Ejemplo 1: Programación Entera

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Germán Aguilar González
hace 6 años
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1 Repaso Prueba 2

2 Ejemplo 1: Programación Entera Supongamos que una persona está interesada en elegir entre un conjunto de inversiones {1,,7} y quiere hacer un modelo 0,1 para tomar la decisión. Modelar las siguientes restricciones: 2

3 Ejemplo 1 i) No se puede invertir en todas. Como no nos indican el número mínimo, ni la cantidad exacta, sólo que no se pueden invertir en las 7 a la vez, la restricción que nos piden es: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 6 3

4 Ejemplo 1 ii) Hay que elegir al menos una de ellas. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 1 4

5 Ejemplo 1 iii) Si se elige la 3 no se puede elegir la 1. Si x 3 = 1 entonces x 1 = 0, en este caso indica que las dos no pueden elegirse juntas: x 1 + x 3 1 5

6 Ejemplo 1 iv) La inversión 4 se puede elegir sólo si se elige la 2. Realmente lo que nos indica es que si x 2 = 0 entonces x 4 = 0: x 4 x 2 6

7 Ejemplo 1 v) Se eligen las inversiones 2 y 5 o ninguna de las dos. Si se elige la 2 se elige la 5 y si no se elige la 2 no se elige la 5, es decir hacemos lo mismo con ambas inversiones: x 2 = x 5 7

8 Ejemplo 1 vi) Se puede elegir al menos una de las inversiones 1,2,3 o al menos dos de entre 2,4,5,6. Tenemos que x 1 + x 2 + x 3 1 o x 2 + x 4 + x 5 + x 6 2 8

9 Ejemplo 1 vi) Se puede elegir al menos una de las inversiones 1,2,3 o al menos dos de entre 2,4,5,6. Usando la formulación o bien nos quedaría: x 1 + x 2 + x 3 1 My x 2 + x 4 + x 5 + x 6 2 M 1 y y = {0,1} 9

10 Ejemplo 2: Programación Entera Un equipo de gimnasia consta de 6 personas. Hay que escoger 3 de ellas para que participen en la barra de equilibrio y en los ejercicios de suelo, a la vez. También deben inscribir a 4 personas en cada evento. En la tabla se muestran las calificaciones que cada gimnasta puede obtener. Formule un problema de PE para maximizar la calificación total obtenida por los gimnasta. Barra de equilibrio Ejercicios de suelo Gimnasta 1 8,8 7,9 Gimnasta 2 9,4 8,3 Gimnasta 3 9,2 8,5 Gimnasta 4 7,5 8,7 Gimnasta 5 8,7 8,1 10 Gimnasta 6 9,1 8,6

11 Ejemplo 2 Definamos las variables: x ij = 1 si el gimnasta i ésimo i = 1,, 6 participa en el ejercicio j ésimo (j = barra, suelo) 0 lo contrario Max Z = 8,8x ,9x ,4x ,3x ,2x ,5x ,5x ,7x ,7x ,1x ,1x ,6x 62 s.a x 11 + x 12 2 x 21 + x 22 2 x 31 + x 32 2 x 41 + x 42 2 x 51 + x 52 2 x 61 + x 62 2 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 + x 61 = 4 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 + x 62 = 4 11

12 Ejemplo 3: Programación Entera Resolver mediante el método de ramificar y acotar. Max Z = 5x x 2 s. a 2x x 2 59 x 1 x 2 7 x 1, x 2 0 y enteras Si intentamos redondear cumpliéndose las restricciones podríamos dar una solución: Solución: Z = 1895/13 x 1 = 136/13 = 10,4615 Z = 131 x 2 = 45/13 = 3,4615 x 1 = x 2 = 3

13 Ejemplo 3 1 X1=10,4615 X2=3,4615 Z=145,7692 X1 10 X X1=10 X2=2,5454 Z=145, No factible X2 3 X2 4 4 X1=10 X2=3 Z=131 5 X1=7,5 X2=4 Z=145,5 X1 7 X1 8 6 X1=7 X2=4,09 Z=145, No factible X2 4 8 X1=7 X2=4 Z=143 X2 5 9 X1=2 X2=5 Z=145 Mejor solución 13

