Programación Lineal. Ejercicio nº 1.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: 2x y 3

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1 Programación Lineal Ejercicio nº.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: b) Averigua cuál es la inecuación cuas soluciones corresponden al siguiente semiplano: Ejercicio nº.- a) Representa las soluciones de la inecuación: b) Identifica la inecuación que corresponde al siguiente semiplano: Ejercicio nº.- a) Haz una representación gráfica de las soluciones de la siguiente inecuación: 4 b) Halla la siguiente inecuación cuas soluciones vienen representadas por:

2 Ejercicio nº 4.- a) Representa las soluciones de la siguiente inecuación: 4 b) Identifica la inecuación cuas soluciones corresponden al siguiente semiplano: Ejercicio nº 5.- a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente semiplano: b) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: Ejercicio nº 6.- a) Construe el recinto de soluciones del siguiente sistema: 6 8 b) Los puntos (, ), (, ) (, ), forman parte de las soluciones del sistema anterior? Ejercicio nº 7.- a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones: 6 b) Di si los puntos (, ), (, ) (, ) son soluciones del sistema anterior.

3 Ejercicio nº 8.- a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones: b) Indica si los puntos (, ), (, ) (, ) forman parte de las soluciones del sistema anterior. Ejercicio nº 9.- a) Representa el recinto que cumple estas restricciones: b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior. Ejercicio nº.- a) Dibuja el recinto que cumple estas restricciones: b) Pertenecen los puntos (, 6), (4, ) (5, 6) al conjunto de soluciones del sistema anterior? Ejercicio nº.- Halla el mínimo de la función z con las siguientes restricciones: Ejercicio nº.- a) Dibuja el recinto definido por: b) Halla los vértices del recinto anterior. c) Halla el máimo de la función z 4, sujeta a las restricciones propuestas en a). En qué punto del recinto alcanza dicho máimo?

4 Ejercicio nº.- Halla el máimo el mínimo de la función z, en la región determinada por: Ejercicio nº 4.- Maimiza la función z, sujeta a las siguientes restricciones: Ejercicio nº 5.- Maimiza la función z = 5, sujeta a las siguientes restricciones: 6 48 Ejercicio nº 6.- Cierto fabricante produce dos artículos, A B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje dos en la de pintura; el artículo B, tres horas en la sección de montaje una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 4 euros el de A es de euros. Calcula la producción diaria de los artículos A B que maimiza el beneficio. Ejercicio nº 7.- Un orfebre fabrica dos tipos de joas. Las del tipo A precisan g de oro,5 g de plata, vendiéndolas a 4 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea,5 g de oro g de plata, las vende a 5 euros. El orfebre tiene solo en el taller 75 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máimo. 4

5 Ejercicio nº 8.- Unos grandes almacenes desean liquidar camisas pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A B: La oferta A consiste en un lote de una camisa un pantalón, que se venden a euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas un pantalón, que se vende a 5 euros. No se desea ofrecer menos de lotes de la oferta A ni menos de de la B. Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maimizar la ganancia? Ejercicio nº 9.- En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 5 unidades de una sustancia A otras 5 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A cinco de B, el tipo II con una composición de cinco unidades de A una de B. El precio del tipo I es de euros el del tipo II es de euros. Se pregunta: Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? Ejercicio nº.- Una fábrica produce neveras utilitarias de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla: MONTAJE ACABADO UTILITARIA horas horas LUJO horas 6 horas El máimo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de en montaje 8 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de euros por cada nevera utilitaria de 4 euros por cada nevera de lujo, cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máimo beneficio? Ejercicio nº.- Un quiosco vende bolígrafos a céntimos de euro cuadernos a céntimos de euro. Llevamos céntimos de euro pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. Cuál será el número máimo de piezas que podemos comprar? Ejercicio nº.- En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A B. Como máimo pueden fabricarse aparatos de cada tipo, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B. Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas ventas superiores a 6 euros, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A B son de euros, respectivamente. Ejercicio nº.- La casa X fabrica helados A B, hasta un máimo diario de kilos. La fabricación de un kilo de A cuesta,8 euros uno de B,,5 euros. Calcula cuántos kilos de A B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 7 euros /día que un kilo de A deja un margen igual al 9% del que deja un kilo de B. 5

6 Ejercicio nº 4.- Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el % las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máimo de euros en las de tipo A, como mínimo, 6 euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máimo interés anual? Ejercicio nº5.- Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, gramo del segundo del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, gramo del segundo del tercero. Se desea obtener al menos 6 gramos del primer elemento las cantidades del segundo del tercero han de ser como mucho 5 gramos, respectivamente; la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. Calcula los kilos de A los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale euros uno de B euros. Puede eliminarse alguna restricción? Soluciones Programación Lineal Ejercicio nº.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: b) Averigua cuál es la inecuación cuas soluciones corresponden al siguiente semiplano: a) Representamos la recta. Pasa por los puntos (, ) (, ). Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (, ): (, ) sí es solución. Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano: 6

