SOLUCIÓN PRÁCTICA Nº 10. Programación Lineal. MATEMÁTICAS 1º VETERINARIA. Curso

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1 SOLUCIÓN PRÁCTIC Nº 0 Programación Lineal MTEMÁTICS º VETERINRI Curso Supongamos que se quiere elaborar una ración que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos diarios por ejemplo mg de vitamina 0 mg de B y 0 mg de C Para ello se van a mezclar dos clases de piensos P y Q cuyo precio por kilogramo es respectivamente de 0 y 0 pesetas y cuyo contenido en las vitaminas citadas es: B C kg de P mg 0 mg 0 mg kg de Q 0 mg 0 mg 0 mg Cómo deben mezclarse los piensos para que satisfagan esas necesidades vitamínicas con el menor gasto posible? Denotamos: = cantidad de P que se debe consumir diariamente y = cantidad de Q que se debe consumir diariamente La función objetivo a minimizar en este caso consiste en el coste producido por la compra de los piensos P y Q esto es: f( y) = 0 0y Las restricciones lineales que aseguran que se satisfacen las necesidades mínimas en contenido de vitaminas quedan epresadas como: 0y (vitamina ) 0 0y 0 (vitamina B) 0 0y 0 (vitamina C) Con todo ello y las restricciones de no negatividad debido a la definición de las variables el problema queda planteado como sigue: min f( y) = 0 0y sa: 0y 0 0y 0 0 0y 0 0 y 0

2 Sobre dos alimentos diferentes tenemos la siguiente información por kilogramo: limento Calorías Proteínas (gr) Precio (ptas) B Plantear el problema para hallar el coste mínimo de una dieta formada sólo por este tipo de alimentos y que al menos aporte 000 calorías y 00 gramos de proteínas Definimos las variables originales como: = kilogramos de alimento = kilogramos de alimento B La función a minimizar coste de la dieta será: f ( ) = 0 0 Las restricciones lineales del problema se formulan como: (aportación mínima de calorías) (aportación mínima de proteínas) Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: 0 El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: min f ( ) = 0 0 sa:

3 Una compañía de pulpa de papel posee dos regiones forestales la región I y la región II y dos molinos y B Las capacidades de suministro mensual de madera de las regiones I y II son 0 y 0 toneladas respectivamente El molino requiere por lo menos 00 toneladas de madera al mes y el B al menos 0 también al mes Los costes de transporte en unidades monetarias por tonelada de cada región a cada molino son los siguientes: de la región I al molino desde la región I al molino B desde la región II al molino y desde la región II al molino B Qué cantidad de madera debe transportarse desde cada región I y II a cada molino y B de forma que se minimice el coste total de transporte? Cuál ese coste mínimo? Hay algún trayecto que no debe realizarse para conseguir dicho coste mínimo? Definimos las variables originales como: = toneladas transportadas de I a B = toneladas transportadas de I a B = toneladas transportadas de II a B = toneladas transportadas de II a B La función a minimizar coste del transporte será: ( B B ) = B B f Las restricciones lineales del problema se formulan como: 0 (oferta de la región I) B B B B 0 (oferta de la región II) 00 (demanda del molino ) 0 (demanda del molino B) Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: 0 B B El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: min f ( B B ) = B B sa: 0 B B 0 00 B B 0 B B 0

