Módulo Programación lineal. 3 Medio Diferenciado

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1 Módulo Programación lineal 3 Medio Diferenciado Profesor: Galo Páez Nombre: Curso :. Sabemos que una ecuación lineal de dos variables tiene la forma con ó y representa siempre una recta en el plano. Ahora bien, una inecuación lineal de dos variables tiene una de las siguientes formas: Y representa un semiplano determinado por la recta cuya ecuación corresponde al primer miembro de la inecuación igualado a cero. Para saber cuál de los dos semiplanos determinados por la recta corresponde a la solución de la inecuación tenemos el siguiente teorema. Teorema: Sea P un punto de uno de los de los dos semiplanos en que la gráfica de la ecuación divide al plano. Si en P, entonces en todos los puntos del semiplano al que pertenece P En forma análoga se obtiene la solución para las inecuaciones. Ejemplo: Grafiquemos el conjunto solución de: Solución: 1 grafiquemos la ecuación asociada. x y

2 Elegimos un punto cualquiera, por ejemplo (0,0), que está en el semiplano inferior y vemos que no satisface la inecuación ya que es falso. Esto nos indica en virtud del teorema anterior, que son los puntos del semiplano superior aquellos que satisfacen la inecuación, en efecto, (3,0) está en el semiplano superior y nos queda entonces verdadero Así la solución de es el semiplano superior (sin incluir la recta ya que es y no ) Solución Ejercicios a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Soluciones

3 Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión de dos o más inecuaciones de primer grado, con dos incógnitas y coeficientes reales Son sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas: Gráficamente, el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la región del plano que se obtiene al interseectar los semiplanos o conjuntos solución correspondientes a cada una de las inecuaciones. Ejemplos 1. Determinar graficamente la región del plano o conjunto solución correspondiente a cada uno de los siguientes sistemas. Primero graficamos el semiplano correspondiente a cada inecuación, y luego intersectamos los semiplanos o conjunto solución de las inecuaciones, superponiendo ambos gráficos. De esta forma, determinamos la región solución (S) del sistema.

4 Ejemplo 2 Ejercicios 1. Determinar gráficamente la región del plano o conjunto solución, para cada sistema: a) b) c) d) e) f) g) h) Soluciones

5 1. Verifica que puntos pertenecen al semiplano sombreado a) (-1, 1) b) (3, -5) c) (0, 0) d) (5, 1) e) (-1,10) f) (10,5)

6 2. Comprueba qué pares (x, y) satisfacen la inecuación respectiva: a) x y 8 (2,3); (3,4); (4,4); (-2,11) 4 1 b) y 2x 0 (2,1); (, ) ; (5,2) ; (-1,-1) 5 2 c) 6 x y (10,4); (5,2) ; (-1,-3);(0,0) 4 d) 3( x 2) y 1 (2,1) ; (3,-1) ; (2, ) ; (0,6) d) y x (0,0); (, ) ; (5,6) ; ( 2, 3) 3 2 1) Determina qué puntos satisfacen la respectiva inecuación a) x y 8 A(2, 3) ; B(4, 4) ; C(-2,11) b) y 2x A(2, 1); B(, ) ; C(-1,-1) 5 2 c) 6 x-y A(10,4) ; B(-1,-3) ; C(0,0) d) y x 1 1 A(, ) ; B(5,6) ; C( 2, 3 ) 2 3 e) 2( x 1) y 1 A(1,3) ; B(3,1) ; C(-1,1)

7 f) 4x 3 y 5 A( 0,0) ; B(1,1) ; C(-10,2 g) x 3 2x 1 A(0,0) ; B(1,1) ; C(5,2) h) y+5<2+3y A( 0,0); B(2,1); C(-4,3) 1) Considera la función objetivo F(x, y)= 30x+25y, determina su valor en cada vértice del polígono. A(0,0); B(25,0);C(25,12) ;D(10,21); E(0,18) 2) Encuentre los valores máximo y mínimo de las expresiones dadas F( x, y) 3x 7y

8 3) F( x, y) 3x 5y 4) F( x, y) 40x 75y La aplicación más directa de los sistemas de inecuaciones lineales es la Programación lineal. Una de las utilidades de la programación lineal es resolver problemas en los que se requiere realizar una asignación eficiente de recursos limitados para optimizarlos; por ejemplo, en economía, calcular máximas ganancias y costos mínimos. En el planteamiento del problema se manejan varios conceptos esenciales: Las incógnitas Las restricciones que se imponen, expresadas por inecuaciones lineales. Estas pueden ser de dos tipos: o

9 La función objetivo, del tipo lineal, que se describe el problema. Esta es de la forma: El grupo de las soluciones posibles recibe el nombre de conjunto restricción o conjunto solución factible. La solución debe situarse en el área definida por las inecuaciones de restricción, que se conoce por la región factible. La región factible puede estar acotada o no acotada. Cuando está acotada, se representa gráficamente como un polígono con un número de lados menor o igual que el de las restricciones. Se llama solución óptima a la que maximiza o minimiza la función objetivo. Esta solución, si es única, siempre se encuentra en un vértice o punto extremo. El siguiente teorema permite resolver este tipo de problemas: Si existe una única soluci n que optimice (maximice o minimice) la función objetivo, esta se encuentra en uno de los vértices de la región factible Método algebraico de resolución Para resolver un problema de programación lineal por método algebraicos, se aplica el siguiente procedimiento operativo, llamado método de los vértices. Ejemplo 1 Dos artistas poseen una fábrica de esculturas. Durante este mes deben modelar dos: Una figura del Quijote y otra de un padre con su hijo. Su fabricación cuenta con dos fases armado y pintura. El armado del Quijote demora 16 horas y la pintura 6. El armado de la escultura del padre con su hijo demora 4 horas y la pintura 9. El maestro armador trabaja como máximo 64 horas y el pintor 54. Si la ganancia que se obtiene por vender una escultura del Quijote es de $ y por la del padre y el hijo $ , cómo podrían los artistas maximizar su ganancia semanal? 1º Representación del problema Quijote Padre con su hijo Tiempo máximo Armado (horas) Pintura (horas) Ganancia (pesos) º. Definición de las variables. X: la cantidad de quijotes que se van armar Y: la cantidad de Padres con su hijo que se van armar.

10 3º Definición de la función objetivo correspondiente a la optimización del problema En este caso, máxima ganancia F( x, y) x y 4º Asignación de las restricciones para las variables x e y; en este caso, asociadas al número de horas que lleva realizar el trabajo 16x 4y 64 6x 9y 54 Considera que x 0 y 0, ya que el número de esculturas que se fabrican no puede ser negativo. 5 Resolución del sistema de manera gráfica, determinando los puntos del plano que satisfacen las restricciones anteriores. 6 Reemplazo de las coordenadas de los puntos correspondientes a los vértices de la región determinada por la solución del sistema en la función objetivo. Vértice Función objetivo F(x,y)= x y A(0,0) 0 B(0,6) C(3,4) D(4,0) Por último, la selección del vértice que permite optimizar el problema. Para el ejemplo, el vértice D(3,4) entrega una ganancia más alta.

11 Por lo tanto, la cantidad de esculturas que se deben realizar para maximizar la ganancia son tres del Quijote y cuatro del Padre con su hijo. Problemas de programación Lineal. 1. Se intenta programar una dieta con dos alimentos, A y B. Una unidad del alimento A contiene 500 calorías y 10 gramos de proteínas; una unidad de B contiene 500 calorías y 20 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo calorías y 80 gramos de proteínas. Si el precio de una unidad de A es 8 y de una unidad de B es 12, qué cantidad de unidades de A y B se debe comprar para satisfacer las exigencias de la dieta a un costo mínimo? R: El costo mínimo para lograr esto es 56. con esta cantidad, se puede adquirir 4 unidades del alimento A y 2 del B. 2. Una industria fabrica dos productos diferentes, P y Q, los que son elaborados en un proceso que requiere el uso de dos máquinas, A y B. El primer producto requiere 30 minutos de uso de la máquina A y 20 minutos de la B; el segundo producto requiere 30 minutos de la máquina A y 40 minutos de la B. El producto P da una ganancia o utilidad de 25 y el producto Q una ganancia de 35. Determinar la cantidad óptima de unidades P y Q que es necesario producir para obtener el máximo de utilidad, sabiendo que la máquina A puede funcionar durante 3 horas y la B durante 4 horas únicamente. R: La mayor utilidad se obtiene con x=0 e Y=6 (utilidad 210) que se interpreta así: es necesario producir 6 unidades del producto Q y ninguno de P 3. En una industria se fabrican dos artículos, A y B, los cuales deben pasar por los procesos P 1, P2 y P 3 para su elaboración. La fabricación del artículo A requiere de 6 horas en P 1, 4 horas en P 2 y ninguna en P 3. En cambio, la fabricación del artículo B demora 5 horas en P 1, 7 horas en P 2 y 8 horas en P 3.

12 En los procesos P1, P2 y P 3 se puede trabajar como máximo 40, 36 y 32 horas a la semana, respectivamente. La función objetivo está determinada por la relación lineal existente entre la utilidad por cada artículo y la cantidad que se fabrica de él. Si la utilidad que se obtiene por cada artículo A es de $ y por cada artículo B, de $ , se quiere determinar la cantidad optima de producción semanal de cada artículo, para obtener la utilidad máxima. R: por lo tanto, el número óptimo de artículos que deben fabricarse en una semana, es de 2 artículos A y 4 artículos B 4. Una distribuidora de confites vende hasta 60 cajas de chocolates al año; tienen chocolates de leche y chocolate con almendras. Se vende por lo menos el doble de cajas de chocolates de leche que de chocolates con almendras. La caja de chocolate de leche deja $ 50 de ganancia; la de chocolate con almendras deja $60. Cuál es el número de cajas de cada tipo que conviene vender para obtener el máximo de ganancia? R: Si se vende 40 cajas de chocolate de leche y 20 cajas de chocolate con almendras y el máximo de ganancia es de $ 3.200