Programación Lineal. f(x,y) = 2 x + y. Cuántas soluciones hay? Solución:

Transcripción

1 Programación Lineal 2 x + y alcula los puntos del recinto 2x y 2 que hacen mínima o máxima la función y 2 f(x,y) = 2 x + y. uántas soluciones hay? Solución: Representemos el sistema de inecuaciones dado. Para representar 2x + y 2 comenzaremos con la representación de la recta 2 x + y = 2 que pasa por los puntos ( 1, ) y ( 5, 1 ). Para saber qué semiplano es a la solución del problema elijamos un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo (, ), comprobando que : 2. +, de donde deducimos que el semiplano solución es aquel al que no pertenece el punto (,). Se procede de manera análoga con la inecuación 2 x y 2 La representación de la 3 condición y 2, 2 representa la zona 1 comprendida entre las rectas y= (eje de abscisas) y la recta y = 2 ( paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto (, 2 ) ). La región factible es la superficie poligonal limitada por los puntos -5, y. Las soluciones óptimas se encuentran en los vértices de la región factible por lo que vamos a calcular sus coordenadas. y Programación lineal x + y = 2 oordenadas de. Se obtienen de la solución del sistema obteniendo (, 2) y = 2 2 x + y = 2 oordenadas de. Se obtienen de la solución del sistema obteniendo (1, ) 2 x y = 2 x 2x+y=2 2x-y=2 y=2 f(x,y)=2x+y - 1 -

2 2 x y = 2 oordenadas de. Se obtienen de la solución del sistema obteniendo (2, 2) y = 2 En cada uno de estos puntos, la función objetivo, toma los valores siguientes: f() = f(,2) = = 2 f() = f(1,) = = 2 f() = f(2,2) = = 6 e los resultados obtenidos se deduce que: El máximo se alcanza en el punto y su valor es 6 El mínimo se alcanza en los puntos y por lo que se alcanzará el mismo valor en todos los puntos del segmento. Este valor mínimo es Un banco quiere distribuir a sus empleados entre sus oficinas centrales y sus sucursales. ada oficina central necesita 1 empleados del tipo y 6 empleados del tipo. ada sucursal necesita 4 empleados del tipo y 1 empleado del tipo. Hay un total de 26 empleados del tipo y 86 empleados del tipo. omo máximo deber haber 8 oficinas centrales. Si el banco gana 3 millones de euros en una oficina central y 1 millón en una sucursal cuántas oficinas centrales y sucursales deberá abrir para que el beneficio sea máximo? uál será dicho beneficio máximo? ( Septiembre 24 ) Solución esignemos por x e y, respectivamente, el número de oficinas centrales y el número de sucursales del banco. Las condiciones de ligadura serán las siguientes: El número de oficinas centrales no debe ser superior a 8 luego x 8 tendiendo a los empleados de cada clase que se necesitan: el 1 x + 4 y 26 tipo : el 6 x + 1 y 86 tipo La función objetivo (beneficio, en millones de euros) será: F(x,y) = 3.x + 1.y Representemos ahora la región del plano que satisface a las tres condiciones de ligadura, sin olvidar que siempre x e y - 2 -

3 La región factible es la superficie poligonal limitada los vértices O,,, y. representación gráfica observamos que el punto último punto de contacto de paralela a la función objetivo región factible.. Las coordenadas del por En la es el la con la punto, intersección de las rectas -1 1x + 4y = 26 y 6x + y = 86, (6,5). El valor que toma la función objetivo en dicho es: nº de sucursales Programación Lineal x = 8 3 1x+4y=26 2 6x+y=86 1 F. Objet. 3x+y = nº oficinas centrales F(6,5) = 3 x x 5 =18+ 5 = 68 millones de euros son punto 3.- En una ebanistería se fabrican dos tipos de mesas: mesas de comedor y mesas para ordenador. Las mesas de comedor necesitan 4 m 2 de madera y las mesas para ordenador 3 m 2. El fabricante dispone de 6 m 2 de madera y decide confeccionar al menos 3 mesas de comedor y al menos el doble de mesas de ordenador que de mesas de comedor. demás por cada mesa de ordenador obtiene un beneficio de 2, mientras que obtiene un beneficio de 3 por cada mesa de comedor. uántas mesas de cada tipo debe fabricar para obtener el beneficio máximo? (junio 25) Solución esignemos por x e y el número de mesas de comedor y de ordenador, respectivamente, que vamos a fabricar. Las condiciones de ligadura serán las siguientes: omo serán al menos 3 mesas tendremos que: x 3 demás deberá cumplirse que el número de mesas de ordenador debe ser, al menos, el doble que el número de,esas luego y 2x En cuanto a la madera consumida tendremos que: 4. x + 3. y 6 La función objetivo (beneficio) será: F(x,y) = 3.x + 2.y - 3 -

