soluciones son respectivamente: x = 0 x = 3/2 (1) (2) y = 1 y = 0 x = 0 y = 0 (3) Estos tres puntos son los vértices de la región factible:
4 De manera general, el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales puede ser un semiplano, una semirrecta, un segmento, un punto o el conjunto vacío. 4. Programación lineal Un problema de programación lineal es aquel en el que pretendemos hallar el máximo o el mínimo de una función, llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones que vienen expresadas en forma de inecuaciones. Si hablamos de un problema de programación lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer máxima o mínima, según los casos) una función (llamada función objetivo) de la forma: F (x, y) = Ax + By sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo: ax 1 + by 1 c1 ax 2 + by 2 c2 ax n + by n cn Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado (poligonal) o no acotado, llamado región factible del problema. Todos los puntos de dicha región cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entre todos esos puntos, denominados soluciones factibles, aquel o aquellos que hagan el valor de F (x, y) máximo o mínimo, según sea el problema. De todas esas soluciones factibles, aquellas que hacen óptima (máxima o mínima) la función objetivo se llaman soluciones óptimas. En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución. Pero en todo caso, lo que sí se verifica es que: Si hay una única solución óptima, ésta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay infinitas soluciones óptimas, se encontrarán en un lado de la región factible. Es posible que no haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o decrecer indefinidamente.
5 Para resolver el problema, podemos abordarlo de dos formas, pero antes a aplicar cualquiera de ellas siempre hay que dibujar la región factible, resolviendo el sistema de inecuaciones lineales correspondiente, como se ha visto anteriormente (la región factible puede estar acotada o no), y se calculan los vértices de dicha región. 4.1 Método analítico Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vértices de la región factible en la función objetivo. Se tiene que: Si la función objetivo alcanza un valor máximo (o mínimo) en un único vértice, este será la solución del problema. Si el valor máximo (o mínimo) se alcanza en dos vértices, la solución serán todos los puntos del lado de la región que une esos dos vértices. Ejemplo: Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos de euro. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos de euro por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Para plantear el problema, llamemos: x = nº de impresos diarios tipo A repartidos. y = nº de impresos diarios tipo B repartidos. La función objetivo es el beneficio que obtiene del reparto: F (x, y) = 5x + 7y Las restricciones: Número máximo de impresos tipo A que caben en la bolsa 0 x 120 Número máximo de impresos tipo A que caben en la bolsa 0 y 100 Número máximo de impresos que es capaz de repartir x + y 150 En este ejemplo, la región factible es: Sus vértices son:
6 A = (0, 100) B = (50, 100) C = (120, 30) D = (120, 0) Los valores de la función objetivo: F (0, 100) = = 700 F (50, 100) = = 950 F (120, 30) = = 810 F (120, 0) = = 600 Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 céntimos de euro, esto es, 9,5 euros. Ejemplo: Minimizar F (x, y) = 3x + 3y sujeta a las restricciones: x+ y 5 y x + 3 3y x 1 y + 2x 16 4y x 22 La región factible es, en este caso: Los vértices respectivos son: A = (1, 4), B = (4, 1), C = (7, 2), D = Los valores de la función objetivo: F (1, 4) = = 15 F (4, 1) = = 15 F (7, 2) = = F, 3 3 = = , y E = , 3 3
7 10 19 F, 3 3 = = 29 3 Observamos que el valor mínimo se alcanza en A y en B, y por tanto en todos los puntos comprendidos entre ellos, es decir, el problema tiene infinitas soluciones (todos los puntos del segmento AB) Método gráfico Para llevar a cabo este método, seguiremos los siguientes pasos: a) Se representa la línea de beneficio nulo, que viene dada por la ecuación F (x, y) = 0, es decir: Ax + By = 0 b) Se dibujan las rectas de nivel, es decir, rectas paralelas a la recta de beneficio nulo, que pasan por todos los vértices de la región factible, es decir, se trazan paralelas a la recta Ax + By = 0 por todos los vértices. c) Se observa en qué vértice la función objetivo se hace máxima (o mínima), sin más que tener en cuenta cuál de las rectas tiene mayor (o menor) ordenada en el origen. Dependiendo de la función objetivo que tengamos y de la región factible en la que estemos estudiando su comportamiento, se pueden presentar distintas posibilidades, que se recogen en el siguiente cuadro (las rectas de nivel aumentan en el sentido de las flechas): Problemas de máximos SOLUCIONES Única Infinitas No tiene Problemas de mínimos Ejemplo: Maximiza y Minimiza la función F (x, y) = x + y sujeta a las restricciones: x 0 y 0 x + y 2 x+ 2y 4 La región factible es:
