z(x) = x 1. Solucion optima. x 2

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1 CAPÍTULO FORMULACIÓN DE PROBLEMAS LINEALES Programación Lineal (PL) es un modelo de optimización de un problema de la vida real, en el cual una función objetivo es optimizada sujeta a un conjunto de restricciones. En este capítulo se discuten las técnicas empleadas para "transformar" un problema de la vida real en una formulación de programación lineal. Problema de la vida real Formulación adecuada - Problema de Prog. Lineal Figura.: Formulación del problema de programación lineal. Modelamiento matemático Generalmente, los problemas de la vida real pueden ser descritos a través de un modelo matemático usando los siguientes pasos: Paso : Escoja adecuadamente las variables de decisión del problema: x i ;x ij ;x ijk, etc. A cada variable de decisión está asociada una actividad. Paso : Escriba la función objetivo y todas las restricciones del problema. La aplicación de estos pasos se mostrará a través de varios ejemplos.

2 Ejemplo : El problema de los fertilizantes Una empresa fabrica tipos de fertilizantes, llamados fertilizantes A y B, 3 tipos de materia prima son empleados en la preparación de estos fertilizantes como se muestra a continuación: Tabla.: Modelamiento de un problema de la vida real Toneladas de materia prima Cantidad máxima de necesarias para preparar Ton. de materia prima disponible Materia Prima Fertilizantes tipo A Fertlizantes tipo B por mes (Ton.) Lucro liquido por Ton. Fabricada $ 5 $ 0 Cual debe ser la produción para maximizar el lucro? Paso : Sean las variables de decisión: x =) Las tonelas de fertilizante tipo A preparadas x =) Las tonelas de fertilizante tipo B preparadas Paso : Formular el modelo matemático: PL = 8 >< >: max z(x) =5x +0x s:a: x + x» 500 x + x» 00 x» 500 x 0; x 0 Paso 3. Resolver el modelo matemático formulado: Observaciones: En la formulación de un PL son hechas, de manera implicita, las siguientes suposiciones (simplificaciones).. Aditividad: toneladas de materia prima tipo produce tonelada de A y tonelada del mismo produce tonelada de B! x + x toneladas de materia prima tipo son necesarias para producir x toneladas de fertilizantes tipo A y x tonelas de fertilizantes tipo B. La suposición de aditividad implica también una función objetivo separable en las variables x j. La aditividad implica que el consumo total es igual a la suma de los consumos parciales.

3 3 x x 500 Solucion optima x = x = z(x) = 3500 x x + x 500 x + x 00 Figura.: Representación gráfica del problema de los fertilizantes. Proporcionalidad: Si son necesarias toneladas de materia prima tipo para preparar tonelada de fertilizante tipo A entonces, la proporcionalidad implica que son necesarias x toneladas de materia prima tipo para preparar x toneladas de fertilizante tipo A. Si $5 es el lucro para una tonelada del fertilizante tipo A producido, entonces x toneladas producidas conducen aunlucro de 5x. 3. Restricciones de no negatividad: Las variables x ;x, etc. son no negativas ya que ellas representan actividades de la vida real, entonces en el PL padronizado se tendrá que: x 0;x 0,etc. 4. Variación continua de las variables: Fue asumido que las varibles x j pueden asumir todos los valores reales en su intervalo de variación. En la vida real muchas variables de decisión están restringidas a asumir valores enteros o discretos. Si las restricciones de continuidad de las variables es considerada, esto es, si las variables son restringidas para asumir solamente valores enteros, entonces esto conduce a otra disciplina denominada programación lineal entera (PLE).