14 Ejemplo 4: Dualidad Dado el siguiente problema primal max Z = 3x 1 + 8x 2 + 6x_3 s. a 4x 1 + 3x 2 6x 3 12 x 1 + x 2 2 2x 1 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 a) Obtenga el dual asociado. b) Sabiendo que la solución primal es z = 982, x 1 = 54, x 2 = 56, x 3 = 62 obtenga la solución del dual sin resolver por simplex. 14

15 Ejemplo 4 a) Obtenga el dual asociado min w = 12y 1 + 2y 2 + 8y 3 s. a 4y 1 y 2 + 2y 3 3 3y 1 + y 2 4y 3 8 6y 1 + 2y 3 6 y 1, y 2, y

16 Ejemplo 4 b) Conocida la solución primal V B = x 1, x 2, x 3, C B = 3,8,6, el vector de soluciones del problema dual asociado se determina con π = C B B 1, donde la matriz B está formada por los coeficientes en las restricciones de las variables básicas V B = x 1, x 2, x 3 B = B 1 = ,5 por lo que π = C B B 1 = 17, 173, 54 Entonces y 1 = 17, y 2 = 173, y 3 = 54 16

17 Ejemplo 5: Sensibilidad con Simplex Revisado Giapetto s Woodcarving, Inc., fabrica dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado se vende en U$27 y requiere U$10 de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en U$14. Un tren se vende en U$21 y utiliza U$9 de su valor en materia prima. Todos los trenes fabricados aumentan la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en U$10. La fabricación de soldados y trenes de madera requiere dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y acabados. Un soldado necesita dos horas de trabajo acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. Todas las semanas, Giapetto consigue todo el material necesario, pero solo 100 horas de trabajo de acabado y 80 de carpintería. La demanda de trenes es ilimitada, pero se venden como mucho 40 soldados por semana. 17

18 Ejemplo 5 Soldados (X1) Trenes (X2) Precio US$270 US$210 Costo MP US$100 US$90 Costo MO + Costos globales Horas de acabado Horas de carpintería US$140 US$100 Disponibilidad Ventas 40 18

19 Ejemplo 5 a) Formule un PL para maximizar la ganancia semanal de la empresa de juguetes. Obtenga la solución sabiendo que en la tabla del óptimo las VB son [x 1, x 2, h 3 ] x 1 = cantidad de soldados fabricados cada semana x 2 = cantidad de trenes fabricados cada semana F. O. max z = 30x x 2 s. a 2x 1 + x Restricción de acabado x 1 + x 2 80 Restricción de carpintería x 1 40 Restriccipon demanda soldados x 1, x 2 0 N. N. La solución es z = 1800 US$, X 1 = 20, X 2 = 60 19

20 Ejemplo 5 b) Demuéstrese que la base actual permanecerá óptima en tanto que los soldados aporten entre 20 y 40 US$ a las utilidades. Encontrar la nueva solución óptima si los soldados contribuyen con US$35 a la utilidad. El nuevo valor de z es 1900 US$ 20

21 Ejemplo 5 c) Para qué valores de la ganancia de la ganancia de los trenes las VB permanecerán óptimas? Para aquellos valores que aporten un valor de [15, 30] en la utilidad. d) Para qué intervalo de horas de acabado la base actual será óptima? Encontrar la nueva solución si se dispone de 90 horas de acabado. Si cambiamos el coeficiente de la primera restricción en el intervalo [80, 120] las variables básicas son las mismas. La nueva solución sería US$

22 Ejemplo 5 e) Demostrar que la nueva base actual seguirá siendo óptima en tanto la demanda de soldados sea por lo menos de 20. f) La empresa considera la opción de fabricar barcos de juguete. Para un barco se necesitan 2 horas de acabado y una de carpintería. La demanda no tendría límite y contribuye con 35 US$ a la utilidad, tendría que producir la empresa barcos de juguete? Sea x 3 = cantidad de barcos de juguete producidos cada semana. x 3 es variable básica, entonces se producirían barcos de juguete. 22

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