7 b Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo, (, ) (, ). La pendienteserá : m La ecuación de la recta es: Como (, ) no es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: Ejercicio nº.- a) Representa las soluciones de la inecuación: b) Identifica la inecuación que corresponde al siguiente semiplano: a) Representamoslarecta. Pasa porlospuntos,,. Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (, ): (, ) no es solución. Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano: 7

8 b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo (, ) (, ). La pendienteserá : m La ecuación de la recta es: Como (, ) es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: Ejercicio nº.- a) Haz una representación gráfica de las soluciones de la siguiente inecuación: 4 b) Halla la siguiente inecuación cuas soluciones vienen representadas por: a) Representamoslarecta 4 4. Pasa porlospuntos,,. Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (, ): 4 (, ) no es solución. Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano: 8

9 b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo, (, ) (, ). La pendienteserá : m La ecuación de la recta es Como (, ) es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: Ejercicio nº 4.- a) Representa las soluciones de la siguiente inecuación: 4 b) Identifica la inecuación cuas soluciones corresponden al siguiente semiplano: a) Representamos la recta 4. Pasa por los puntos (, ) (, ). 4 Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (, ): 4 (, ) no es solución. Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano: 9

10 b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo (, ) (, ). Lapendienteserá: m 4 La ecuacióndelarecta es: Como (, ) es la solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: 4 Ejercicio nº 5.- a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente semiplano: b) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: a) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos. Por ejemplo (, ) (, ). Lapendienteserá: m La ecuación de la recta es: Como (, ) no es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: b) Representamos la recta. Pasa por los puntos (, ) (, ). Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (, ):

11 (, ) sí es solución. Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano: Ejercicio nº 6.- a) Construe el recinto de soluciones del siguiente sistema: 6 8 b) Los puntos (, ), (, ) (, ), forman parte de las soluciones del sistema anterior? a) Representamos lasrectas Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (, ), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que los tres puntos son soluciones del sistema.

12 Ejercicio nº 7.- a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones: b) Di si los puntos (, ), (, ) (, ) son soluciones del sistema anterior. Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (, ), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (, ) sí es solución del sistema, (, ) también lo es, pero (, ) no. Ejercicio nº 8.- a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones: b) Indica si los puntos (, ), (, ) (, ) forman parte de las soluciones del sistema anterior. Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (, ), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: Representamoslasrectas a) Representamoslasrectas a)

13 b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (, ) (, ) no son soluciones del sistema, pero (, ) sí lo es. Ejercicio nº 9.- a) Representa el recinto que cumple estas restricciones: b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior. Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (, ), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) Por ejemplo: (, ), (, ) (, ) Representamoslasrectas a)

14 4 Ejercicio nº.- a) Dibuja el recinto que cumple estas restricciones: b) Pertenecen los puntos (, 6), (4, ) (5, 6) al conjunto de soluciones del sistema anterior? ejemplo el (, ), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen 5. El recinto buscado es: b) A la vista del dibujo obtenido en a), tenemos que (, 6) no es solución; (4, ) sí lo es (5, 6) no. Ejercicio nº.- Halla el mínimo de la función z con las siguientes restricciones: hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e a) Representamos la recta 5 tomamos un punto cualquiera; por 5 5 Hacemoslomismo con lasrectas Representamoslasrectas

15 5 Los vértices de dicha región son los puntos: Representamos la dirección de las rectas z, dibujando lo que pase por el origen de coordenadas: Observamos que la recta la recta son paralelas. Por tanto, Este mínimo vale: z Ejercicio nº.- a) Dibuja el recinto definido por: b) Halla los vértices del recinto anterior. c) Halla el máimo de la función z 4, sujeta a las restricciones propuestas en a). En qué punto del recinto alcanza dicho máimo? hallamos la región que cumple las condiciones del problema. Los vértices del recinto son los puntos:, 4, ;, ;,.,, mínimose alcanzaen todoslospuntosdelsegmentoqueune el Representamoslasrectas 5 6, 5 8 5, 5 B A

16 Representamos la dirección de las rectas z 4, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 4 Elmáimose alcanzaenelpunto A, 5 5 vale: z 4 9, Ejercicio nº.- Halla el máimo el mínimo de la función z, en la región determinada por: Representamoslasrectas hallamos la región que cumple las condiciones del problema. Representamos la dirección de las rectas z, dibujando lo que pasa por el origen de coordenadas: El mínimo se alcanza en el punto m(, ) vale z. 6