4 Plantear el problema del transporte para tres proveedores B y C que suministran como máimo 7 y unidades respectivamente y dos clientes M y N que consumen al menos 8 y 9 unidades respectivamente Los costos del trasporte de cada unidad de cada uno de los proveedores a M y N son y y y respectivamente El problema se modeliza utilizando seis variables de decisión: uds transportadas desde a M uds transportadas desde a N uds transportadas desde B a M uds transportadas desde B a N uds transportadas desde C a M uds transportadas desde C a N Mínimizar (coste total) Sujeto a 8 (M recibe al menos 8 unidades) 9 7 (N recibe al menos 9 unidades) (de salen como mucho unidades) (de B salen como mucho 7 unidades) (de C salen como mucho unidades) i 0 i= La compañía Bluegrass Farms Inc de Leington Kentucky está eperimentando una ración especial para caballos de carreras Los componentes disponibles para la ración son un pienso común para caballos un producto de avena enriquecido con vitaminas y un nuevo aditivo con vitaminas y minerales Los valores nutritivos en unidades por libra y los costes para los tres componentes alimenticios son los siguientes: Pienso vena ditivo Ingrediente Ingrediente B 0 0 Ingrediente C Precio por Libra 0 00 Supóngase que el entrenador de los caballos fija los requerimientos diarios de la ración en unidades del ingrediente en unidades del ingrediente B y en unidades del ingrediente C Para efectos de control de peso el entrenador no desea que el alimento total diario de un caballo eceda las libras Plantear el problema para determinar cuál es la mezcla óptima diaria de los tres componentes alimenticios

5 Sean y las libras de los tres componentes: pienso avena y aditivo respectivamente El problema que resulta es Minimizar z= 0 00 Sujeto a 0'8 0' ' 0' 0' 0 En su consumo diario promedio de alimento un animal rapaz necesita 0 unidades de alimento unidades de alimento B y unidades de alimento C Estos requerimientos se satisfacen cazando dos tipos de especies Una presa de la especie I suministra y unidades de los alimentos B C respectivamente; una presa de la especie II suministra y unidades de los alimentos B C respectivamente Capturar y digerir una pieza de la especie I requiere unidades de energía en promedio mientras que el gasto de energía correspondiente para la especie II es de unidades Cuántas presas de cada especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades alimenticias haciendo un gasto mínimo de energía? Sean i el número de presas de cada especie (i=) Minimizar z= Sujeto a 0 X = 0 7 Un fabricante desea encontrar la producción semanal óptima de los artículos B y C para maimizar sus beneficios Las ganancias por unidad de estos artículos son: y unidades monetarias respectivamente Los productos B y C se procesan en dos máquinas con las siguientes necesidades horarias por artículo y máquina: Especificaciones horarias por artículo B C Máquina 0 Máquina El número de horas disponibles por semana de cada máquina es de 0 y 0 horas respectivamente Por necesidades de mercado la producción semanal de los artículos y B debe de ser al menos de 0 unidades Cuántas unidades debe producir el fabricante de cada artículo semanalmente? Cuál será su ganancia semanal?

6 Consideraremos las siguientes variables de decisión producción semanal de producción semanal de B producción semanal de C El planteamiento del problema: Ma z = sja i 0 i = 8 En una eplotación agraria de 00 hectáreas se desean realizar diferentes labores como son: cultivar dos tipos de cereal (trigo y cebada) plantar dos tipos de frutales (perales y manzanos) y reforestar para lo cual se plantarán pinos y chopos Los beneficios que se obtienen por cada hectárea cultivada de trigo y cebada son respectivamente y unidades monetarias; así mismo por cada hectárea de perales se obtienen um y por cada hectárea de manzanos um Por otro lado se obtiene una subvención por la reforestación y se otorgan um por cada hectárea de pinos y um por cada hectárea de chopos Las normas de la eplotación obligan a utilizar al menos el 0% del total de la tierra en el cultivo de los cereales y como máimo un % de la tierra en cualquiera de las otras dos labores frutales o reforestación Plantear el problema para calcular cómo ha de repartirse la tierra para obtener un máimo beneficio Definimos las variables originales como: = hectáreas cultivadas de trigo = hectáreas cultivadas de cebada = hectáreas plantadas de perales = hectáreas plantadas de manzanos = hectáreas plantadas de pinos = hectáreas plantadas de chopos La función a maimizar beneficio obtenido será: ( ) = f

7 Las restricciones lineales del problema se formulan como: 00 (máimo de hectáreas) 0 0 (normas de la eplotación) 0 (normas de la eplotación) 0 (normas de la eplotación) Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: 0 El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: ma f = sa: