Algunos conceptos que utilizaremos en lo sucesivo son: Sistema de restricciones lineales: conjunto de todas las restricciones.

Transcripción

1 A partir del planteamiento del problema de Programación Lineal expresado en su formulación estándar, vamos a estudiar las principales definiciones y resultados que soportan el aspecto teórico del procedimiento de solución que veremos posteriormente. max Z = CX A: matriz de coeficientes tecnológicos. s.a.: AX = B B: vector de disponibilidad de recursos. X 0 C: vector de precios o costes unitarios DEFINICIONES Algunos conceptos que utilizaremos en lo sucesivo son: Función objetivo: la función a optimizar f(x). Sistema de restricciones lineales: conjunto de todas las restricciones. Solución factible: X ( x,, ) lineales. = que satisfaga el conjunto de restricciones 1 x n Solución factible básica: la que tiene a lo sumo m variables no nulas. Solución factible básica no degenerada: la que tiene exactamente m variables no nulas. Solución óptima: la mejor entre las factibles. Región de factibilidad (F): conjunto de todas las soluciones posibles o factibles. 7

2 Siempre que el problema incluya únicamente dos o tres variables de decisión, podemos representar gráficamente las restricciones para dibujar en su intersección el poliedro convexo que conforma la región de factibilidad F. Si el número de variables es dos, las restricciones, semiespacios cerrados, son semiplanos delimitados por la recta que corresponde a cada restricción. Si el número de variables es tres, los semiespacios en este caso están delimitados por planos REGLA DE LOS CINCO PASOS Para hallar, gráficamente, la solución de un problema de Programación Lineal con dos variables, procederemos del siguiente modo: Paso 1: representaremos todas las restricciones del problema para determinar la región de factibilidad F. Si ésta es vacía, el problema no tiene solución óptima, se dice que es inconsistente. En otro caso, ir al paso 2. Paso 2: identificar los extremos o vértices de F. Paso 3: dibujar una de las rectas que pertenece a la familia de rectas paralelas que representa la función objetivo, f(x) = k. Habitualmente, suele dibujarse f(x) = 0 por comodidad. Paso 4: desplazamos paralelamente a sí misma la recta que representa la función objetivo para determinar la dirección de mejora, que será aumento o disminución según si el objetivo del problema es la maximización o minimización de dicha función. 8

3 Paso 5: el punto extremo de F al que corresponde el valor óptimo para la recta que representa la función objetivo es la solución óptima finita del problema. Nota: hay que tener en cuenta que pueden presentarse las situaciones estudiadas en el apartado anterior, cuando existe más de un punto extremo o la región de factibilidad es no acotada EJEMPLO (El problema de la ración) Supongamos que se quiere elaborar una ración que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos diarios, por ejemplo 2 mg de vitamina A, 60 mg de B y 40 mg de C. Para ello se van a mezclar dos clases de piensos, P y Q, cuyo precio por kilogramo es, respectivamente, de 40 y 60 pesetas, y cuyo contenido en las vitaminas citadas es: A B C 1 kg de P 1 mg 20 mg 10 mg 1 kg de Q 0.5 mg 20 mg 20 mg Cómo deben mezclarse los piensos para que satisfagan esas necesidades vitamínicas con el menor gasto posible?. Solución: Denotamos: x = cantidad de P que se debe consumir diariamente. y = cantidad de Q que se debe consumir diariamente. La función objetivo a minimizar en este caso consiste en el coste producido por la compra de los piensos P y Q, esto es: f(x, y) = 40x + 60y 9

4 Las restricciones lineales que aseguran que se satisfacen las necesidades mínimas en contenido de vitaminas quedan expresadas como: x + 0.5y 2 (vitamina A) 20x + 20y 60 (vitamina B) 10x + 20y 40 (vitamina C) Con todo ello, y las restricciones de no negatividad debido a la definición de las variables, el problema queda planteado como sigue: min f(x, y) = 40x + 60y s.a.: x + 0.5y 2 20x + 20y 60 10x + 20y 40 x 0, y 0 Dibujamos la región de factibilidad: 4 A 3 2 B 1 C x + 60y = 0 x + 0.5y = 2 20x + 20y = 60 D 10x + 20y = 40 El mínimo se alcanza en C(2,1), esto es, se necesitan 2 kilogramos de P y 1 kilogramo de Q, con un coste diario por animal de 140 pesetas. 10

5 Otra opción de resolver este tipo de problemas en dos dimensiones consiste en, una vez localizados los puntos extremos en el paso 2, sustituir los pasos 3, 4 y 5 del método de resolución gráfica por una simple sustitución de los vértices en la función objetivo para localizar visualmente en cuál se alcanza el óptimo buscado. En esta segunda opción, hay que tener en cuenta que si la región de factibilidad no está acotada como en el ejemplo, es necesario seleccionar, junto con los vértices, un punto en cada una de las restricciones por las que no se cierra la región factible, y una vez sustituidos en la función objetivo, realizar el límite a lo largo de la restricción correspondiente. Ilustramos esta operación con el ejemplo que estamos considerando. En este caso, los vértices son: A(0,4), B(1,2), C(2,1), D(4,0), y consideramos dos puntos de la forma E(x,0), F(0,y) que corresponden a las rectas que abren la región factible. Sustituimos estos seis puntos en la función objetivo a minimizar: f(a) = f(0,4) = 240 f(b) = f(1,2) = 160 f(c) = f(2,1) = 140 f(d) = f(4,0) = 160 f(e) = f(x,0) = 40x lim 40 x = + x + f(f) = f(0,y) = 60y lim 60 y = + y + Como es obvio, el resultado es el mismo. Es de destacar en este ejemplo que la misma función con las mismas restricciones no posee máximo acotado OBSERVACIONES Observación 1: Si f(x, y) = ax + by, la dirección de mejora se obtiene geométricamente de la siguiente manera: 11

6 Si b > 0, el máximo se calculará trasladando paralelamente f(x, y) = k hasta que toque al último vértice, donde se encontrará el máximo. Para el caso de mínimo, se realizará lo mismo para el primer vértice. Si b < 0, se procede de manera contraria, esto es, para el máximo nos fijaremos en el primer vértice, y para el mínimo en el último. Observación 2: En caso de duda, calcular el valor de f en los vértices, si la región de factibilidad está acotada. Si no lo está, mirar también en puntos alejados a ver que pasa (como ya hemos mencionado antes). Observación 3: Observemos, por último, que este mismo procedimiento puede seguirse en el caso de que el problema incluya tres variables, efectuando una representación espacial en IR 3. Lógicamente, si la dimensión del problema es mayor, la representación gráfica es imposible. 12