4 Programación lineal

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1 4 Programación lineal TIVIES INIILES 4.I. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado. a) ( ) 4( ) b) > 6 a) , Solución:, b) > > > > 6 8 > 0 > Solución:, 4.II. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado. a) 8 b) > 6 a) b) Solución: [ 0, ) > > > 6 6 > 8 0 > 9 No tiene solución. 96

2 TIVIES PRPUESTS 4.. Representa los semiplanos determinados por las siguientes epresiones. a) 4 c) 4 < 6 e) < b) 6 d) ( ) (4 ) < f) 6 a) = 4 c) e) = 4 = 6 Semiplano con borde. El borde es una recta horizontal. b) = 6 d) Semiplano sin borde. Puntos del borde del semiplano: (, 0) (0, ) f) Semiplano sin borde. Puntos del borde del semiplano: (, 0) (0, ) = 6 ( ) (4 ) = Semiplano con borde. El borde es una recta vertical. Semiplano sin borde. Puntos del borde del semiplano: (, ) (, ) Semiplano con borde. Puntos del borde del semiplano: (0, 4) (9, 0) 4.. omprueba si los puntos siguientes están o no a un mismo lado de la recta: 4. a) (,0) (4,) b) (, ) (, ) a) () 0 4 = < = 8 > 0 están a diferente lado de r. b) () 4 = < 0 () 4 = < 0 están a un mismo lado de r. 4.. Establece las epresiones algebraicas que determinan cada uno de los siguientes semiplanos. a) b) a) > b) > 97

3 4.4. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales, representa la solución, calcula las coordenadas de sus vértices e indica si es o no acotada. a) 4 b) c) 0 0 d) 0 a) Solución acotada. = : ( 4, ) = 4 = : (7, ) = = 7 : ( 4, ) = 4 b) Solución no acotada. = : (0, ) = : (, ) = (0, 0) c) Solución acotada. : (0, ) = 4 = 6 : (, 4) = = : ( 8 4 = 6, 8 ) : (, 0), (0, 0) = = 4 = = = = = = 4 = 6 d) Solución no acotada. : (, 0) = : (, 0) = = = 4.. Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal. 0 Ma Min z = 8 sujeto a: 4 0 = Vértices: : (, ), : (, 4), (0, 4), (0, 0) = = 4 Valor de la función objetivo en los vértices: z = ; z = ; z = ; z El máimo se obtiene en =, = 4, vale, el mínimo, en,, vale 0. = 4 = 98

4 4.6. Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal. Ma Min z 7, sujeto a: Vértices: 4 = 4 :, 4 = = 4 : 4, 0 ( ) ( ) 4 = 4 : 6, 0 = 4 :, = ( ) ( ) 4 = 4 = 4 Valor de la función objetivo en los vértices: z = 60 z = 60 z = 40 z = 7, El mínimo se obtiene en =, =, vale 7,. El máimo se encuentra en cualquiera de los puntos pertenecientes al segmento de etremos, vale 60. = 4.7. Resuelve de forma gráfica el siguiente problema. Ma Min z sujeto a: 0 La región factible es acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en el vértice :, = = El valor mínimo de la función es z. = El máimo se obtiene en el vértice : = 4, = = El valor máimo de la función es z = 4. = = = 4.8. Resuelve de forma gráfica el siguiente problema. Ma Min z = sujeto a: 7 = 0 La región factible es no acotada. = La pendiente de la función objetivo es negativa. = 7 El mínimo se obtiene en el vértice : =, = = 7 = El valor mínimo de la función es z = 9. uando la recta variable se mueve hacia arriba, nunca deja de tocar puntos de la región factible. Por tanto, no eiste solución óptima para el máimo. 99

5 4.9. (PU) En un comercio se vende café con dos tipos de mezcla, M M. La mezcla M lleva dos partes de café natural una parte de café torrefacto, la mezcla M, una parte de café natural dos partes de café torrefacto. Por cada kilo de M se obtiene un beneficio de,0 euros, por cada kilo de M se obtiene un beneficio de,0 euros. Se cuenta con kg de café natural 40 kg de café torrefacto para mezclar. uántos kilos de cada mezcla se deben preparar para que las ganancias sean máimas? : kg de M, : kg de M Función objetivo: z =,0,0 Restricciones: Vértices: = 40 = : ( 0, 0) z = 6, = 40 = 40 : ( 0, ) z = 0, = : ( 7,; 0) z = 9, = El máimo se alcanza en el vértice, es decir, cuando se preparan 0 kg de M kg de M. La ganancia máima es de 0, (PU) Para la elaboración de un alimento para el ganado, una empresa láctea puede adquirir dos productos básicos, P P, mezclarlos. La tabla siguiente muestra las unidades de nutrientes, que tiene cada kg de P P, las cantidades mínimas de, necesarias para que el producto sea adecuado el coste, en unidades monetarias, de cada kg de P P : Precio P P. mínimas 7 0 Halla la mejor mezcla de forma que el coste sea mínimo. :kg de P, : kg de P Función objetivo: z = 7 Restricciones: El mínimo se alcanza en el vértice = 7 = = : = 7 (, ). Es decir, se debe mezclar kg de P con de P. El coste será de unidades monetarias. 00

6 EJERIIS Sistemas de inecuaciones lineales 4.. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales, representa el recinto correspondiente a la solución calcula las coordenadas de sus vértices. Indica si es o no acotado. a) 0 0 b) c) d) e) 4 4 f) g) h) a) Recinto no acotado. = : (, ) d) Recinto no acotado. : 6 = 8 (, ) b) Recinto acotado. e) Recinto acotado. = 7 : (, ) : = 7 7,0 ; (0, 0) c) Recinto no acotado. = : ( 8, ) 4 = = : (8, ) 4 = 4 = : (0, ) 4 = f) Recinto acotado. 4 4 = : = 4 = : = 4 (, ) (, ) : = 4 (0, 4) = : = 4 (, 4) = : = 6 (6, ) : = 6 (6, 0); (0, 0) g) Recinto acotado. = = : (0, ); : (, 4); = 7 = : (, 0); (0, 0) h) Recinto acotado. = = 9 : (, 6); : (, 4); = 9 = = : (4, ) = 7 = : (, ); = = = = : (, 0) E : E(, ); F : F(, 4) = = = F E 0

7 4.. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones, representa la solución e indica si alguna de las ecuaciones que lo forman es redundante. 4, 6 a) 4, 0, 0 b) , 0 c) , 0 d) 4 4 0, 0 a) Las inecuaciones 6 e 4 son redundantes. Se puede prescindir de ellas. = 4 : (0, ) : (4, 0) = = 4 : = (4, ) (0, 0) b) La inecuación 4 es redundante. Se puede prescindir de ella. = 6 : (0, ) = 6 : (, 4) 4 = 4 = : (, 0) c) Las inecuaciones 0 e 0 son redundantes. Se puede prescindir de ellas. = : (0, ) = : (, 4) = 6 = 6 : (4, ) = 4 = 4 : = 4 (4, 0) d) La inecuación es redundante. Se puede prescindir de ella. = 4 : (0, 4) = 4 : = (, ) = : = 4 (, ) = 4 : (4, 0) 0

8 4.. Se considera el sistema de inecuaciones lineales: 8 7 0, 0 omprueba si la intersección de las rectas = 8 = es o no vértice del recinto solución. = 8 El punto de intersección de las dos rectas es:, = Este punto no es vértice del recinto solución, a que no verifica la segunda inecuación del sistema: 7 = > Se considera el sistema de inecuaciones lineales: 7 7 7, 0, 0 omprueba si la intersección de las rectas = 7 = 7 es o no vértice del recinto solución. = El punto de intersección de las dos rectas es:, 7 = Este punto es vértice del recinto solución, a que verifica todas las inecuaciones del sistema: , 0, Escribe en cada caso un sistema de inecuaciones lineales que tenga como recinto solución la figura sombreada. a) b) c) d) a) 0 7 b) c) 0 0 d) 4 0 0

9 4.6. En cada caso, indica si la región sombreada es acotada o no si es convea o no. a) b) c) d) a) No acotada. No convea b) No acotada. onvea c) cotada. No convea d) cotada. onvea 4.7. ibuja en cada caso la región determinada por las siguientes condiciones. Señala también si eiste alguna condición redundante o no. 4 a) 0 0, 0 b) 4 0 0, 0 c) 4 0 0, 0 d) 4 0 0, 0 a) La condición < es redundante. c) Las condiciones 0 e 0 son redundantes. b) La región es vacía. d) Las condiciones 0, 0 0 son redundantes Método analítico para resolver problemas de programación lineal 4.8. Evalúa la función objetivo z = 7 en los vértices del recinto de la figura. E Los vértices del recinto son: (, 7), (6, 0), (0, 7), (8, ), E(4, ). El valor de la función objetivo en ellos es: z = z = 79 z = 64 z = z E =9 04

10 4.9. (PU) Resuelve de forma analítica los siguientes problemas de programación lineal. a) Min z = 9 sujeta a: b) Min z = 4 sujeta a: a) Vértices: = : 0, ( ) = :, = ( ) = :, = ( ) = : 0, ( ) Valor de la función objetivo: z =, z = 9, z = 8, z =. El mínimo se obtiene en, =, vale. b) Vértices: 8 = :, 4 = 40 : 0,8 8 = 40 ( ) 4 = 40, : ( 0,0) 80 Valor de la función objetivo: z =, z = 40, z = El mínimo se obtiene en =, =, vale (PU) Resuelve de forma analítica los siguientes problemas de programación lineal. a) Ma z = 4 sujeta a: b) Min z = sujeta a: , 0 a) Vértices: = 48 = 40 : ( 6,) : ( 40,0) = = 40 : ( 40,8) (0, 0) = 48 Valor de la función objetivo en los vértices: z = 8, z =, z 0, z El máimo se obtiene en = 40, = 8, vale. b) Vértices: = :, 4 = 7 7 : ( 0,0) = E : E( 4,0) : ( 0,0) 4 = : ( 0,0) 0 0 E 0 Valor de la función objetivo en los vértices: z =, z =, z =, z, z E = El mínimo se obtiene en cualquier punto del segmento de etremos E, vale. 0

11 Método gráfico para resolver problemas de programación lineal 4.. (PU) Resuelve de forma gráfica los siguientes problemas de programación lineal. a) Min z = 4 sujeta a: b) Ma z 0 sujeta a: a) La región factible es acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en el vértice : = = 0 =,, vale z = 6. b) La región factible es acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El máimo se obtiene en el vértice : = = 4 8 = 4, = 4, vale z = (PU) Resuelve de forma gráfica los siguientes problemas de programación lineal. a) Máimo mínimo de z = sujeta a: b) Máimo mínimo de z = sujeta a: a) La región factible es no acotada. La condición es redundante. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en el vértice : = = 6 =, = 7, vale z =. No eiste el máimo. b) La región factible es no acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en todos los puntos del segmento de etremos, vale z =. No ha máimo. 06 E F

12 4.. omprueba que la función f(, ) = no alcanza ni máimo ni mínimo si está sujeta a las restricciones: 7 7 La región factible es no acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. Según se desplaza la recta = k tanto hacia arriba como hacia abajo, toca en todo momento a la región factible. Por tanto, los problemas de maimizar de minimizar carecen de solución óptima. z 4.4. ibuja la región determinada por las condiciones: Halla el máimo el mínimo de la función de dos variables f(, ) = cuando está sujeta a las anteriores condiciones. Resuelve el problema por el método geométrico teniendo en cuenta que la pendiente de la función objetivo es positiva. La región factible es acotada. La pendiente de la función objetivo es positiva. Por tanto, el máimo se alcanza en el último vértice por el que pasan las rectas paralelas a = k cuando se desplazan hacia abajo, el mínimo, en el último vértice que tocan cuando se desplazan hacia arriba. Máimo en E: = 7,, vale 7. Mínimo en : =, =, vale 8. z E 4.. ibuja la región determinada por las condiciones: Halla el máimo el mínimo de la función de dos variables f(, ) = 4 cuando está sujeta a las anteriores condiciones. Resuelve el problema por el método geométrico teniendo en cuenta que la pendiente de la función objetivo es positiva. La región factible es no acotada. La pendiente de la función objetivo es positiva. Por tanto, el máimo se alcanza en el último vértice por el que pasan las rectas paralelas a 4 = k cuando se desplazan hacia abajo, el mínimo, en el último vértice que tocan cuando se desplazan hacia arriba. Máimo en :,, vale 0. El mínimo no eiste. z 07

13 PRLEMS 4.6.(PU) Una empresa cuenta con tres empleados que trabajan durante 40 horas semanales para elaborar dos tipos de guitarras eléctricas, G G. ada unidad de G requiere tres horas de trabajo, cada unidad de G, cuatro. Independientemente del tipo que sea, cada guitarra proporciona un beneficio de 7 euros. Un estudio de mercado señala que no se deben producir en total más de guitarras semanales. etermina la producción para que los beneficios sean máimos. : unidades de G : unidades de G Función objetivo: z = 7 7 Restricciones: El máimo se obtiene en todos los puntos del segmento de etremos : : (8, 4) = : (, 0) = El beneficio que se obtiene asciende a 400 euros. 4.7.(PU) Se desea fabricar comida para gatos de dos clases diferentes: gama alta gama media. La comida está formada por una mezcla de carne, cereales grasa animal en diferentes proporciones, según la gama. La mezcla de gama alta inclue kg de carne, kg de cereales kg de grasa animal por paquete, produce un beneficio de 0 euros, mientras que la mezcla de gama media inclue kg de carne, kg de cereales kg de grasa animal por paquete, produce un beneficio de 0 euros. Se cuenta con un total de 0 kg de carne, 0 de cereales 8 de grasa animal para elaborar las mezclas. uántos paquetes de cada gama se deberán fabricar para que el beneficio producido sea máimo? : paquetes de gama alta : paquetes de gama media Función objetivo: z Restricciones: z 0 0 El máimo se encuentra en el vértice : (, 0) = 8 Se deben fabricar paquetes de gama alta 0 de gama baja, se obtiene un beneficio de 400 euros. 08

14 4.8. (PU) En una empresa se editan revistas de dos tipos: de información deportiva de cultura. ada revista de información deportiva precisa dos cartuchos de tinta negra uno de color se vende a euros. ada revista de cultura precisa dos cartuchos de tinta negra dos de color se vende a euros. Se dispone de 00 cartuchos de cada clase. uántas revistas de cada tipo se deben editar para ingresar el máimo posible? : revistas de información deportiva : revistas de cultura Función objetivo: z = 00 Restricciones: El máimo es el vértice : (0, 0) = 00 El máimo de ingresos se obtiene al editar 0 revistas de cultura ninguna de información deportiva, ascienden a 0 euros (PU) Para iluminar una sala de pintura es preciso colocar suficientes bombillas que sumen un total de 440 vatios como mínimo. En el mercado se pueden adquirir bombillas incandescentes tradicionales de 90 vatios al precio de euro la unidad bombillas de bajo consumo de 9 vatios (equivalentes a 60 vatios) al precio de euros la unidad. ebido a la estructura del espacio, el número total de bombillas no puede ser maor de 0. Por otra parte, las normas del untamiento imponen que, para este tipo de salas, el número de bombillas de bajo consumo no puede ser inferior a la mitad del de bombillas tradicionales. alcula el número de bombillas de cada clase que se debe colocar para que el coste sea mínimo. : bombillas de 90 w : bombillas de 9 w (equivalentes a 60 w) Función objetivo: z = Restricciones: = 440 El mínimo es el vértice : (, 6) = El mínimo gasto se obtiene al iluminar la sala con bombillas de 90 w 6 de bajo consumo de 9 w. El coste mínimo es de 4 euros. 4 4 z 09

15 4.0. (PU) os jóvenes empresarios se disponen a abrir un negocio de informática. Montarán comercializarán dos tipos de ordenador: el tipo llevará una unidad de memoria de pequeña capacidad un disco duro; el tipo llevará una unidad de memoria de alta capacidad dos discos duros. En total se cuenta con 40 unidades de memoria de pequeña capacidad, 0 unidades de memoria de alta capacidad 80 discos duros. Por cada ordenador de tipo esperan obtener 0 euros de beneficios, por cada ordenador de tipo, 0 euros. a) uál es la mejor decisión sobre el número de ordenadores a montar de cada tipo? b) uáles serían los beneficios en ese caso? c) on esta producción, habría algún ecedente en el material mencionado? a) : ordenadores de tipo : ordenadores de tipo Función objetivo: z = Restricciones: = 40 El máimo es el vértice : (40, 0) = 80 La mejor decisión es montar 40 ordenadores de tipo 0 de tipo. b) Para este caso se obtendrían unos beneficios de 000 euros. c) on esta producción sobrarán 0 unidades de memoria de alta capacidad. 4.. (PU) En un taller de confección se van a elaborar trajes de cocinero de camarero. Se dispone para ello de 0 m de algodón, 0 m de fibra sintética 0 m de lana. Para hacer cada traje de cocinero se precisan m de algodón, m de fibra sintética m de lana. ada unidad de este tipo deja 0 euros de beneficios. Para hacer cada traje de camarero se precisan m de algodón, m de fibra sintética m de lana. ada unidad de este tipo deja 0 euros de beneficios. Se deben confeccionar maor o igual número de trajes de camarero que de cocinero, como mínimo, se deben hacer un traje de cocinero dos de camarero. El total no podrá ser superior a 0. a) uántos trajes de cada tipo se deberán confeccionar de forma que el beneficio sea máimo? b) Sobrará algún tipo de material? c) Ha alguna condición redundante? a) : trajes de cocinero : trajes de camarero Función objetivo: z Restricciones: 0 = El máimo es el vértice : (, 8) El beneficio máimo se obtiene confeccionando traje de cocinero 8 de camarero, es de 60 euros. b) Sobran m de algodón 0 m de lana. c) Las condiciones 0 0 son redundantes. 0

16 4.. (PU) Una empresaria desea invertir los beneficios de 700 euros obtenidos en su negocio en dos tipos de acciones,. El tipo produce un interés anual esperado del 6%, el tipo, del 4%. omo máimo desea invertir 000 euros en, como mínimo, 00 euros en. demás, desea que la inversión en sea superior a dos veces media la inversión en. ómo deberá realizar la inversión para que las ganancias sean máimas? : euros en acciones de tipo : euros en acciones de tipo Función objetivo: z,06 0, = 000 Restricciones: 00 El máimo es el vértice : (000, 000), =, 0 0 Para obtener el máimo beneficio deben invertirse 000 euros en acciones de tipo 000 en las de tipo. El beneficio obtenido en ese caso asciende a 80 euros (PU) Una empresa de siderurgia cuenta con tres tipos de recursos productivos para fabricar dos tipos de aleaciones de hierro, : 000 horas de trabajo de personal toneladas, respectivamente, de dos materias primas, M M, que se deben mezclar. Para fabricar una unidad de la aleación se precisan 0 horas de trabajo de personal, 0 toneladas de M 0 toneladas de M. Para fabricar una unidad de la aleación se precisan 40 horas de trabajo de personal, 0 toneladas de M 60 toneladas de M. Gracias a un estudio de mercado, se supone que por cada unidad de se obtendrán unos beneficios de unidades monetarias, por cada unidad de se obtendrán 0 unidades monetarias. a) Halla la producción que maimiza los beneficios. b) Indica si se genera algún tipo de ecedente en los recursos productivos. c) Si se produce una rebaja del 40% en los beneficios obtenidos por cada unidad de se mantienen los obtenidos por cada unidad de, cómo variará la producción óptima? a) : unidades de : unidades de Función objetivo: z = Restricciones: = 880 El máimo es el vértice : 0 60 = 60 (4, 6) El máimo de beneficios se obtiene cuando se producen 4 unidades de 6 unidades de, es de 400 u m. b) Sobran 0 horas de trabajo de personal. c) La nueva función objetivo es z = 0 En este caso, el máimo de producción se obtiene en cualquier punto del segmento de etremos, vale 900 u m.