8 Los vértices son los puntos: A = (0, 2), B = (2, 0) y C = (4, 0) Trazamos (en morado) la recta de beneficio nulo (x + y = 0) y las paralelas a ella (restas de nivel), que pasan por los vértices de la región factible. Se observa gráficamente, que de las tres paralelas trazadas, la que corta al eje OY en un punto mayor es la que pasa por el punto (4, 0), que por tanto será la solución óptima al problema de máximos planteado. Para saber cuál es este valor máximo, sustituimos en la función: F (4, 0) = = 4 Luego la función tiene su solución óptima en (4, 0) donde toma el valor 4. Por otra parte, la recta de nivel hace mínima la función es la que pasa por los vértices A y B, y por tanto el mínimo se presenta en todos los puntos del segmento AB. El problema tiene infinitos mínimos.
La programación lineal hace referencia al uso eficiente o distribución de recursos limitados, para alcanzar unos objetivos determinados.
Programación lineal La programación lineal hace referencia al uso eficiente o distribución de recursos limitados, para alcanzar unos objetivos determinados. El nombre de programación no se refiere a la
Más detallesTema II: Programación Lineal
Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución a problemas de P.L. por el método gráfico. Objetivo: Al finalizar la clase los alumnos deben estar en capacidad de: Representar gráficamente la solución
Más detallesInecuaciones y sistemas de inecuaciones
UNIDAD Inecuaciones y sistemas de inecuaciones a vista de los edificios de la foto invita a la comparación de sus alturas entre las que L existen grandes diferencias. En matemáticas las desigualdades juegan
Más detallesUn sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales de la forma:
MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE DESIGUALDADES SISTEMAS DE DOS INECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales
Más detallesInecuaciones en dos variables
Inecuaciones en dos variables Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,. Inecuaciones de primer grado
Más detallesRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON LA CALCULADORA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON LA CALCULADORA AUTORÍA JUAN JOSÉ MUÑOZ LEÓN TEMÁTICA PROGRAMACIÓN LINEAL ETAPA BACHILLERATO Resumen Este artículo trata de cómo resolver problemas de
Más detallesTEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Halla el punto medio del segmento de extremos P, y Q4,. Las coordenadas del punto medio,
Más detallesPor Sustitución: y= 2x+6 x + 3 (2x+6) = 4 x + 6x + 18 = 4 7x = -14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2. Por Igualación: 6x+18=4-x 7x=-14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2
Tema 5: Sistemas de Ecuaciones y de Inecuaciones. Programación lineal. 5.1 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma: Un par de valores
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: a11xa1 y b1 a1xa y b donde a11, a1,
Más detallesUNIDAD 4.- INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro)
UNIDAD 4. INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro) 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por
Más detallesTEMA 4 PROGRAMACIÓN LINEAL
Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach TEMA PROGRAMACIÓN LINEAL INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA EJERCICIO : a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente
Más detallesMódulo Programación lineal. 3 Medio Diferenciado
Módulo Programación lineal 3 Medio Diferenciado Profesor: Galo Páez Nombre: Curso :. Sabemos que una ecuación lineal de dos variables tiene la forma con ó y representa siempre una recta en el plano. Ahora
Más detallesSistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 1) (Selectividad 2005) Sea el siguiente sistema de inecuaciones: 3y 6; x 2y 4; x + y 8; x 0; y 0. Dibuje la región que definen y calcule sus
Más detallesTema 4: Programación lineal
Tema 4: Programación lineal 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX) que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver
Más detallesTema 4: Programación lineal
Tema 4: Programación lineal 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX) que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver
Más detallesEjemplo : PROGRAMACIÓN LINEAL
PROGRAMACIÓN LINEAL Los problemas de Programación Lineal son aquellos donde se trata de encontrar el óptimo de una función, por ejemplo máximo de beneficios, o mínimo de costos, siendo esta función lineal.
