UNIVERSIDAD DE MANAGUA

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1 UNIVERSIDAD DE MANAGUA PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÒN LINEAL POR METODO GRAFICO CON POM-QM. Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés Elaborado por: Yucep Gutiérrez Baltodano. Carlos Reynaldo Guevara. Managua 13 de junio Investigación de Operaciones I

2 Programación Lineal: UNIVERSIDAD DE MANAGUA 1) La fábrica de Hilados y Tejidos Salazar requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T 1 ; se dispone de 500 Kg de hilo A, 300 Kg de hilo B y 108 Kg de hilo C. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de A, 150 gr de B y 72 gr de C; para producir un metro de T 1 por día se necesitan 200 gr de A, 100 gr de B y 27 de C. El T se vende a $400 el metro y el T 1 se vende a $500 el metro. Si se debe obtener el máximo del beneficio, Cuántos metros de T y T 1 se deben fabricar? 1) Definición del Problema: Objetivo: Maximizar ventas. Restricciones: 500 Kg de hilo A 300 Kg de hilo B 108 Kg de hilo C Produce dos tipos T y T 1 Requerimiento de T 125 gr de A 150 gr de B 72 gr de C 2 Investigación de Operaciones I

3 Venta: UNIVERSIDAD DE MANAGUA equerimiento de T gr de A 100 gr de B 27 gr de C T $400 T 1..$500 Concepto T T 1 Disponible Hilo A 125 gr 200 gr 500,000 gr Hilo B 150 gr 100 gr 300,000 gr Hilo C 72 gr 27 gr 108,000 gr Ventas $400 $500 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 400x x2 Sujeto a: 125x x2 500, x x2 300,000 72x x2 108,000 x1 0 x2 0 3 Investigación de Operaciones I

4 3) Solución del modelo: 4 Investigación de Operaciones I

5 2) La empresa Whitt Windows tiene solo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas: Con marco de madera y con marco de aluminio, la ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marca de aluminio. Doug hace marcos de madera, y puede terminar 6 al día, Linda hace 4 marcos de aluminio al día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día, cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio. La compañía desea determinar: Cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total. a. Formule el modelo de programación lineal. b. Use el método grafico para resolver el modelo. 1. Definición del Problema: Objetivo: Maximizar ganancia total Restricciones: Solamente tiene tres empleados. Doug hace marcos de madera 6 al día. Linda hace marcos de aluminio 4 al día. Bob forma y corta el vidrio. (48 pies cuadrados de vidrio por Día). Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio Cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio Produce dos tipos de ventana marco de madera y marco de aluminio. Requerimiento de ventana de madera 6 pies cuadrados de vidrio 5 Investigación de Operaciones I

6 Requerimiento de ventana de aluminio 8 pies cuadrados de vidrio Ganancia: Marco de madera $60 Marco de Aluminio..$30 Concepto Madera Aluminio Disponible Madera marcos Aluminio marcos Vidrio pies 2 Ventas $60 $30 2. Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 60x1 + 30x2 Sujeto a: x1 6 + x2 4 x1 + x2 48 x1 0 x2 0 6 Investigación de Operaciones I

7 3. Solución del modelo: 7 Investigación de Operaciones I

8 3) En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su economía, de forma que no se superen en conjunto las 180 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su almacén solo puede albergar un máximo de 1,000 kilogramos de heno. Si se supone que un conejo necesita 20 kilogramos de heno al mes y un pollo 10 kilogramos al mes, que las horas mensuales de cuidado requeridos por un conejo son 3 y por un pollo 2 y que los beneficios que reportaría su venta asciende a C$90 y C$60 por cabeza respectivamente, hallar el número de animales que deben criarse para que el beneficio sea máximo. 1. Definición del Problema: Objetivo: Maximizar ventas por crianza de animales. Restricciones: Su almacén solo puede almacenar como máximo 1,000 kg de heno. No se superen en conjunto 180 horas mensuales. Cría Conejos y pollos. Venta: Requerimiento del Conejo: 20 kg de heno al mes. 3 horas mensuales de cuido al mes. Requerimiento del pollo: 10 kg de heno al mes. 2 horas de cuido al mes. Conejo $90 Pollo..$60 8 Investigación de Operaciones I

9 Concepto Conejo Pollos Disponible Heno 20 gr 10 gr 1000 Kg Horas de cuido 3 horas 2 horas 180 horas Ventas $90 $60 2. Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 90x1 + 60x2 Sujeto a: 20x1 + 10x x1 + 2x2 180 x1 0 x2 0 9 Investigación de Operaciones I

10 3. Solución del modelo: UNIVERSIDAD DE MANAGUA 10 Investigación de Operaciones I

11 4) En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero deja una utilidad de C$45.00 y contiene 150 gr de polvorones, 100 gramos de mantecado y 80 gr de roscos de vino. El segundo deja una utilidad de C$56.00 y contiene 200 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 100 gr de roscos de vino. Se dispone de un total de 200 kg de polvorones, 130 kg de mantecados y 104 kg de roscos de vino. La empresa de embalaje solo le puede suministrar 1200 cajas. Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar para que el beneficio sea máximo? 1) Definición del Problema: Objetivo: Maximizar ventas de dulces. Restricciones: 200 Kg de polvorones = 200,000 gr 130 Kg de mantecados = 130,000 gr 104 Kg de roscos de vino = 104,000 gr La empresa solo pude suministrar 1,200 cajas. Produce dos tipos de surtidos: Requerimiento de 1er surtido. 150 gr de polvorones. 100 gr de mantecado. 80 gr de roscos vino. Requerimiento de 2do surtido. 200 gr de polvorones 100 gr de mantecado 100 gr de roscos vino Venta: 1er surtido C$ do surtido....c$ Investigación de Operaciones I

12 Concepto 1er Surtido 2do Surtido Disponible Polvorones 150 gr 200 gr 200,000 gr Mantecados 100 gr 100 gr 130,000 gr Roscos de vino 80 gr 100gr 104,000 gr Cajas ,000 Ventas C$45 C$56 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 45x1 + 56x2 Sujeto a: 150x x2 200, x x2 130,000 80x x2 104,000 x1 +x2 12,000 x1 0 x Investigación de Operaciones I

13 3) Solución del modelo: UNIVERSIDAD DE MANAGUA 13 Investigación de Operaciones I

14 5) Cierto fabricante produce sillas y mesas para las que requiere la utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y de 2 horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa precisa de 3 horas en la sección de montaje y de 1 hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento, mientras que la de pintura sólo 8 horas. El beneficio produciendo mesas es doble que el de sillas. Cuál ha de ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máximo? 1. Definición del Problema: Objetivo: Maximizar ventas. Restricciones: La producción de una silla requiere 1 hora de montaje y de 2 horas de pinturas. La fabricación de una mesa requiere 3 horas de montaje y 1 de pintura. La sección de montaje solo funciona 9 horas La sección de pintura solo 8 horas El beneficio de mesas es doble que el de sillas. Dos tipos de productos Sillas y mesas. Concepto Silla(X1) Mesa(X2) Disponible Montaje Pintura Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= x1 + 2x2 Sujeto a: x1 + 3x2 9 2x1 + x2 8 x Investigación de Operaciones I

15 x Solución del modelo: 15 Investigación de Operaciones I

16 6) En una fábrica se elaboran dos tipos de herramientas A y B. En la fábrica trabajan 2 obreros durante 8 horas diarias y un supervisor, para comprobar las herramientas una vez construidas, que trabaja 1 hora diaria. Para la construcción de A se emplean 3 horas diarias de mano de obra y precisa de 4 minutos de revisión, para B es necesaria 1 hora diaria de mano de obra y 3 minutos de revisión. Por problemas de producción en la fábrica no se pueden fabricar más de 12 herramientas A y B es de C$400, C$200 respectivamente. Hallar cuantas unidades se deben elaborar cada día de cada una de ellas para obtener un beneficio máximo. 1. Definición del problema: Objetivo: Maximizar ventas de herramientas. Restricciones: Trabajan 2 obreros 8 horas diarias. Trabaja 1 supervisor para comprobar las herramientas La herramienta trabajan 1 hora diaria. No se pueden fabricar más de 12 herramientas diarias, Dos tipos de Herramientas A Y B Requerimiento de A: 3 horas diarias de mano de obra. 4 minutos de revisión. Requerimiento para B: 1 hora diaria de mano de obra. 3 minutos de revisión. Venta: A=C$400 B=C$ Investigación de Operaciones I

17 Concepto Herramienta A Herramienta B Disponible Mano de obra horas Tiempo de revis min # De Herramien herram Ventas C$400 C$200 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 400x x2 Sujeto a: 3x1 + x2 16 4x1 + 3x2 60 x1 + x2 12 x1 0 x Investigación de Operaciones I

18 3) Solución del modelo: 18 Investigación de Operaciones I

19 7. Una empresa produce dos tipos de mesas: un estilo colonial y otro estilo nórdico. Las utilidades que se obtienen de su venta son de $20 por la colonial y $22 por la nórdica. Para esta semana ya hay un pedido de 10 mesas de tipo nórdico. El gerente de producción quiere realizar la planeación de su producción semanal sabiendo que solamente cuenta con 450 horas para la construcción y 200 horas para barnizarlas. En el siguiente cuadro se indican las horas necesarias para realizar cada una de las tareas y la utilidad para ambas mesas. 1) Definición del Problema: Objetivo: Maximizar utilidad de venta de producción. X1: cantidad de mesas de tipo colonial a producir X2: cantidad de mesas de tipo nórdico a producir Restricciones: Pedido: 10 mesas nórdico 450 horas de construcción 200 horas de barnizado. Venta: Colonial.. $20 Nórdica...$22 19 Investigación de Operaciones I

20 Concepto Colonial Nórdica Disponible Pedido Construcción Barnizado Ventas $20 $22 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 20x1 + 22x2 Sujeto a: + x2 10 6x1 + 8x x1 + 2x2 200 x1 0 x Investigación de Operaciones I

21 3) Solución del modelo: 21 Investigación de Operaciones I

22 8. Una empresa ensambladora de productos de comunicación debe programar su producción semanal. Debido a problemas de liquidez, le interesa minimizar sus costos semanales, ya que le pagan la producción 20 días después de entregada. Actualmente está armando dos artículos diferentes, el T14 y el B2; ambos artículos deben ser armados y probados por personal especializado. La empresa compradora requiere no menos de 100 aparatos semanales; del modelo B2 debe entregar no menos que la cuarta parte de los que entregue del T14, pero en ningún caso deben superar en más de 150 al número de equipos T14. En el cuadro se indica el tiempo que requieren los especialistas para armar y probar cada equipo, expresado en minutos, así como la disponibilidad de tiempo. 1) Definición del Problema: Objetivo: Minimizar costos mensuales. Restricciones: Pedido: T 14 + B2 100 mínimo de equipos Mínimo de B2: B ¼ T mínimo de equipos B2 Máximo de B2: B T máximo de equipos B2 Armado:10 T + 12 B 55 (60) minutos 22 Investigación de Operaciones I

23 Pruebas: 30 T + 6 B 100 (60) minutos Costos: T: número de artículos T14 a producir B: número de artículos B2 a producir T14.. $100 B2...$60 Equipos T14 B2 Disponible Pedido Mínimo de B -1/4 1 0 Máximo de B Armados 10 min 12 min 3,300 min Pruebas 30 min 6 min 6,000 min Costos $100 $60 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Min. Z= 100x1 + 60x2 Sujeto a: x1 + x /4 x1 + x2 0 -x1 + x x x2 3,300 30x1 + 6 x2 6,000 x1 0 x Investigación de Operaciones I

24 3) Solución del modelo: UNIVERSIDAD DE MANAGUA 24 Investigación de Operaciones I

25 9. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0 5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es $20 y por una docena de tipo Q es $30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. 1) Definición del Problema: Objetivo: Maximizar beneficio total. Restricciones: 150 kg de harina 22 kg de azúcar 27.5 kg de mantequilla Dos tipos de pasteles P y Q Requerimientos de P 3 kg de harina 1 kg de azúcar 1 kg de mantequilla Requerimientos de Q 6 kg de harina 0.5 kg de azúcar 1 kg de mantequilla 25 Investigación de Operaciones I

26 Beneficio: P.. $20 Q $30 Equipos P Q Disponible Harina Azúcar Mantequilla Beneficio $20 $30 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 20x x 2 Sujeto a: 3x 1 + 6x x 1 + ½ x 2 22 x 1 + x x 1 0 x Investigación de Operaciones I

27 3) Solución del modelo: 27 Investigación de Operaciones I

28 10. Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a $100 y el modelo Viz a 120, qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar las ventas mensual? 1) Definición del Problema: Objetivo: Maximizar ventas mensuales. Restricciones: Moldeado y pintura 1500 horas como máximo Montaje 600 horas como máximo. Dos tipos de sombreros Bae y Viz Requerimientos de Bae 2 horas de moldeado 3 horas de pintura 1 hora de montaje Requerimientos de Viz Ventas: 3 horas de moldeado 2 horas de pintura 1 hora de montaje 28 Investigación de Operaciones I

29 Bae. $100 Viz $120 Equipos Bae Viz Disponible Moldeado Pintura Montaje Ventas $100 $120 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 100x x 2 Sujeto a: 2x 1 + 3x x x x 1 + x x 1 0 x Investigación de Operaciones I

30 3) Solución del modelo: UNIVERSIDAD DE MANAGUA 30 Investigación de Operaciones I

31 11. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de $80. y cada unidad de vinagre de $40. 1) Definición del Problema: Objetivo: Maximizar beneficio. X1= unidades de vino. X2= unidades de vinagre. Restricciones: Ventas: Vino. $80 Vinagre $40 El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. El triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. 31 Investigación de Operaciones I

32 Productos Vino Vinagre Disponible Producción vino Producción vinagre Ventas $80 $40 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 80x x 2 Sujeto a: 2x 1 - x 2 4 4x x 2 18 x 1 0 x Investigación de Operaciones I

33 3) Solución del modelo: 33 Investigación de Operaciones I

34 12. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de $50 y el de la colonia B es $60. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo 1) Definición del Problema: Objetivo: Maximizar beneficio. X1= # de litros de colonia A X2= # de colonia B Restricciones: Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B Ventas: Colonia A. $50 Colonia B $60 Productos Colonia A Colonia B Disponible Jazmín 15% 30% 60 Alcohol 20% 15% 50 Producción máxima B Ventas $50 $60 34 Investigación de Operaciones I

35 2) Formulación del modelo matemático Lineal: F.O Max. Z= 50x x 2 Sujeto a: 0.15 x x x x 2 50 X x 1 0 x Investigación de Operaciones I

36 3) Solución del modelo: 36 Investigación de Operaciones I