4 4 Ejemplo : Preparación de combustible Una refiner a compra 4 tipos de petróleo, las mezcla y produce 3 tipos de combustibles. Los datos son los siguientes: Tabla.: Datos para el ejemplo de la preparación de combustible Tipo de petróleo Octanaje Barriles disponibles por d a Costo por barril (US $) Tabla.3: Datos para el ejemplo de la preparación de combustible Tipo de combustible M nimo Octanaje Precio de venta ($/barril) Venta esperada Máximo 0000 b/d a Cualquier cantidad M nimo 5000 b/d a La empresa puede vender el petróleo original no utilizado a US$38.95 por barril si su octanaje es mayor de 90 o a US$36.85 por barril si su octanaje es menor de 90. Como la empresa puede maximizar el lucro diario? Sean las variables: x ij = Barriles de petróleo tipo i empleados en la preparación del combustible tipo j por d a. i=,,3,4 ; j=,,3. y i = Barriles de petróleo tipo i vendidos sin modificación. Observación: Restricción de octanaje. Para el combustible tipo por el principio de proporcionalidad y aditividad se tiene: (68x +86x +9x 3 +99x 4 )=(x + x + x 3 + x 4 ) 95 Entonces : (68x +86x +9x 3 +99x 4 ) 95(x + x + x 3 + x 4 ) 0 Usando esa idea para los otros tipos de combustible se puede formular el modelo matemático.

5 5 Planteamiento del modelo matemático del problema del combustible: max z(x) = 45:5(x + x + x 3 + x 4 )+4:95(x + x + x 3 + x 4 )+ 40:99(x 3 + x 3 + x 33 + x 43 ) + (por venta de combustible) +y (36:85 3:0) + y (36:85 33:5) + y 3 (38:95 36:35)+ y 4 (38:95 38:75) + (por venta de residuos) s:a: 3:0(x + x + x 3 ) 33:5(x + x + x 3 ) 36:35(x 3 + x 3 + x 33 ) 38:75((x 4 + x 4 + x 43 ) (por cómpra de petróleo) 68x +86x +9x 3 +99x 4 95(x + x + x 3 + x 4 ) 0 68x +86x +9x 3 +99x 4 90(x + x + x 3 + x 4 ) 0 68x 3 +86x 3 +9x x 43 85(x 3 + x 3 + x 33 + x 43 ) 0 (exigencia de octanaje) x + x + x 3 + y =4000 x + x + x 3 + y =5050 x 3 + x 3 + x 33 + y 3 =700 x 4 + x 4 + x 43 + y 4 =4300 (Cantidad de petróleo a ser utilizada) x + x + x 3 + x 4» 0000 x 3 + x 3 + x 33 + x (L mites de producción) x ij ;y i 0; 8i; j Reorganizando el sistema de ecuaciones planteado anteriormente se obtiene: max z(x) = 4:3x +:93x +9:97x 3 +:00x +9:80x +7:80x 3 +8:80x 3 +6:60x 3 + 4:64x 33 +6:40x 4 +4:0x 4 +:4x 43 +5:83y +3:70y +:60y 3 +0:0y 4 s:a: 7x +9x +4x 3 4x 4» 0 x +4x x 3 9x 4» 0 7x 3 x 3 6x 33 4x 43» 0 x + x + x 3 + y =4000 x + x + x 3 + y =5050 x 3 + x 3 + x 33 + y 3 =700 x 4 + x 4 + x 43 + y 4 =4300 x + x + x 3 + x 4» 0000 x 3 + x 3 + x 33 + x x ij ;y i 0; 8i; j

6 6 Solución obtenida (usando software de PL): z(x) = 40, Variables del problema: x =0;x =0;x 3 = 3457:4;y =54:6 x =509:97;x =0;x 3 =3540:03;y =0 x 3 =0;x 3 =0;x 33 = 700;y 3 =0 x 4 =3397:44;x 4 =0;x 43 =90:56;y 4 =0 Cantidad de combustible producidos: v j v = x + x + x 3 + x 4 = 4907:4 v = x + x + x 3 + x 4 =0 v 3 = x 3 + x 3 + x 33 + x 43 = 5000:00 Petróleo comprado: p i p = x + x + x 3 + y =4000 p = x + x + x 3 + y =5050 p 3 = x 3 + x 3 + x 33 + y 3 =700 p 4 = x 4 + x 4 + x 43 + y 4 =4300 Petróleo vendido sin modificación: y = 54:6; y =0;y 3 =0;y 4 =0 Lucro: z(x) = 40; 074:88 Ejemplo 3: El problema de la dieta En este problema se tienen tipos de granos y se desea obtener una dieta adecuada a un costo m nimo. As la dieta entrega la cantidad de cada producto que debe ser consumida diariamente. Cada nutriente debe ser al requerimiento m nimo diario (RMD) en la dieta diaria. A continuación se muestran los datos para 3 tipos de nutrientes: Almidón, proteina y vitamina. Tabla.4: Datos para el ejemplo de la dieta Unidades de nutriente/kg de tipo de grano RMD de unidades Nutriente Tipo Tipo de nutriente Almidón Proteina 4 5 Vitamina 3 Costo ($/Kg) Cómo debe prepararse la dieta más adecuada? Sean las variables de decisión: x =) cantidad de producto de tipo utilizado x =) cantidad de producto de tipo utilizado

7 7 Planteamiento del modelo : min z(x) =0:60x +0:35x s.a. 5x +7x 8 4x +x 5 x + x 3 Almidón Proteina Vitamina x ;x 0 Observación : El problema de la dieta no tiene mucho uso práctico en la alimentación de personas, sin embargo modelos más sofisticados son empleados en la determinación de la dieta más adecuada de animales. x x = x = 0 Z(x) = Solucion optima x x x 8 4x + x 5 5x x Figura.3: Representación gráfica del problema de la dieta Ejemplo 4: El problema de transportes En el problema de transportes se tienen un conjunto de nodos de origen (fábricas) donde existen productos que deben ser transportados a los nodos de destino (almacenes). Son especificadas la cantidad de producto disponible en cada centro de origen y la cantidad de productos requeridos por cada centro de destino, as como los costos de transporte de cada unidad del producto. El problema es determinar la cantidad de producto a ser transportado de cada centro de origen a cada centro de demanda con m nimo costo total.

8 8 Origen Transporte del producto x ij Costo de Transporte - destino c ij i j Figura.4: El problema de transportes En el siguiente ejemplo los centros de origen son las minas y, el producto es mineral ferroso y el destino 3 siderúrgicas de acero que requieren del mineral ferroso. Los datos son los siguientes: Tabla.5: Datos para el ejemplo del transporte Costo unitario de transporte del Cantidad de mineral mineral de la mina a la siderúrgica disponible en la mina Centavos/tonelada (toneladas) Mina Tipo Tipo Tipo 3 Mina Mina Toneladas de mineral necesarias en cada siderúrgica Variable de decisión: x ij! cantidad de producto transportado del origen ialdestinoj. Entonces se plantea el siguiente modelo matemático: Planteamiento del modelo : min z(x) = 9x +6x +8x 3 +4x +9x +9x 3 s:a: Debe : x + x + x 3» 03 Salir de la mina x + x + x 3» 97 Salir de la mina x + x 7 Llegar a la siderurg. x + x 33 Llegar a la siderurg. x 3 + x 3 96 Llegar a la siderurg. 3 x ij 0 8 i =; ; j =; ; 3

9 Z ο οοο X XXX ρ ρ Origen (Mina) ο οοο ο οοο ο ο ο: X ρ XXX Z ρ X Z XXX ρ Z ρ X X Xz Zρ ρ ρz Z ρ ρ ρ Z ο οοο Z ο οοο Z ο οοο Z X XXX Z X XXX X XXX c 3 =9 ρ Z ρ Z ρ ρ> ο ο ο: Z Z~ X X Xz 3 Destino (Siderúrgica) 9 Figura.5: Figura del problema de transportes Observación: El problema de transporte tiene una estructura muy especial. As el sistema anterior (PL) puede ser representado usando el siguiente arreglo matricial. Tabla.6: Estructura del problema de transporte Siderúrgica (destino) 3 Mina x x x 3» Mina x x x 3» x ij 0 8 i; j Minimizar costo Cada x ij representa la cantidad transportada de i a j y en el mismo cuadro aparece el costo de transporte de una unidad de producto. Las restricciones de origen aparecen en la horizontal y las de destino en la vertical. La función objetivo es la suma de los productos de cada cuadro. Cualquier PL que pueda ser representado en un arreglo de este tipo es llamado de problema de transportes.

10 0 Solución del problema anterior (usando un software): x =03 x =7 x =30 x 3 =96 =) z(x) = 5336 Propiedad importante de un problema de transportes : Si todos los parámetros que definen los recursos disponibles y los recursos necesarios de un problema de transportes son enteros positivos y el problema tiene por lo menos una solución factible, entonces ese problema de transportes tiene una solución óptima en que todos los x ij son enteros. Entretanto, si el problema tiene soluciones óptimas alternativas la propiedad solamente garantiza que por lo menos una de esas soluciones es entera, as puede existir una solución óptima alternativa fraccionaria. Ejemplo 5: El problema de designación (atribuir). (El acompan~amiento óptimo). Considere un club de sociologos constituidos por 5 hombres y 5 mujeres donde cada uno de ellos conoce los otros muy bien. Se puede cuantificar la felicidad obtenida cuando el hombre i está junto con la mujer j durante el tiempo x ij. Ese grado de felicidad" es igual a c ij x ij donde los c ij son los siguientes: Tabla.7: Datos de los c ij para el problema del acompan~amiento óptimo j i As los valores anteriores representan las tasas de felicidad para las diferentes parejas. Determinar cuánto tiempo debe pasar cada hombre del club con cada mujer en la tentativa de maximizar el grado de felicidad" de todos los socios del club. Para simplificar el modelo se supone que en el restante de tiempo disponible de los miembros del club la felicidad de todos ellos es igual. Variable: x ij! El hombre i y la mujer j pasan juntos una unidad de tiempo. x ij representa la fracción de su tiempo libre que el hombre i y la mujer j pasan juntos, i =,,3,4,5; j =,,3,4,5. Las restricciones del problema son las varias experiencias de cada miembro en la utilización de su tiempo libre. As por ejemplo, el hombre ocupa varias fracciones de tiempo con cada una de las mujeres y la suma de esas fracciones debera ser igual a, esto es, x + x + x 3 + x 4 + x 5 =. Como cada socio del club conduce a una restricción, el problema de designación tiene 0 restricciones y la estructura mostrada en la tabla.8.

11 Tabla.8: Estructura de los datos del problema del acompan~amiento óptimo mujer hombre x x x 3 x 4 x 5 = x x x 3 x 4 x 5 = x 3 x 3 x 33 x 34 x 35 = x 4 x 4 x 43 x 44 x 45 = x 5 x 5 x 53 x 54 x 55 = = = = = = x ij 0 i =; ; 3; 4; 5; j =; ; 3; 4; 5 Maximizar objetivo Entonces el problema de designación es un caso especial del problema de transportes donde el número de centros de origen es igual al número de centros de consumo y la disponibilidad de recursos es igual a. También todas las restricciones son de igualdad. Es evidente que el valor de los x ij están en el intervalo: 0» x ij» y de la propiedad del problema de transporte se puede concluir que en la solución óptima todos los x ij son iguales a 0ó a,o sea, todos los x ij asumen valores enteros. Una solución óptima es: x =(x ij )= Grado de felicidad": z(x) = 459. Observación: El hombre 5 y la mujer 5 fueron sacrificados". Ese problema de un club no puede ser generalizado a una sociedad ya que en ese caso no son válidas las suposiciones de proporcionalidad y aditividad, y la función objetivo no es adecuada. Proporcionalidad! cuando aumenta el tiempo entonces el grado de felicidad disminuye. Aditividad! grandes felicidades no pueden eliminar algunas infelicidades. Función objetivo! cada persona decide en función de su propia felicidad y no pensando en la felicidad integral de la sociedad.

12 . Solución de Problemas de Programación Lineal de Variables: Método Gráfico Cuando existen solamente variables x y x entonces es posible resolver gráficamente el PL. Sea el problema: min z(x) = x 3x s:a: g (x) =x + x» 6 g (x) = x +x» 8 x ; x 0 Se procede a representar las restricciones para determinar la región factible. En las restricciones de desigualdad, la región factible se puede determinar fácilmente usando el concepto de gradiente o identificando un punto factible t pico, generalmente el origen. Sea g (x) una restricción: g (x) =x + x 6» 0entonces: rg (x) 3 5 = " # Entonces, el vector (; ) indica la dirección de máximo crecimiento de g (x). Como g» 0 entonces la región factible de esta restricción es en sentido contrario al gradiente como se muestra en la figura.6. Igualmente se puede proceder con el objetivo. Se puede respresentar una función objetivo t pica, generalmente aquella que pasa por el origen, y transportarla paralelamente en la dirección de disminución para el problema de minimización (o de aumento para el problema de maximización) de la función objetivo hasta encontrar el último punto factible. El concepto de gradiente también puede ser usado para determinar la dirección de la máxima disminución. Sea z(x) = x 3x = cx, donde c =( ; 3) son los coeficientes de la función objetivo. Entonces: rz(x) 3 5 = " 3 # = c Entonces el vector c =( ; 3) indica el sentido en que z(x) se incrementa más rápidamente. Como nuestro problema es de minimización entonces el sentido de minimización más pronunciado es dado por el vector c =(; 3).

13 3 Ejemplo 6: Sea el PL: min z(x) = x 3x s:a: x + x» 6 x +x» 8 x ; x 0 La solución óptima de este problema, encontrado gráficamente, es presentado en la figura.6. x = 4 3 x = 4 3 ) z(x) = 46 3 x 5 Optimo 4 3 C x - 3x = Kop Region Factible x - 3x = 0 x Figura.6: Método gráfico en la solución de un problema de programación lineal

14 4 Interpretación gráfica del óptimo: x 5 p -C 0 p Optimo 4 -x - 3x = k 3 Cualquier direccion dentro de este cono es factible y produce una disminucion de z(x) Region donde z(x) puede disminuir Region Factible -C p x C -x - 3x = 0 Region donde exiten direcciones factibles p Figura.7: Direcciones de optimización Una condición necesaria y suficiente para que un punto extremo x Λ sea óptimo es que, en ese punto, x Λ, el vector c forme parte del cono formado por las normales de las restricciones activas en ese punto. La interpretación geométrica permite concluir que existe una dirección de optimización factible t si: ffl La dirección t forma un ángulo menor o igual a 90 o dirección de mejor a. (problema de minimización). con c, esto significa que existe una ffl La dirección t forma un ángulo mayor o igual a 90 o con cada vector normal p, esto significa que existe una dirección factible. El proceso de solución puede conducir a las siguientes conclusiones:. Solución factible: existe un vector x Λ =(x ;x ) que produce una función objetivo óptima z(x Λ ). En este caso todav a puede suceder lo siguiente:

15 5 ffl Óptimo finito único: existe solamente un xλ. ffl Óptimos finitos limitados: existen muchos xλ en un intervalo de variación de x» x Λ» x. ffl Óptimos finitos ilimitados: existen muchos xλ en un intervalo ilimitado: x» x Λ.. Solución infactible: no existe ningún punto factible. Las restricciones son conflictantes. 3. Solución ilimitada: z(x)!. La función objetivo puede disminuir (o crecer) indefinidamente..3 Ejercicios resueltos:. Una corporación tiene $ 30 millones disponibles para invertir en 3 subsidiarias. Para mantener cubierta su nómina de empleados debe invertir como m nimo $ 3M, $5 M y $ 8M en cada subsidiaria respectivamente. La subsidiaria II no puede tener una inversión superior a $ 7M. Cada subsidiaria puede ejecutar varios proyectos, cada uno caracterizado por un tope máximo y una tasa de retorno, dados en la siguiente tabla: Subsidiaria Proyecto Tope Máximo Tasa de Retorno $ 6M 8% I $ 5M 6% 3 $ 9M 7% $ 7M 5% II $ 0M 8% 3 $ 4M 9% $ 6M 0% III $ 5M 6% Formule matemáticamente el problema. Solución: Definimos x ij : inversión en la subsidiaria i proyecto j; x : inversión en la subsidiaria y proyecto x : inversión en la subsidiaria y proyecto x 3 : inversión en la subsidiaria y proyecto 3 x : inversión en la subsidiaria y proyecto x : inversión en la subsidiaria y proyecto x 3 : inversión en la subsidiaria y proyecto 3 x 3 : inversión en la subsidiaria 3 y proyecto x 3 : inversión en la subsidiaria 3 y proyecto

16 6 Función objetivo : Max Z(x) = 0:08x +0:06x +0:07x 3 + 0:05x +0:08x +0:09x 3 + 0:x 3 +0:06x 3 s:a: x + x + x 3 + x + x + x 3 + x 3 + x 3» 30M x + x + x 3 3M x + x + x 3 5M x + x + x 3» 7M x 3 + x 3 8M x» 6M x» 5M x 3» 9M x» 7M x» 0M x 3» 4M x 3» 6M x 3» 3M x ;x ;x 3 ;x ;x ;x 3 ;x 3 ;x 3 ; 0. Una persona está obligada a hacer una dieta alimenticia que tenga diariamente las siguientes cantidades de vitamina A,B,C y D. Vitamina A B C D Cantidad M nima 80 mg 70 mg 00 mg 60 mg La dieta debe incluir leche, arroz y carne que contienen los siguientes miligramos de vitaminas por kilogramo de alimento: V itamina Leche (Kg) Arroz (Kg) Frijol (Kg) Carne (Kg) A B C D Los costos unitarios ($/Kg) de estos alimentos son: Leche - 00, Arroz - 000, Frijol - 500, Carne Formular el PL correspondiente.

17 7 Solución: Definimos las variables : x i Kilogramos de alimento i, i =,,3,4 donde: -Leche,-Arroz,3-Frijol,4-Carne x : x : x 3 : x 4 : Kilogramos de Leche Kilogramos de Arroz Kilogramos de Frijol Kilogramos de Carne Dieta = x + x + x 3 + x 4 Función Objetivo : Min Z(x) = 00x +000x + 500x x 4 s:a: 0x +5x +9x 3 +0x x +7x +6x 3 +6x x +3x +4x 3 +7x x +x +3x 3 +8x 4 60 x ;x ;x 3 ;x Un analista de sistemas planea producir tres tipos de productos usando 4 máquinas. Cualquier producto puede ser producido en cualquier máquina. Los costos unitarios de producción de cada unidad de producto en cada máquina se muestran en la tabla.9 y las horas requeridas para producir una unidad de producto en cada máquina en la tabla.0. Tabla.9: costo Producto Máquina Tabla.0: tiempo Producto Máquina 3 4 0:3 0:5 0: 0: 0: 0:3 0: 0:5 3 0:8 0:6 0:6 0:5 Formule el problema como un PL de tal forma que minimize los costos de producción, si se requieren como minimo 4000, 5000 y 3000 unidades de los productos y la disponibilidad de Horas-Máquina es de 500, 00, 500 y 000 respectivamente.