17 El máimo se alcanza en el punto M, intersección de las rectas ; es decir, 5 5 en M, ; vale z 7. Ejercicio nº 4.- Maimiza la función z, sujeta a las siguientes restricciones: Representamos lasrectas hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e. Representamos la dirección de las rectas z, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: Elpunto M, intersecciónde esdecir, M 8, 4, eselqueproporciona el máimo, que vale: z 8 4 7

18 Ejercicio nº 5.- Maimiza la función z = 5, sujeta a las siguientes restricciones: Representamos lasrectas hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e. Los vértices de dicha región son los puntos: (, ); (, ); (4, ) (, 6) Representamos la dirección de las rectas z 5, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 5 El máimo se encuentra en el vértice (, 6), en el que z Ejercicio nº 6.- Cierto fabricante produce dos artículos, A B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje dos en la de pintura; el artículo B, tres horas en la sección de montaje una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 4 euros el de A es de euros. Calcula la producción diaria de los artículos A B que maimiza el beneficio. Llamamos a la producción diaria de artículos A e a la de artículos B. Resumimos los datos en una tabla: 8

19 CANTIDAD MONTAJE PINTURA BENEFICIO A horas horas B horas horas 4 TOTAL Las restricciones son: 9 8 La función que nos da el beneficio es z 4 ( ). Debemos obtener el máimo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta ( ), que nos da la dirección de las rectas z 4. Elmáimose alcanzaenelpuntodeintersecci ón delasrectas es decir, en (, ). 9 ; 8 Por tanto, deben producirse unidades de A de B. En este caso, el beneficio será de z 4 4 euros. Ejercicio nº 7.- Un orfebre fabrica dos tipos de joas. Las del tipo A precisan g de oro,5 g de plata, vendiéndolas a 4 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea,5 g de oro g de plata, las vende a 5 euros. El orfebre tiene solo en el taller 75 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máimo. Llamamos al número de joas del tipo A e al número de joas del tipo B. Resumimos los datos en una tabla: 9

20 CANTIDAD ORO PLATA INGRESOS TIPO A,5 4 TIPO B,5 5 TOTAL +,5, Las restricciones son:,5 75,5 75 La función que nos da los ingresos es z 4 5 (4 5). Debemos hacer máima esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta (4 5) 4 5, que nos da la dirección de las rectas z (4 5). Elmáimose alcanzaenelpuntodeintersecci ón delarectas: es decir, en (, ).,5 75 ;,5 75 Por tanto, ha de fabricar joas del tipo A del tipo B para obtener el máimo beneficio. Los ingresos en este caso serían z euros. Ejercicio nº 8.- Unos grandes almacenes desean liquidar camisas pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A B: La oferta A consiste en un lote de una camisa un pantalón, que se venden a euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas un pantalón, que se vende a 5 euros. No se desea ofrecer menos de lotes de la oferta A ni menos de de la B. Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maimizar la ganancia? Llamamos al número de lotes de A e al número de lotes de B. Resumimos los datos en una tabla:

21 Nº LOTES CAMISAS PANTALONES INGRESOS A B 5 TOTAL Las restricciones son: Maimizar las ganancias equivale a maimizar los ingresos. La función que nos da los ingresos es z 5 ( 5). Debemos obtener el máimo de esta función sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta 5 ( 5) 5, que nos da la dirección de las rectas z 5. Elmáimose alcanzaenelpuntodeintersecci ón delasrectas es decir, en (5, 5). ; Por tanto, se deben hacer 5 lotes de la oferta A 5 de la B. Los ingresos en este caso serían de z euros. Ejercicio nº 9.- En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 5 unidades de una sustancia A otras 5 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A cinco de B, el tipo II con una composición de cinco unidades de A una de B. El precio del tipo I es de euros el del tipo II es de euros. Se pregunta: Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? Llamamos a las unidades que se compran de tipo I e a las que se compran de tipo II. Resumamos los datos en una tabla:

22 COMPRAN UNIDADES DE SUSTANCIA A UNIDADES DE SUSTANCIA B PRECIO TIPO I TIPO II 5 TOTAL Las restricciones son: La función que nos da el coste es z ( ). Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, la recta ( ), que nos da la dirección de las rectas z ( ). Elmínimose alcanzaenelpuntodeintersecciónde 5 5 ; 5 5 esdecir,en(,5;,5). Por tanto, ha que comprar,5 de tipo I,5 de tipo II. El precio en este caso será de z (,5,5) euros. Ejercicio nº.- Una fábrica produce neveras utilitarias de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla: MONTAJE ACABADO UTILITARIA horas horas LUJO horas 6 horas El máimo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de en montaje 8 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de euros por cada nevera utilitaria de 4 euros por cada nevera de lujo, cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máimo beneficio?