4 Representemos ahora la región del plano que satisface a las tres condiciones Programación lineal de ligadura, sin olvidar que siempre x e y 4 omo de la representación gráfica no se deduce fácilmente cuál es el último 3 punto de contacto de la paralela a la función objetivo con la región factible, es 2 aconsejable calcular las coordenadas de los dos puntos, y, más alejados del 1 y=2x origen de coordenadas. Las coordenadas del punto, intersección de las rectas x = 3 y 4x+3y = 6, son (3,16). El valor que toma la función objetivo en dicho punto es: x+3y=6 x=3 función objetivo F(3,16) = = = 41 Las coordenadas del punto, intersección de las rectas y = 2x y 4x+3y = 6, son (6,12). El valor que toma la función objetivo en dicho punto es: F(6,12) = = = 42 e donde se deduce que el mayor beneficio se conseguirá construyendo 6 mesas de comedor y 12 de ordenador. 4.- En una fábrica se producen bombillas normales a 45 pts cada bombilla, y bombillas halógenas a 6 pts bombilla. La capacidad máxima de fabricación es de 5 bombillas, y por restricciones de material no pueden fabricarse más de 3 halógenas ni más de 4 normales. La fábrica vende siempre todo lo que produce. uántas bombillas convendrá producir de cada clase para obtener la máxima facturación? Solución Llamemos x e y al número de bombillas, respectivamente, normales y halógenas. Teniendo en cuenta la capacidad máxima de fabricación tenemos x + y 5 Por restricciones de material tenemos x 4 e y 3 La facturación que consigue es F(x,y) = 45 x + 6 y Representemos las restricciones y la función objetivo - 4 -

5 e la gráfica se deduce que que la zona de optimización es la superficie poligonal limitada por los vértices O,,, y. El punto cuyas coordenadas forman la solución del problema es el cuyas coordenadas se obtienen como intersección de las ecuaciones y = 3 con x + y = 5. Resolviendo el sistema hallamos x = 2 e y = O x+y=5 45x+6y= x=4 y=3 5.- Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa le paga,5 por impreso repartido y la empresa, con folletos más grandes, le paga,7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de tipo, en la que caben 12, y otra para los de tipo, en la que caben 1. Ha calculado que cada día puede repartir 15 impresos como máximo. uántos impresos de cada clase habrá de repartir para que su beneficio sea máximo? Solución esignemos por x e y el número de impresos, respectivamente, que de las empresas y puede repartir. tendiendo a la capacidad de cada una de las bolsas utilizadas tenemos que : x 12, para los impresos de la empresa e y 1 para los impresos de la empresa. tendiendo al total de impresos que puede repartir tenemos que: x + y 15 La función que da los beneficios ( objetivo) es f(x,y) =,5 x +,7 y Representando el sistema de restricciones y la función objetivo forma que en los ejercicios anteriores, obtenemos: x, y x 12 y 1 de igual x + y 15 f ( x, y) =,5 x +,7 y - 5 -

6 La región factible es la superficie poligonal determinada por los vértices,,, y el origen de coordenadas. Para evitar equivocaciones es conveniente calcular las coordenadas de todos los vértices, en especial de los más extremos, y hallar el valor de f(x,y) en ellos. Impresos tipo Reparto de propaganda x+y=15 y= ,5x +,7 y = 15 2 x= Impresos tipo y = 1 oordenadas de, solución del sistema, resultando (, 1 ) x = y = 1 oordenadas de, solución del sistema, resultando ( 5, 1 ) x + y = 15 x = 12 oordenadas de, solución del sistema, resultando ( 12, 3 ) x + y = 15 y = oordenadas de, solución del sistema, resultando ( 12, ) x = 12 El valor que toma la función objetivo en cada uno de ellos es: f() = f(,1 ) =,5. +,7. 1 = 7 f() = f(5,1 ) =,5. 5 +,7. 1 = 9,5 f() = f(12,3 ) =,5.12 +,7. 3 = 8,1 f() = f(12, ) =, ,7. = 6 Para conseguir el máximo beneficio deberá repartir 12 impresos de la empresa y 3 de la empresa. 6.- Una persona quiere invertir 1 en dos tipos de acciones, y. Las de tipo tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 1 %. Las de tipo son más seguras, pero producen sólo el 7 % nominal. ecide invertir como máximo 6 en la compra de acciones y, por lo menos 2 en la compra de acciones. demás, quiere que lo invertido en sea, por lo menos, igual a lo invertido en. ómo debe invertir los 1 para que el beneficio sea máximo? - 6 -

7 Solución: esignemos por x e y, respectivamente, el importe a invertir en cada tipo de acciones y. tendiendo a la cantidad a invertir tenemos que : tendiendo a la cantidad total a invertir x + y 1 tendiendo a lo que se desea invertir en cada tipo de acciones tenemos x 6 e y 2. tendiendo a la inversión entre ambos tipos de acciones tenemos que x y. La función que da los beneficios ( objetivo) es f(x,y) =,1 x +,7 y x, y x 6 Representando el sistema de restricciones y la función objetivo y 2 de igual x + y 1 f ( x, y) =,1 x +,7 y forma que en los ejercicios anteriores, obtenemos la representación gráfica adjunta donde, la región factible es la superficie delimitada por los vértices,., y. Si desplazamos la función,1x+,7y=, paralela a si misma, notaremos que el último punto de contacto con la región factible es el punto, cuyas coordenadas pasamos a determinar: Inversión acciones tipo (miles ) ompra de acciones x = 6 ( 6, 4 ) x + y = Inversión acciones tipo (miles de ) La inversión deberá ser : 6 y=2 x+y=1,1x+,7y= x=6 en acciones de tipo y 4 en las de tipo. El beneficio que obtendrá será: f(6,4 ) =,1. 6 +,7. 4 =

