3. Reserva Opción B a) (2 puntos) Represente gráficamente la región factible definida por las siguientes restricciones:

Transcripción

1 Enunciados Ejercicio 1 Programación Lineal Selectividad 1. Junio 2015 Opción A (2.5 puntos) Con motivo de su inauguración, una heladería quiere repartir dos tipos de tarrinas de helados. El primer tipo de tarrina está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 200 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segundo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y 2 barquillos. Sólo se dispone de 8 kg de helado de chocolate, 10 kg de helado de straciatella y 100 barquillos. Cuántas tarrinas de cada tipo deben preparar para repartir el máximo número posible de tarrinas? 2. Septiembre 2015 Opción B Se dispone de 160 m de tejido de pana y 240 m de tejido de lana para hacer trajes y abrigos. Se usa 1 m de pana y 2 m de lana para cada traje, y 2 m de pana y 2 m de lana para cada abrigo. Cada traje se vende a 250 y cada abrigo a 350. a) (2 puntos) Cuántos trajes y abrigos se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio? A cuánto asciende dicho beneficio? b) (0.5 puntos) Pueden hacerse 60 trajes y 50 abrigos con esas cantidades de tejido? En caso afirmativo, obtendría el máximo beneficio al venderlo todo? 3. Reserva Opción B a) (2 puntos) Represente gráficamente la región factible definida por las siguientes restricciones: 4x + 2y 5, 2x + 5y 10, 2x + 2y 6, x 0, y 0 y calcule sus vértices. b) (0.5 puntos) Calcule los máximo y mínimo de la función objetivo F(x, y) = x + 2y y donde se alcanzan. 4. Reserva Opción B (2.5 puntos) Un supermercado tiene almacenados 600 kg de manzanas y 400 kg de naranjas. Para incentivar su venta elabora dos tipos de bolsas: A y B. Las bolsas de tipo A contienen 3 kg de manzanas y 1 kg de naranjas; las bolsas de tipo B incluyen 2 kg de cada uno de los productos. El precio de venta de la bolsa A es de 4 y de 3 el de la bolsa de tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas preparadas, cuántas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los ingresos? A cuánto asciende el ingreso máximo? 5. Reserva Opción B Sea el siguiente conjunto de inecuaciones: x 3y 8, 3x + 2y 15, x + 3y 12, x 0, y 0 a) (1 punto) Dibuje el recinto del plano determinado por estas inecuaciones y determine los vértices de este recinto. b) (0.5 puntos) Maximice la función F(x, y) = 5x + 9y en este recinto, indicando el punto o puntos máximos. 6. Reserva Opción B (2.5 puntos) Se desea invertir en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidad del 2% y del 2.5% respectivamente. Se sabe que el producto B exige una inversión mínima de y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión en B supere el triple de lo invertido en A. Cuánto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea máximo y cuál sería dicho beneficio? 7. Junio 2014 Opción B a) (1.8 puntos) Dadas las inecuaciones y x + 5, 2x + y 4, 4x 10 y, y 0 Represente el recinto que limitan y calcule sus vértices. b) (0.7 puntos) Obtenga el máximo y el mínimo de la función f(x, y) = x + 1 y en el recinto anterior, así como los 2 puntos en los que se alcanzan. 8. Septiembre 2014 Opción B a) (1.5 puntos) Plantee, sin resolver, el siguiente problema: Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños y grandes. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro por cada envase grande. Qué número de envases de cada tipo proporciona el mínimo coste de almacenaje? b) (1 punto) Represente el recinto que determinan las inecuaciones 2x 10 + y, x 2(5 y), x 0, y 0.

2 9. Reserva Opción B a) (1 punto) Represente la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones: 2x + 5y 15, x + y 6, 5x 7y 42, x 0 b) (1 punto) Halle los vértices de la región anterior. c) (0.5 puntos) En esa región, halle el valor mínimo de la función F(x, y) = 2x 2y + 3 y dónde lo alcanza. 10. Reserva Opción B Un nutricionista receta a una de sus pacientes una dieta semanal especial basada en lácteos y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6 y proporciona 3 unidades de proteínas y 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 12, aportando 1 unidad de proteínas y 2 de calorías. La dieta le exige no tomar más de 4 kg, conjuntamente, de lácteos y pescado, y un aporte mínimo de 4 unidades de proteínas y 3 de calorías. a) (1 punto) Plantee el problema para obtener la combinación de ambos alimentos que tenga el coste mínimo. b) (1.5 puntos) Dibuje la región factible y determine la solución óptima del problema. 11. Reserva Opción A a) (1.75 puntos) Represente gráficamente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices: x + 2y 3, x y 1, x 1, y 0 b) (0.75 p) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo F(x, y) = 2x + 4y en la región anterior y los puntos dónde lo alcanza. 12. Reserva Opción B a) (1 punto) Represente la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones: 2x + 5y 15, x + y 6, 5x 7y 42, x 0 b) (1 punto) Halle los vértices de la región anterior. c) (0.5 puntos) En esa región, halle el valor mínimo de la función F(x, y) = 2x 2y + 3 y dónde lo alcanza. 13. Junio 2013 Opción B Un fabricante de tapices dispone de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 225 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se necesita 1 Kg de hilo de seda y 2 kg de hilo de plata, y para los del tipo B, 2 kg de hilo de seda, 1kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada Tapiz del tipo A se vende a 2000 euros y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si vende todo lo que se fabrica, a) (2 puntos) Cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio? b) (0.5 puntos) Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique el número de tapices que proporciona el máximo beneficio? 14. Septiembre 2013 Opción A Sea R la región factible definida por las siguientes inecuaciones x 3y, x 5, y 1. a) (0.5 puntos) Razone si el punto (4.5, 1.55) pertenece a R. b) (1.5 puntos) Dada la función objetivo F(x, y) = 2x 3y, calcule sus valores extremos en R. c) (0.5 puntos) Razone si hay algún punto de R donde la función F valga 3.5. Y 7.5? 15. Reserva Opción A a) (1 punto) Plantee, sin resolver, el siguiente problema: Un barco puede transportar vehículos de dos tipos: coches y motos. Las condiciones de la nave obligan a que el número de motos no pueda ser inferior a la cuarta parte del de coches ni superior a su doble; además, la suma del número de motos más el doble del número de coches no puede ser mayor que 100. Cuántos vehículos, como máximo, puede transportar este barco? b) (1.5 puntos) Dado el recinto limitado por las inecuaciones y 30, 3x - y 150, 6x + 7y 840, halle en qué puntos de ese recinto la función F(x,y)=6x - 2y alcanza su valor mínimo. 16. Reserva Opción A (2.5 puntos) Un fabricante elabora dos tipos de anillos a base de oro y plata. Cada anillo del primer tipo precisa 4 g de oro y 2 de plata, mientras que cada uno del segundo necesita 3 g de oro y 1 de plata. Sabiendo que dispone de 48 g de oro y 20 de plata y que los precios de venta de cada tipo de anillo son 150 euros el primero y 100 euros el segundo, cuántos anillos de cada tipo tendría que producir para obtener los ingresos máximos? A cuánto ascenderían estos ingresos?

3 17. Reserva Opción B a) (1 punto) En un problema de programación lineal, la región factible es la región acotada cuyos vértices son A(2, -1), B(-1, 2), C(1, 4) y D(5, 0). La función objetivo es la función f(x, y)=2x+3y+k, cuyo valor máximo, en dicha región, es igual a 19. Calcule el valor de k e indique dónde se alcanza el máximo y dónde el mínimo b) (1.5 puntos) Sean las matrices A = (1 2 3), B = ( 1), C = ( 1 1 1) 1 Resuelva, si es posible, la ecuación matricial B A + 2 X = C Reserva Opción B Se considera el recinto R del plano determinado por las siguientes inecuaciones: 5x 4y 20; x + 8y 48; x 2; y 0. a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. b) (0.5 puntos) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 2x + 12y en este recinto e indique dónde se alcanzan. c) (0.5 puntos) Razone si existen valores (x, y) pertenecientes al recinto para los que F(x, y) = Reserva Opción B Se desea maximizar la función F(x, y) = 14x + 8y en el recinto dado por: y + 3x 9; y 4 x + 14; 5x 2y 15; x 0. 7 a) (1 punto) Represente la región factible del problema. b) (1 punto) Cuál es el valor máximo de F y la solución óptima del problema? c) (0.5 puntos) Obtenga un punto de la región factible que no sea el óptimo. 20. Junio Opción A Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6. a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto. b) (1 punto) Calcule sus vértices. c) (0.5 puntos) Obtenga el valor mínimo de la función F(x, y) = 2x y en el recinto anterior, así como donde lo alcanza. 21. Septiembre 2012 Opción A (2.5 puntos) Un empresario fabrica camisas y pantalones para jóvenes. Para hacer una camisa se necesitan 2 metros de tela y 5 botones, y para hacer un pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones y 1 cremallera. La empresa dispone de 1050 metros de tela, 1250 botones y 300 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una camisa es de 30 euros y el de un pantalón es de 50 euros. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas y de pantalones que debe confeccionar para obtener el máximo beneficio, y determine este beneficio máximo. 22. Reserva Opción B Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: 3x + 4y 28; 5x + 2y 42; x y 0. a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (7, 3) pertenece al recinto. b) (1.5 puntos) Represente dicho recinto y halle sus vértice c) (0.5 puntos) Calcule el valor mínimo de la función F(x, y) = 3x 2y + 6 en el recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo. 23. Reserva Opción A (2.5 puntos) Un comerciante dispone de 1200 euros para comprar dos tipos de manzanas A y B. Las del tipo A las compra a 0.60 euros/kg y las vende a 0.90 euros/kg, mientras que las del tipo B las compra a 1 euro/kg y las vende a 1.35 euros/kg. Sabiendo que su vehículo a lo sumo puede transportar 1500 kg de manzanas, cuántos kilogramos de cada tipo deberá adquirir para que el beneficio que obtenga sea máximo? Cuál sería ese beneficio? 24. Reserva Opción B a) (1.9 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones 7x y 10; x + y 2; 3x 5y 14 y determine sus vértices. b) (0.6 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 2x + 3y en dicha región. 25. Reserva Opción B

4 (2.5 puntos) En una carpintería se construyen dos tipos de estanterías: grandes y pequeñas, y se tienen para ello 60m2 de tableros de madera. Las grandes necesitan 4m2 de tablero y las pequeñas 3m2. El carpintero debe hacer como mínimo 3 estanterías grandes, y el número de pequeñas que haga debe ser, al menos, el doble del número de las grandes. Si la ganancia por cada estantería grande es de 60 euros y por cada una de las pequeñas es de 40 euros, cuántas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 26. Junio 2011 Opción B Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: x + y 20; 3x + 5y 70; x 0; y 0. a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (4.1, 11.7) pertenece al recinto. b) (1.25 puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. c) (0.75 puntos) Dónde alcanzará la función F(x, y) = 0.6x + y sus valores extremos y cuáles serán éstos? 27. Septiembre 2011 Opción A Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones: x + y 2; x + 3y 15; 3x y 15; x 0; y 0. a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. b) (0.5 puntos) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 3x + y en dicho recinto. c) (0.5 puntos) Razone si existen puntos (x, y) del recinto, para los que F(x, y) = Reserva Opción A a) (1.2 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: 6x y + 9 0; 2x + 5y 13 0; 2x 3 5y 0. b) (0.9 puntos) Determine los vértices del recinto anterior. c) (0.4 puntos) Halle los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 3x 2y + 3 en el recinto del primer apartado, y especifique en qué puntos los alcanza. 29. Reserva Opción B (2.5 puntos) Una empresa elabora dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en una máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B necesita 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Semanalmente se dispone de 100 horas en la primera máquina y de 110 horas en la segunda. Si la empresa obtiene un beneficio de 70 euros por cada unidad de A, y de 50 euros por cada unidad de B, qué cantidad semanal de cada producto debe producir con objeto de maximizar el beneficio total? Cuál es ese beneficio? 30. Reserva Opción B a) (1.5 puntos) Dibuje el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones y determine sus vértices: y 200 2x; x 100 3y; x + 2y 600; x 0 b) (1 punto) Sabiendo que A(0, 2), B(1, 4), C(3, 4), D(4, 2) y E(2, 1) son los vértices de una región factible, determine en ella el mínimo y el máximo de la función F(x, y) = 10x + 5y + 21, e indique los puntos donde se alcanzan. 