18 8 Solución: Definimos x ij las unidades de producto i producido en la máquina j x : unidades de producto producido en la máquina x : unidades de producto producido en la máquina x 3 : unidades de producto producido en la máquina 3 x 4 : unidades de producto producido en la máquina 4 x : unidades de producto producido en la máquina x : unidades de producto producido en la máquina x 3 : unidades de producto producido en la máquina 3 x 4 : unidades de producto producido en la máquina 4 x 3 : unidades de producto 3 producido en la máquina x 3 : unidades de producto 3 producido en la máquina x 33 : unidades de producto 3 producido en la máquina 3 x 34 : unidades de producto 3 producido en la máquina 4 Función Objetivo : min Z(x) =4x +4x +5x 3 +7x 4 + 6x +7x +5x 3 +6x 4 + x 3 +0x 3 +8x 33 +x 34 s:a: x + x + x 3 + x x + x + x 3 + x x 3 + x 3 + x 33 + x :3x +0:x +0:8x 3» 500 0:5x +0:3x +0:6x 3» 00 0:x 3 +0:x 3 +0:6x 33» 500 0:x 4 +0:5x 4 +0:5x 34» 000 x ;x ;x 3 ;x 4 ;x ;x ;x 3 ;x 4 ;x 3 ;x 3 ;x 33 ;x 34 ; 0 4. Una empresa desea producir un compuesto preparado con la mezcla de dos productos qu micos y, mezclados en proporción 5: por peso. Los productos qu micos son fabricados de tres formas diferentes usando materias primas y un combustible. Los datos de producción se muestran en la tabla. Cuanto tiempo debe operar cada proceso para maximizar la cantidad total de compuesto producido? Requerimiento por unidad de tiempo Producción por unid. de tiempo Mat. Prima Mat. prima Combust. Quimico Quimico Proceso (Unid.) (Unid.) (Unid.) (Unid.) (Unid.) Cantidad Disponible Tabla.

19 9 Solución: Definimos: t i Unidades de tiempo que opera el proceso i Con i =,,3 Max Z(t) 9t +7t +0t 3 +6t +0t +6t 3 =5t +7t +6t 3 s:a: 9t +6t +4t 3» 00 5t +8t +t 3» t +75t +00t 3» 850 (9t +7t +0t 3 )=(6t +0t +6t 3 )=5= t ;t ;t 3 0 NOTA: Cabe anotar que la solución va a ser infactible porque en los tres procesos el cociente de qu mico a qu mico producido, siempre es menor a.5. La solución podria ser factible si se elimina la restricción de proporcionalidad (restricción igualada a 5/) y se maximiza únicamente la cantidad de qu mico producida. 5. Resolver gráficamente los siguientes PLs: a) max: 30x +0x b) min: x x s:a x + x x x 3x +x» 6 x x» x 0; x 0 s:a x + x 0 0x + x» 0 4x + x» 0 x +4x 0 x 0; x 0 c) min: x +3x d) min 0x +3x s:a x + x» 0 x + x» 0 x x 0 x + x» 30 x 0; x 0 s:a x + x» 0 x» 6 x x x» x 0; x 0

20 0 e) max x x s:a: x + x» x x» x 0; x 0 Solución: a) x Infinitas soluciones factibles - 3 x Figura.8: Solución gráfica del ejercicio (a) El PL tiene infinitas soluciones factibles correspondientes a la sección de la l nea recta: 3X +X = 6 acotada por las rectas X X = y X X =. Por lo tanto, la función objetivo es igual a 60 y son soluciones óptimas todos los puntos en el segmento de recta acotados por los puntos extremos (4/5,9/5) y (7/4,3/8).

21 b) X Funcion objetivo Conjunto convexo ilimitado X C Figura.9: Solución gráfica del ejercicio (b) En el caso (b), el conjunto convexo es ilimitado y no se puede determinar una solución óptima, ya que la función objetivo puede decrecer indefinidamente a medida que X se aumenta. Por lo tanto, el problema es ilimitado. c) X Region de solucion vacia 0 C X Funcion objetivo Figura.0: Solución gráfica del ejercicio (c) En el caso (c), la región factible es vacia. por lo tanto, no existe solución factible y el problema es llamado infactible.

22 d) X C Solucion optima X Figura.: Solución gráfica del ejercicio (d) En el caso (d), si existe una única solución óptima en x =yx = y la función objetivo es 3. e) -0.5 X X C Figura.: Solución gráfica del ejercicio (e) En el caso (e), existen infinitos puntos óptimos sobre la linea x x =, limitada por el punto extremo x =y x =0,e ilimitada hacia la parte superior. La función objetivo es. As, son puntos óptimos del problema todos los puntos de la semirecta x x = apartitdelpunto (,0).