8 7.- Se quiere elaborar una dieta para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina, 3 mg de vitamina, 3 mg de la y 2 mg de la. Para ello se mezclan piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por hg es, para ambos, de,3 y cuyo contenido vitamínico, en mg, por kg es el siguiente: P Q 1 3 7,5 ómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo? Solución: esignemos por P y Q, respectivamente, los kilogramos de cada uno de los tipos de pienso. tendiendo a la cantidad de vitamina, tendremos 1.P + 1.Q 2 tendiendo a la cantidad de vitamina, tendremos 1.P + 3.Q 3 tendiendo a la cantidad de vitamina, tendremos 2.P + 7,5.Q 3 tendiendo a la cantidad de vitamina, tendremos 2.P +.Q 2 La función que da los beneficios ( objetivo) es f(x,y) =,3 P +,3Q P, Q P + Q 2 P + 3Q 3 Representando el sistema de restricciones y la función objetivo 2. P + 7,5Q 3 2 P +. Q 2 f ( P, Q) =,3 P +,3Q Ha resultado, como región factible, una superficie abierta, limitada por recta P=1, y la línea poligonal limitada por los vértices,,, y el eje de abscisas. Las rectas f(p,q) =,3P +,3Q y P+Q=2 son paralelas, por tener los coeficientes de P y Q, respectivamente, proporcionales. En este caso el valor mínimo se alcanza en y, luego cualquier punto del segmento será también solución del problema.? kg pienso Q , ieta 1,5 1,5,8 -,5 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 kg pienso P P+Q=2 P+3Q=3 2P+7,5Q=3 P=1,3x+,3y=

9 omprobemos lo dicho hallando las coordenadas de y y viendo que el valor que alcanza la función objetivo en ellos es el mismo. P + Q = 2 de donde = 2P + 7,5Q = 3 15 ( 12,5 1, 12, onde la función objetivo toma el valor f() =,3. +,3. =,6 12,5 12, 5 P + Q = 2 de donde = P + 3Q = 3 3 (, 2 onde la función objetivo toma el valor f() =, , =,6 1 ) 2 la solución pertenecen todos los puntos del segmento. ) 8.- Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 3 electricistas y 2 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 25 euros por electricista y 2 euros por mecánico. uántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Solución: a) Planteamiento esignemos por x e y, respectivamente, el nº de electricistas y de mecánicos necesarios necesario es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y x el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. y 2x hay disponibles 3 electricistas y 2 mecánicos. x 3 y 2 El beneficio de la empresa por jornada es de 25 euros por electricista y 2 euros por mecánico f(x,y) = 25.x + 2. y b) Resolución 8 Representando las 6 inecuaciones de ligadura resulta La región solución es la limitada por los puntos O, y. nº mecánicos y=x y=2x x=3 y=2 25x+2y= nº electricistas

10 Si desplazamos paralelamente a si misma la función f(x,y) = veremos que el último punto de contacto con la región factible es. Sus coordenadas las obtendremos como intersección de las rectas luego la solución será x = 2 e y 2 y el beneficio máximo obtenido será f(2,2) = = 9 y = 2 y = x 9. ibuja el recinto que cumple las restricciones siguientes: x 2 ; y 1 ; x + y 1 ; x + 3y 2 La superficie pedida es la limitada por los vértices,,, y y=1 x+y=1 4 2 x+3y=2 x= Una fábrica produce dos modelos de aparatos de radio, y. La capacidad de producción de aparatos de tipo es de 6 unidades por día y para el tipo de 75 unidades por día. ada aparato de tipo necesita 1 piezas de un componente electrónico y 8 piezas para los del tipo. ada día se dispone de 8 piezas del componente electrónico. La ganancia de cada aparato producido de los modelos y es de 3 y 2 respectivamente. etermina la producción diaria da cada modelo que maximiza la ganancia. Solución L as condiciones de ligadura serán las siguientes: Para las piezas de tipo 6 Para las piezas de tipo 75 Según el número de piezas del componente electrónico La función objetivo (beneficio en euros) será: F(, ) =

11 Representemos ahora la región del plano que satisface a las tres condiciones de ligadura, sin olvidar que siempre que e La región factible viene limitada por la línea poligonal O,,,,, O. Las posibles soluciones corresponden a las coordenadas de los vértices ó ( de la representación gráfica no es fácil conocer cuál es el último punto de contacto de la función F(,) con la región factible) lo Mode O oordenadas de : solución del sistema = 75, ( 2, 75 ) = 8 F(2,75) = = 21-6 Modelo =6 =75 1+8= 8 F(,) oordenadas de : solución del sistema = 6, ( 6, 25 ) = 8 F(6,25) = = 23 La producción deberá ser de 6 unidades del modelo y 25 del modelo