23 Llamamos al nº de neveras utilitarias e al nº de neveras de lujo. Resumimos los datos en una tabla: FABRICAN MONTAJE ACABADO BENEFICIO UTILITARIA LUJO 6 4 TOTAL Las restricciones son: La función que nos da el beneficio es z 4 ( 4). Debemos obtener el máimo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta ( 4) 4, que nos da la dirección de las rectas z 4: Elmáimose alcanzaenelpuntodeintersecci ón delasrectas: es decir, en (, ). 4 ; 6 Por tanto, deben fabricarse neveras de cada uno de los dos tipos. El beneficio será z 4 4 euros. Ejercicio nº.- Un quiosco vende bolígrafos a céntimos de euro cuadernos a céntimos de euro. Llevamos céntimos de euro pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. Cuál será el número máimo de piezas que podemos comprar? Llamamos al número de bolígrafos e al número de cuadernos. Tenemos que:

24 PIEZAS PRECIO BOLÍGRAFOS CUADERNOS TOTAL + + Las restricciones son:, enteros Dibujamos el recinto correspondiente. Las posibles soluciones son los puntos que aparecen señalados: Debemos hacer máimo el número de piezas, es decir, debemos maimizar z. Vemos que ha tres puntos que hacen máima esta suma: (, 4), (, ) (, ). El número máimo de piezas que podemos comprar es 4. Ejercicio nº.- En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A B. Como máimo pueden fabricarse aparatos de cada tipo, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B. Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas ventas superiores a 6 euros, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A B son de euros, respectivamente. Llamamos al número de aparatos de tipo A e al número de aparatos de tipo B que podemos fabricar. Las restricciones son: 6 6 e enteros(naturales) Representamos el conjunto de restricciones: 4

25 Observamos que la única solución posible es fabricar aparatos de tipo A de tipo B. La venta es entonces de 7 euros. Ejercicio nº.- La casa X fabrica helados A B, hasta un máimo diario de kilos. La fabricación de un kilo de A cuesta,8 euros uno de B,,5 euros. Calcula cuántos kilos de A B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 7 euros /día que un kilo de A deja un margen igual al 9% del que deja un kilo de B. Llamamos a los kilos de A e a los de B. Sea m el margen de B; entonces el de A es,9m. Resumimos los datos en una tabla: CANTIDAD COSTE MARGEN A,8,9m B,5 m TOTAL +,8 +,5,9m + m Las restricciones son:,8,5 7 El margen total es z,9m m m(,9 ). Esta es la función que debemos maimizar, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta m(,9 ),9, que nos da la dirección de las rectas z m(,9 ). 5

26 Observamos que,8,5 7 no impone ninguna restricción nueva. El máimo se alcanza en el punto M (, ). Por tanto, deben fabricarse kilos de helado de tipo B nada de tipo A. Ejercicio nº 4.- Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el % las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máimo de euros en las de tipo A, como mínimo, 6 euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máimo interés anual? Llamamos al dinero que invertimos en acciones de tipo A e al que invertimos en las de tipo B. Resumimos los datos en una tabla: INVERSIÓN RENDIMIENTO A, B,8 TOTAL +, +,8 Las restricciones son: 6 La función que nos da el rendimiento total es: z,, Debemos maimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es ) 6

27 larecta z , quenosdaladireccióndelasrectas El máimo se alcanza en el punto (, 8). Por tanto, debemos invertir euros en acciones del tipo A 8 euros en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de z euros. Ejercicio nº5.- Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, gramo del segundo del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, gramo del segundo del tercero. Se desea obtener al menos 6 gramos del primer elemento las cantidades del segundo del tercero han de ser como mucho 5 gramos, respectivamente; la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. Calcula los kilos de A los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale euros uno de B euros. Puede eliminarse alguna restricción? Llamamos a los kilos de A e a los de B. Resumimos los datos en una tabla: KILOS er ELEMENTO º ELEMENTO er ELEMENTO COSTE A 8 gramos horas gramos B 4 gramos horas gramos TOTAL Las restricciones son: 7

28 (Esta se puedeeliminar, pues, si necesariamente, ) 5, La función que nos da el coste es z ( 5). Debemos minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta ( 5) 5, que nos da la dirección de las rectas z. Elmínimose alcanzaenelpuntodeinterseccióndelasrectas es decir, en (,6;,8). 4 ; Por tanto, han de comprarse,6 kilos de A,8 de B. El coste en este caso será de z,6,8, euros. 8

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