Ejemplos a resolver en clases-metodo grafico

Transcripción

1 Ejemplos a resolver en clases-metodo grafico 1) Una compañía tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dólares y los de la mina B a 200 dólares. Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima? 2) Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por Kg son los que se indican en la siguiente tabla: Proteinas Hidratos Grasas Coste/kg A B a) Cuántos Kg de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo? 3) La case chemicals produce 2 solventes,cs-01 y CS-02,en su planta de cleveland. La planta opera 40 horas a la semana y emplea a 5 trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la semana para operar las 7 maquinas que mezclan ciertos quimicos para producir cada solvente. Esta fuerza de trabajo proporciona hasta 230 horas de trabajo disponible en el departamento de mezclado.los productos una vez mezclados, son refinados en el departamento de purificación, que actualmente tiene 7 purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcial, que trabaja diez horas a la semana. Este trabajo proporciona asi hasta 250 horas de trabajo disponible en el departamento de purificación. Las horas necesarias en los departamentos de mezclado y purificación para producir mil galones de cada uno de los solventes se muestran a continuación. Requerimientos de mezclado y purificación (hr/1000gal) CS-01 CS-02 Mezclado 2 1 purificacion 1 2 Case chemicals tiene una provision casi ilimitada de la materia prima que necesita para producir los dos solventes. Puede vender cualquier cantidad de CS-01, pero la demanda del otro producto esta restringida a un maximo de gal/sem. Contabilidad estima un margen de utilidad de 0.3 pesos por galon de cs-01 y 0.5 pesos por galon de cs-02. como todos los empleados son asalariados y por tanto se les paga la misma cantidad sin importar cuantas horas trabajen, estos salarios y los costos de las maquinas se consideran fijos 1

2 y no se incluyen en el calculo del margen de ganancia. Como gerente de planeacion de la producción, usted desea determinar el plan de fabricación optimo semanal para la empresa. Casos especiales Programas lineales infactibles Suponga que para el caso anterior, el gerente de ventas dice que se acaba de firmar un contrato por minimo galones de cs-01 galones semanales. Prog. Lineales ilimitados Suponga que los signos de desigualdad de las dos primeras restricciones se reinvierten. Soluciones optimas alternativas Max 2x1+4x2 Sujeto a 2x1+x2<=230 x1+2x2<=250 x2<=120 Restricciones redundantes Existe algun cambio al agregar al problema de la chemical la restricción x1+x2<=300 Ejercicios 1) la xyz tiene una pequena planta en la que fabrica 2 productos. Con propositos de planteamiento identificaremos a los productos como x1 y x2 las contribuciones por producto son 10 y 12 pesos resp. Los productos pasan a traves de 3 departamentos de producción cuyos datos aparecen en la sgte tabla. Horas hombre de tiempo de producción por producto departamento X1 X2 Total horas hombre disponibles por mes Los administradores desean determinar la mezcla de productos optima que maximice las utilidades a) encuentre la solucion optima 2

3 b) existe algo extraño en las restricciones. 2)se da una representación grafica para cada una de las siguientes restricciones. Utilizando las restricciones y la grafica conteste lo sgte. 2x1+3x2<=12 -x1+x2<=2 a) escriba los valores faltantes en la tabla variable vertice X1 X2 a 0 0 b c d b) que vértices son factibles c) si la funcion objetivo es maximizar Z=5X1-2X2 cual es el vértice optimo. 3)dado el sgte problema Max Z = 10x1+5x2 4x1+2x2 =< 16 3x1+3x2 >= 18 X2>=3 a) resuélvalo b) tiene mas de una solución. Explique su respuesta 4) suponga que se tiene el siguiente problema Max Z = 2x1+4x2-2x1+2x2 =< 4 2x1+x2 >= 8 3

4 Resuelvalo y explique su respuesta. 5) Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de bolívares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? 6) Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. a. Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global??a cuánto ascenderá 7) Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de barriles de G, barriles de C y barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. 8) Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en pesetas por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo? Tienda A Tienda B Tienda C Fábrica I Fábrica II Ejercicio nº 1.- Otros ejercicios 4

5 a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones: y 3 y x 1 y 3x 0 b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior. Ejercicio nº 2.- Maximiza la función z = x y, sujeta a las siguientes restricciones: x 3y 26 4x 3y 44 2x 3y 28 x 0 y 0 Ejercicio nº 3.- En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta: Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? Ejercicio nº 4.- Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las de tipo A y, como mínimo, euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés 5

6 anual? Ejercicio nº 5.- a) Representa el recinto que cumple estas restricciones: x 3y 2x y x 0 y b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior. Ejercicio nº 7.- Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros. Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio. Ejercicio nº 8.- Un quiosco vende bolígrafos a 20 céntimos de euro y cuadernos a 30 céntimos de euro. Llevamos 120 céntimos de euro y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. Cuál será el número máximo de piezas que podemos comprar? Ejercicio nº 9.- a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones: 6x x y 1 y 1 y 2 6

7 b) Di si los puntos (0, 1), (0, 0) y (0, 3) son soluciones del sistema anterior. Solución: Ejercicio nº 10.- Maximiza la función z = 150x 100y, sujeta a las siguientes restricciones: 2x 3y 600 2x y 480 x 0 y 0 Ejercicio nº 11.- Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo. Ejercicio nº 12.- En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A y B. Como máximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B. Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas ventas superiores a 60 euros, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son de 30 y 10 euros, respectivamente. Ejercicio nº 13.- a) Construye el recinto de soluciones del siguiente sistema: 3x 3y 3x 6y x 0 y b) Los puntos (20, 10), (20, 0) y (20, 20), forman parte de las soluciones del sistema anterior? 7

8 Ejercicio nº 14.- a) Dibuja el recinto definido por: 2x y 2x y x 2y b) Halla los vértices del recinto anterior. c) Halla el máximo de la función z = 4y x, sujeta a las restricciones propuestas en a). En qué punto del recinto alcanza dicho máximo? Ejercicio nº 15.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? Ejercicio nº 16.- Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2 euros y uno de B 10 euros. Puede eliminarse alguna restricción? Ejercicio nº 17.- Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla: 8

9 El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio? 9