Más detallesTEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO
2.1 Distancia entre dos puntos1 TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) Demostración
Más detallesCLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA LA INGENIERÍA EN SISTEMAS CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO 1 1. SISTEMAS LINEALES DISCRETOS Y CONTINUOS 1.1. Modelos matemáticos 1.2. Sistemas 1.3. Entrada
Más detallesOpción A. Alumno. Fecha: 23 Noviembre 2012
Fecha: 3 Noviembre 0 Opción A Alumno. Ejercicio nº.- a) Resuelve el siguiente sistema, utilizando el método de Gauss: +=3 3+ = 3 3+3=9 +4 4= 3 3 3 3 4+ 5 0 0 0 3 3 9 5 0 0 0 5 0 0 3 0 6 5 0 0 0 Rango A
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES. Juan Jesús Pascual. Inecuaciones
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES Juan Jesús Pascual Inecuaciones Índice ejercicios resueltos A. Inecuaciones lineales con una incógnita B. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Más detallesUNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL
UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que en forma reducida se puede expresar de la siguiente forma:
Más detallesUNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL
UNIDD 4: PROGRMCIÓN LINEL Introducción Inecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Programación lineal INTRODUCCIÓN Inecuaciones Una inecuación es una
Más detallesQué es la programación lineal?
Qué es la programación lineal? En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc... Se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones
Más detallesMATEMÁTICAS TEMA 4. Programación Lineal
MATEMÁTICAS TEMA 4 Programación Lineal INDICE 1 INTRODUCCIÓN... 3 2 INECUACIONES DE 1º GRADO CON 2 INCÓGNITAS... 4 3 SISTEMAS DE INECUACIONES DE 1º GRADO CON 2 INCÓGNITAS... 5 4 QUÉ ES UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detalles3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI
TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es
Más detallesInecuaciones y Ecuación cuadrática
Inecuaciones Desigualdades Inecuaciones y Ecuación cuadrática Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a b ó a b. Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad
Más detallesResolución. Resolución gráfica de problemas de optimización
Resolución de problemas de optimización Para resolver mente un problema de optimización como éste empezamos representando sus restricciones con igualdad. (0, 4) (0, 4) (4, 0) Para resolver mente un problema
Más detalles2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Introducción
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción El presente curso trata sobre álgebra lineal. Al buscarla palabra lineal en un diccionario se encuentra, entre otras definiciones la siguiente: lineal, perteneciente
Más detallesCapítulo 3 Método Gráfico
Capítulo 3 Método Gráfico Introducción En el presente capítulo se muestra la solución a varios tipos de problemas de programación lineal que solamente tienen en su formulación dos variables empleando el
Más detallesVeamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:
T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,
Más detallesCapítulo 10. Ecuaciones y desigualdades
Capítulo 10 Ecuaciones y desigualdades Desigualdades lineales simultáneas con dos variables Un conjunto de dos o más desigualdades de las formas ax+by+c> 0 o ax+by+c
Más detallesL A P R O G R A M A C I O N
L A P R O G R A M A C I O N L I N E A L 1. INTRODUCCIÓN: la programación lineal como método de optimación La complejidad de nuestra sociedad en cuanto a organización general y económica exige disponer
Más detallesCONVEXIDAD: CONCEPTOS BÁSICOS
CONVEXIDAD: CONCEPTOS BÁSICOS El estudio de la convexidad de conjuntos y funciones, tiene especial relevancia a la hora de la búsqueda de los óptimos de las funciones, así como en el desarrollo de los
Más detallesEjercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Más detallesPruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta B
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta B 1. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos
Más detallesINTERVALOS Y SEMIRRECTAS.