31. Reserva Opción B Se considera el recinto R del plano determinado por las siguientes inecuaciones: 13x + 8y 600; 3(x 2) 2(y 3); x 4y 0. a) (1.75 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. b) (0.75 puntos) Calcule el valor máximo de la función F(x, y) = 65x + 40y, indicando dónde se alcanza. 32. Junio Opción A Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones: x + y 15; x 2y; 0 y 6; x 0. a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto. b) (1 punto) Calcule sus vértices. c) (0.5 puntos) Determine el máximo valor de la función F(x. y) = 8x + 5y en el recinto anterior y dónde se alcanza. 33. Septiembre 2010 Opción A Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: 3x + y 4; x + y 6; 0 y 5. a) (1 punto) Represéntelo gráficamente. b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto. c) (0.5 puntos) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 5x + 3y En qué puntos se alcanzan dichos valores? 34. Reserva Opción A

5 (2.5 puntos) Un comerciante quiere dar salida a 400 kg de avellanas, 300 kg de nueces y 400 kg de almendras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A contienen 2 kg de avellanas, 2 kg de nueces y 1 kg de almendras; y los de tipo B contienen 3 kg de avellanas, 1 kg de nueces y 4 kg de almendras. El precio de venta de cada lote es de 20 euros para los del tipo A y de 40 euros para los del tipo B. Cuántos lotes de cada tipo debe vender para obtener el máximo ingreso y a cuánto asciende éste? 35. Reserva Opción B Se considera el recinto del plano determinado por los siguientes semiplanos: 4x y 4; 2x + y 15; 3y x 10; y 0 a) (1.5 puntos) Represente el recinto y calcule sus vértices. b) (0.5 puntos) Calcule los puntos del recinto donde la función F(x, y) = 4x 7y alcanza el máximo y el mínimo. c) (0.5 puntos) Entre qué valores varía la función F(x, y) = 4x 7y en el recinto? 36. Reserva Opción A (2.5 puntos) Un supermercado se abastece de gambas y langostinos a través de dos mayoristas, A y B, que le envían contenedores con cajas completas de ambos productos. El mayorista A envía en cada contenedor 2 cajas de gambas y 3 de langostinos, al precio de 350 euros el contenedor, mientras que el mayorista B envía en cada uno 1 caja de gambas y 5 de langostinos, al precio de 550 euros el contenedor. El supermercado necesita, como mínimo, 50 cajas de gambas y 180 de langostinos pudiendo almacenar, como máximo, 50 contenedores. Cuántos contenedores debería pedir el supermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades con el menor coste posible? Indique cuál sería ese coste mínimo. 37. Septiembre 2009 Opción A a) (2.5 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices: x x + 3y 12; + y 1; y 1; x b) (0.5 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 3x y, y los puntos donde se alcanzan. 38. Reserva Opción B En un examen de Matemáticas se propone el siguiente problema: Indique dónde se alcanza el mínimo de la función F(x, y) = 6x + 3y 2 en la región determinada por las restricciones 2x + y 6; 2x + 5y 30; 2x y 6. a) (2.5 puntos) Resuelva el problema. b) (0.5 puntos) Ana responde que se alcanza en (1, 4) y Benito que lo hace en (3, 0). Es cierto que el mínimo se alcanza en (1, 4)? Es cierto que se alcanza en (3, 0)? 39. Reserva Opción B (3 puntos) Un agricultor posee 10 hectáreas (ha.) y decide dedicarlas al cultivo de cereales y hortalizas. Por las limitaciones de agua no puede destinar más de 5 ha. a hortalizas. El cultivo de cereales tiene un coste de 1000 euros/ha. y el de hortalizas de 3000 euros/ha., no pudiendo superar el coste total la cantidad de euros. El beneficio neto por ha. de cereales asciende a 2000 euros y el de hortalizas a 8000 euros. Halle la distribución de cultivos que maximiza el beneficio y calcule dicho máximo. 40. Reserva Opción B Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1, 1.8 y 3.3 euros respectivamente. Compramos en total 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35.6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado. a) (1 punto) Plantee el sistema de ecuaciones que resolvería el problema anterior. b) (2 puntos) Resuelva el problema. 41. Reserva Opción B a) (1.25 puntos) Plantee, sin resolver, el siguiente problema de programación lineal: Una empresa fabrica camisas de dos tipos, A y B. El beneficio que obtiene es de 8 euros por cada camisa que fabrica del tipo A, y de 6 euros por cada una del tipo B. La empresa puede fabricar, como máximo, camisas, y las del tipo B han de suponer, al menos, el 60% del total. Cuántas camisas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? b) (1.75 puntos) Represente la región definida por las inecuaciones: y x; y + 2x 6; x 4y + 3. Calcule el máximo de F(x, y) = y + 2x en la región anterior e indique dónde se alcanza.