17 4.4. (PU) Una empresa que empaqueta comercializa cajas de cereales tiene dos factorías situadas en en. Un hipermercado le encarga que, mensualmente, le provea como mínimo de cajas de cereales normales, 0 cajas de cereales con chocolate 87 cajas de cereales con miel. La factoría produce en una hora 7 cajas de cereales normales, 0 cajas de cereales con chocolate 7 cajas de cereales con miel a un coste de 0 euros. La factoría produce, también en una hora, 7, 90 cajas, respectivamente, de cada tipo de cereal a un coste de 80 euros por hora. a) alcula el número de horas que debe trabajar cada factoría para abastecer la demanda de forma que el coste sea mínimo. b) alcula el valor de dicho coste mínimo. a) : número de horas que trabaja la factoría. : número de horas que trabaja la factoría. Función objetivo: z Restricciones: El mínimo se encuentra en : 7 90 = 87 (0; 0,8) Por tanto, no se deben trabajar ninguna hora en 0,8 horas en para que el coste sea mínimo. b) El coste mínimo será de 749,4 euros. 4.. En cierta zona de una comunidad autónoma ha tres fábricas de televisores,,, que proveen de aparatos a dos ciudades,. Las producciones de las fábricas son: 00 0 Las demandas de las ciudades son: 7 00 Los costes de transporte, en euros, de cada unidad desde un punto de origen a uno de destino son: Halla cuántos televisores deben llevarse desde cada fábrica a cada ciudad para que el coste total de los gastos de transporte sea mínimo. alcula dicho coste mínimo. Total Total Función objetivo: z 8(00 ) 6 (0 ) 4(7 ) ( 0) = Restricciones: El coste mínimo se obtiene en (0, 0). Por tanto, han de llevarse 00 televisores de a, 0 de a, 7 de a 0 de a. El coste para esos valores es de 00 euros.

18 4.6.Las fábricas de automóviles de Fráncfort de Milán proveen de un cierto modelo a las ciudades de París, Viena Praga. Las producciones de las fábricas son: Las demandas de las ciudades son: Fráncfort Milán 0 00 París Viena Praga 00 Los costes de transporte, en unidades monetarias, de cada automóvil desde un punto de origen a uno de destino son: París Viena Praga Fráncfort 0 Milán 0 0 Halla cuántos automóviles deben llevarse desde cada fábrica a cada ciudad para que el coste total de los gastos de transporte sea mínimo calcula dicho coste mínimo. París Viena Praga Total Fráncfort 0 0 Milán Total 00 0 Función objetivo: z = 0 (0 ) 0( ) (00 ) 0( ) = 0 70 Restricciones: El mínimo se encuentra en todos los puntos pertenecientes al segmento de etremos (, ) (, 0). os ejemplos de solución son París Viena Praga Fráncfort 0 Milán París Viena Praga Fráncfort 0 Milán 0 7 El coste mínimo será de 00 euros.

19 4.7. (PU) En un comedor escolar se desea diseñar un menú para los alumnos que debe cumplir las siguientes especificaciones. El número de calorías no ha de ser inferior a 000. ebe contener un total de, al menos, 60 g de proteínas. ebe contener un total de, al menos, 80 g de grasas. Para ello se dispone de dos platos con las siguientes características:. er plato (00 g).º plato (00 g) alorías Proteínas Grasas El precio de 00 g del segundo plato es doble del de 00 g del primer plato. Halla cuántos gramos se deben servir de cada plato para que el coste sea mínimo. Se sirven 00 gramos del primer plato 00 gramos del segundo. Función objetivo: z = Restricciones: El mínimo es: segundo = 60 (4,4;,8) deben servir 44 gramos del primer plato 8 del 4.8. Una compañía que ofrece servicios de coneión rápida a internet quiere iniciar una campaña de captación de clientes mediante una serie de llamadas telefónicas elegidas al azar. Las llamadas se pueden realizar a propietarios de viviendas de dos localidades diferentes,. Por anteriores estudios de mercado se sabe que la probabilidad de que un vecino de la localidad acepte el servicio es de 0,06, de que lo haga un vecino de la localidad, de 0,0. El mencionado estudio indica también que, como mucho, se deberán realizar 0 llamadas a vecinos de 0 a vecinos de. El total de llamadas no puede superar la cantidad de 0, por lo menos, se deberá llamar a vecinos de cada ciudad. demás dado el coste de las llamadas, el número de vecinos consultados de no podrá ser superior al de consultados de. alcula el número de llamadas que se deberán hacer a a para maimizar el número de futuros clientes. : número de llamadas a : número de llamadas a Función objetivo: z,06 0,0 0 Restricciones: 0 El máimo se encuentra en : 0 (0, 0) = 0 Por tanto, se deben realizar 0 llamadas a 0 a para maimizar el número de futuros clientes. 4

20 PRFUNIZIÓN 4.9. Resuelve el problema de programación lineal entera. Máimo z = 8 Sujeto a: Z,, donde El máimo se encuentra en el punto (, ) en donde la función objetivo vale z = Resuelve el problema de programación lineal entera. Máimo z = Sujeto a: Z, donde l ser una región no acotada no tendría máimo. El mínimo se encuentra en el punto (0, 0) vale z ado el siguiente problema de programación lineal. Máimo z = λ sujeto a: 9 0, 0 Halla los valores de λ para los cuales la solución óptima del problema se encuentra en el vértice (, ). uánto vale z en este caso? La región factible tiene por vértices: : = = 9 0 (0, ) : = = 9 (, ) : = = (, 0) (0, 0) El valor de z en los vértices es: z = λ, z = 6 λ, z, z. Para que el máimo se encuentre en debe ocurrir: λ λ λ λ λ λ λ λ Por tanto, el valor de λ debe ser superior o igual a 4. En este caso, z = 6 λ. z z

21 4.4. ado el siguiente problema de programación lineal: Mínimo z = λ sujeto a: 6 4 0, 0 Halla los valores de λ para los cuales la solución óptima del problema se encuentra en el vértice (, ). uánto vale z en este caso? La región factible tiene por vértices: = 4 = 4 : (0, 6) : (, ) : (, ) : (, 0) = 6 = 6 = = El valor de z en los vértices es: z = 6 λ, z = 6 λ, z = 9 λ, z =. Para que el mínimo se encuentre en debe ocurrir: λ λ λ 9 λ 6 λ λ λ 6 9 λ λ 6 El valor de λ debe estar entre 6. En este caso, la función z = 9 λ. RELIN NTEST Elige la respuesta correcta en cada caso: 4.. Se consideran los puntos M(6, ) N(, ), el semiplano determinado por la epresión > 6 : ) El origen de coordenadas pertenece al semiplano. ) Los dos puntos M N pertenecen al semiplano. ) El punto M pertenece, pero el N no. ) El punto N pertenece, pero el M no. E) Ninguno de los dos puntos pertenece al semiplano. La respuesta correcta es la ) El punto N pertenece, pero el M no. 4.. La recta = k se desplaza de forma paralela desde el origen de coordenadas hacia la parte positiva del eje. ) El valor de k es menor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas. ) El valor de k es maor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas. ) El valor de k permanece constante. ) Todas las anteriores afirmaciones son ciertas. E) Todas las anteriores afirmaciones son falsas. La respuesta correcta es la. El valor de k es maor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas, a que al ser los coeficientes de de positivos, el valor de k es maor cuanto más se aleje la recta del origen de coordenadas en el sentido positivo del eje. 6

22 4.. El interior del triángulo de vértices (, ), (, 0) (, ) queda determinado por las siguientes condiciones. ) ) ) ) E) Ninguna de las anteriores opciones es cierta. La solución correcta es la :,,. Los lados del triángulo son =, =, = La región factible determinada por las restricciones 8 6, es: ) ) ) ) E) ninguna de las anteriores opciones es cierta. Se observa al estudiar la intersección de los cuatro semiplanos que la solución correcta es la. 4.. La solución del problema de programación lineal: Mínimo z =. Sujeta a: se alcanza en: 0, 0 ) =, ), = ) =, = ) =, E) El problema no tiene solución. La solución correcta es la E) El problema no tiene solución. omo el coeficiente de la función objetivo de es negativo, el mínimo se alcanza en el último punto donde toca la recta = k a la región factible en su desplazamiento hacia la parte positiva del eje. Se observa que nunca deja de tocarla. 7

23 Señala en cada caso las respuestas correctas: 4.6. Se considera la región factible determinada por las restricciones: {,, 4 40, 0, 0}. ) El punto (9, 4) pertenece a la región factible. ) El punto (9, 4) es uno de los vértices de la región factible. ) El punto, 9 es un vértice de la región factible. ) El punto (, ) pertenece a la región factible. E) El punto (, ) es uno de los vértices de la región factible. Las soluciones correctas son la, el punto, 9 es un vértice de la región factible, la, el punto (, ) pertenece a la región factible. El punto (9, 4) no pertenece a la región factible, a que no verifica la.ª inecuación. Tampoco puede ser, por tanto, vértice. El punto, 9 es un vértice, a que verifica todas las inecuaciones es solución de las dos primeras ecuaciones. El punto (, ) pertenece a la región factible, a que verifica todas las inecuaciones, pero no es solución de un sistema de dos ecuaciones, por tanto, no es vértice Se considera un problema de programación lineal con dos variables. ) Si el punto (a, b) es una solución óptima del problema, entonces obligatoriamente es un vértice de la región factible. ) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces (a, b) obligatoriamente pertenece a la región factible. ) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces es obligatoriamente un vértice de la región factible. ) Si (a, b) no pertenece a la región factible, entonces no puede ser solución del problema. E) Todas las anteriores opciones son ciertas. Las soluciones correctas son la ; la la. Una solución puede ser óptima no ser vértice, a que puede ser una de las infinitas soluciones de un problema de programación lineal. Sin embargo, si es única, debe ser vértice. bviamente, para que sea solución óptima, lo primero que debe verificar es que pertenezca a la región factible. 8

24 Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas: 4.8. Se considera un problema de programación lineal con dos variables tal que la región factible no es vacía. a)el problema no tiene solución. b) La región factible es no acotada. ) a es equivalente a b. ) a implica b, pero b no implica a. ) b implica a, pero a no implica b. ) a b no se pueden dar a la vez. E) Nada de lo anterior es cierto. La solución correcta es la. uando la región factible es acotada, el problema de programación lineal siempre tiene por lo menos una solución. Pero puede ocurrir que la región sea no acotada el problema tenga solución. Señala el dato innecesario para contestar: 4.9. La región factible correspondiente a un problema de programación lineal está determinada por las siguientes restricciones. a) b) 4 c) 4 0 d) 6 0 ) La restricción a es redundante. ) La restricción b es redundante. ) La restricción c es redundante. ) La restricción d es redundante. E) Ninguna de las cuatro restricciones es redundante. l dibujar la región factible se obtiene que la solución correcta es la. naliza si la información suministrada es suficiente para contestar a la cuestión: 4.0. La región factible de un determinado problema de programación lineal es acotada. La función objetivo es f(, ) = a b. Se afirma que el máimo de dicha función se alcanza en el último vértice que la recta a b = k toca a la región factible en su desplazamiento paralelo en dirección hacia del eje. ) a > 0, b > 0 ) a < 0, b > 0 ) Tanto la información como la son suficientes para asegurar que la afirmación es correcta. ) La información es suficiente, pero la no. ) La información es suficiente, pero la no. ) Son necesarias las dos informaciones juntas. E) Hacen falta más datos. La solución correcta es la. l ser positivo el coeficiente de en la función objetivo, el máimo de dicha función se alcanza en el último vértice que la recta a b = k toca a la región factible en su desplazamiento paralelo en dirección hacia del eje. 9