el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 1 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas
Más detallesMÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO
MÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO Investigación de Operaciones 1 Introducción a la Programación Lineal Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a
Más detallesSISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES I.- Grafique /3 +3 verifique si los siguientes puntos pertenecen o no a la recta: 1) (,) ) (,4) 3. (,) 4) (6,5) 5) (-3,) 6) (6,8) 7) (-6,) 8) (-9,5) Soluciones de Inecuaciones
Más detalles4. Método Simplex de Programación Lineal
Temario Modelos y Optimización I 4. Método Simplex de Programación Lineal A- Resolución de problemas, no particulares, con representación gráfica. - Planteo ordenado de las inecuaciones. - Introducción
Más detallesECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio
Más detallesO -2-1 1 2 X -1- -2- de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura.
MATEMÁTICA I Capítulo 1 GEOMETRÍA Plano coordenado Para identificar cada punto del plano con un par ordenado de números, trazamos dos rectas perpendiculares que llamaremos eje y eje y, que se cortan en
Más detallesSelectividad Junio 2007 JUNIO 2007
Bloque A JUNIO 2007 1.- Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 20 % del total, Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Plantea
Más detallesInvestigación Operativa I. Programación Lineal. Informática de Gestión
Investigación Operativa I Programación Lineal http://invop.alumnos.exa.unicen.edu.ar/ - 2013 Exposición Introducción: Programación Lineal Sistema de inecuaciones lineales Problemas de optimización de una
Más detallesEcuaciones de rectas y planos. Un punto O y una base B B = { i, j,
Ecuaciones de rectas y planos. Coordenadas en el espacio. Planos coordenados. El vector OP tiene unas coordenadas( x, y, z ) respecto de la base B, que se pueden tomar como coordenadas del punto P respecto
Más detallesPASO 1: Poner el problema en forma estandar.
MÉTODO DEL SIMPLEX PASO Poner el problema en forma estandar: La función objetivo se minimiza y las restricciones son de igualdad PASO 2 Encontrar una solución básica factible SBF PASO 3 Testar la optimalidad
Más detallesC U R S O : MATEMÁTICA
C U R S O : MATEMÁTICA UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituen un sistema de ecuaciones lineales. La forma
Más detallesCuaderno de Actividades 4º ESO
Cuaderno de Actividades 4º ESO Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,
Más detallesMÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías
MÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 Introducción a la Programación Lineal Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta
Más detallesTEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II
Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas
Más detallesSistemas de ecuaciones
6 Sistemas de ecuaciones Objetivos En esta quincena recordarás la resolución de sistemas de ecuaciones y aprenderás a resolver también algunos sistemas de inecuaciones. Cuando la hayas estudiado deberás
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables
Más detallesUniversidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación como 2x + 3y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Es de primer grado porque las letras
Más detallesEjemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.
Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta
Más detallesFUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS 1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA El área de un rectángulo es 18 cm 2. La siguiente tabla nos muestra algunas medidas que
Más detallesESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA EL TRIÁNGULO DE LAS BERMUDAS
EL TRIÁNGULO DE LAS BERMUDAS Modelización matemática de un problema utilizando sistemas de inecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y DERIVE Trabajo de dos estudiantes para profesor Asignatura
Más detallesf (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) =
MATEMÁTICAS II - EXAMEN PRIMER PARCIAL - 4/11/11 Grado: Ing. Electrónica Rob. y Mec. Ing. Energía Ing. Organización Ind. Nombre y Apellidos: Ejercicio 1. La curvatura de una función f en un punto x viene
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL PROGRAMACIÓN LINEAL UN POCO DE HISTORIA. Programación Lineal
Indicadores PROGRAMACIÓN LINEAL Analiza el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales graficando la región relacionada al sistema. Calcula los vértices de una región poligonal resolviendo
Más detallesINFORMACIÓN SOBRE LA PRUEBA DE ACCESO (PAU) A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO. CURSO 2015/2016
INFORMACIÓN SOBRE LA PRUEBA DE ACCESO (PAU) A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO. CURSO 2015/2016 Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 1. COMENTARIOS Y/O ACOTACIONES RESPECTO AL TEMARIO EN RELACIÓN
Más detallesClase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que
Más detallesPropuesta A. 2 0 b) Dada la ecuación matricial: X = , despeja y calcula la matriz X. (0.75 ptos) 2 1
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (015) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se
Más detallesProblemas de Sistemas de Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Problema 1. Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: + 5 + 3 9 0, Representar la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior hallar de forma
Más detallesFUNCIONES LINEALES Y AFINES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES LINEALES Y AFINES. LA FUNCIÓN LINEAL = m El tren AVE lleva una velocidad media de 40 km/h. La siguiente tabla nos da el espacio que recorre en función
Más detallesEJERCICIOS DE INECUACIONES
EJERCICIOS DE INECUACIONES REPASO DE DESIGUALDADES: 1. Dadas las siguientes desigualdades, indicar si son V o F utilizando la recta real. Caso de ser inecuaciones, indicar además la solución mediante la
Más detallesTema 7: Programación lineal En este tema veremos solamente unas nociones básicas de programación lineal.
Tema 7: Programación lineal En este tema veremos solamente unas nociones básicas de programación lineal. 1. Concepto de problema de programación lineal Un problema de programación lineal consiste en un
Más detallesTeórico para el práctico Nº6 CIRCUNFERENCIA
Teórico para el práctico Nº6 IRUNFERENIA Definición: Dados un punto fijo O y un número real no negativo r, llamamos circunferencia de centro O y radio r, lo notaremos, al lugar geométrico de los puntos
Más detalles1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas.
. Conocimientos previos. Funciones exponenciales y logarítmicas.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.
Más detallesProducto cartesiano. X Y = {(x, y) : x X, y Y }. Ejemplo En el tablero de ajedrez, X = números del 1-8, Y = letras de A-H.
Producto cartesiano Motivación: Has oido hablar sobre gente que juega ajedrez sin tener que mirar nunca el tablero?. Esto es posible, y se debe a una herramienta llamada coordenadas de un punto. En un
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN LINEAL
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN LINEAL PROBLEMA DE LA PRODUCCIÓN 1.- Una fábrica elabora dos tipos de productos, A y B. El tipo A necesita 2 obreros trabajando un total de 20 horas, y se obtiene un beneficio
Más detallesMUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA ANALÍTICA. 3. Determinar analíticamente cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares.
ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA Y APLICACIONES SEMESTRE II VERSIÓN 03 FECHA: Septiembre 29 de 2011 MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGROS: 1. Hallar la dirección, la
Más detalles3.1 Representación gráfica de curvas bidimensionales.
Tema 3 Curvas y superficies Versión: 6 de febrero de 29 3. Representación gráfica de curvas bidimensionales. La representación gráfica de una curva en un ordenador es una linea poligonal construida uniendo
Más detallesMATEMÁTICA CPU Práctica 1 NÚMEROS REALES ECUACIONES E INECUACIONES REPRESENTACIONES EN LA RECTA Y EN EL PLANO
MATEMÁTICA CPU Práctica NÚMEROS REALES ECUACIONES E INECUACIONES REPRESENTACIONES EN LA RECTA Y EN EL PLANO. Marcar con una cruz los conjuntos a los cuales pertenecen los siguientes números: N Z Q R 8
Más detalles21. Círculo y recta Matemáticas II, 2012-II. Por qué el círculo y la recta son tan importantes?
. Círculo recta Matemáticas II, -II. Círculo recta Por qué el círculo la recta son tan importantes? Los dos objetos geométricos más importantes aparte del punto son sin duda la recta el círculo. La recta
Más detallesCÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES
CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD º DE BACHILLERATO CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ .-Hallar una primitiva
Más detallesINECUACIONES: Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:
RELACIÓN DE EJERCICIOS TEMA 4.- Inecuaciones 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I INECUACIONES: Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:
Más detallesINECUACIONES. Ejercicios Repaso 2ªEvaluación Matemáticas Aplicadas I. Representa gráficamente el sistema de inecuaciones.
INECUACIONES x + y 3 + 2y 1 x+y=3 x+2y=-1 + y 5 3x + y 7 x+y=5 3x+y=7 x 4 y 2 3x + 2y 3 x=4 3x+2y=3 y=2 x + 2y 4 4x + y 10 y 4 4x+y=10 x+2y=4 y=4 Problema 1: Joana y Pedro quiere repartir propaganda para
Más detallesSistemas de ecuaciones
CUADERNO Nº 6 NOMBRE: FECHA: / / Sistemas de ecuaciones Contenidos 1. Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación lineal con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación de sistemas 2. Métodos
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos
NÚMEROS REALES Como se ha señalado anteriormente la necesidad de resolver diversos problemas de origen aritmético y geométrico lleva a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos, N Z Q, y a definir
Más detallesGEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio
Más detallesFunciones y gráficas. 3º de ESO
Funciones y gráficas 3º de ESO Funciones Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos que asocia a cada valor,, del primer conjunto un único valor, y, del segundo. La variable variable
Más detallesProgramación lineal. Índice del libro. 1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas. 2. Programación lineal
1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas 2. 3. para dos variables. Métodos de resolución 4. El problema del transporte Índice del libro 1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas 1. Inecuaciones lineales
Más detallesRESUMEN GEOMETRÍA SAINT MARY SCHOOL. PROF. JUAN K. BOLAÑOS M. Geometría Elemental
Geometría Elemental Punto Sólo tiene posición. No posee longitud, anchura ni espesor. Se representa por un. Se designa por medio de una letra mayúscula colocada cerca del punto gráfico. Línea recta Es
Más detallesClase 8 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 8 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2013 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesEJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y APLICACIONES DE LA DERIVADA
EJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y APLICACIONES DE LA DERIVADA 1º) Estudia la continuidad de la siguiente función: x+3 si x < 2 fx = x +1 si x 2 La función está definida para todos los reales: D(f)=R Tanto a
Más detallesCircunferencia que pasa por tres puntos
Circunferencia que pasa por tres puntos En la sección Ecuaciones de las rectas notables del triángulo calculamos el punto donde se intersectan las tres mediatrices de los lados de un triángulo. Este punto,
Más detallesSucesiones (páginas 511 515)
A NMRE FECHA PERÍD Sucesiones (páginas 5 55) Una sucesión es una lista de números en un cierto orden. Cada número se llama término de la sucesión. En una sucesión aritmética, la diferencia entre cualquier
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS º BACHILLERATO ÍNDICE. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.... 4.. SISTEMAS DE REFERENCIA... 4.. COORDENADAS DE UN PUNTO... 4.3. COORDENADAS
Más detallesUnidad Nº2 :ECUACION DE LA RECTA. Función lineal. 3 x + 3
Unidad Nº :EUION DE L RET Función lineal Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores. En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v,
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CURSO PAU 5 UNIDAD DIDÁCTICA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ÍNDICE. Introducción: descripción. Resolución de sistemas sistemas equivalentes. Clasificación de sistemas. Métodos de resolución de sistemas
Más detallesA = A < θ R = A + B + C = C+ B + A. b) RESTA O DIFERENCIA DE VECTORES ANÁLISIS VECTORIAL. Es una operación que tiene por finalidad hallar un
ANÁLISIS VECTORIAL MAGNITUD FÍSICA Es todo aquello que se puede medir. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES POR NATURALEZA MAGNITUD ESCALAR: Magnitud definida por completo mediante un número y la unidad de medida
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO 1 UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del
Más detalleswww.matesxronda.net José A. Jiménez Nieto
NÚMEROS REALES 1. NÚMEROS IRRACIONALES: CARACTERIZACIÓN. En el tema correspondiente a números racionales hemos visto que estos números tienen una característica esencial: su expresión decimal es exacta
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano
UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del punto medio de un segmento 4. La
Más detallesEJEMPLO DE SIMPLEX PARA PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CASO DE MAXIMIZAR Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés
EJEMPLO DE SIMPLEX PARA PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CASO DE MAXIMIZAR Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés CONSTRUCCION DE LA TABLA INICIAL DEL MÉTODO SIMPLEX Una vez que el alumno ha adquirido la
Más detalles