3.1. La Optimización Lineal El Planteamiento

Transcripción

1 Gerardo Febres Última revisión: La Optimización Lineal El Planteamiento Planteemos un problema extremadamente sencillo. Hacer máximas las ganancias obtenidas al vender tornillos. Este sería un problema de optimización de una sola variable, el número de tornillos. La solución es =. Agreguemos algunos límites a esta situación para hacerla más parecida a la realidad. No tenemos más de tornillos ni podemos comprar, es decir no podemos vender cantidades negativas. Ahora podemos representar el problema en la única dimensión en la que el existe. - 0 Así tenemos que el número de tornillos vendidos está restringido a la condición 0.Si a cada tornillo vendido se asocia una ganancia, entonces la ganancia total máxima es =.. Agreguemos tuercas al problema. De manera análoga hay limitaciones al número de tuercas que podemos vender: 0. Además la ganancia por cada tuerca vendida es distinta a la ganancia obtenida por cada tornillo. Ahora el problema es de dos dimensiones pero la solución para hacer máximas las ganancias es tan obvia como lo fue la del problema de una dimensión =. +.. Pero supongamos que por alguna razón el número total de piezas vendidas, sean tuercas o tornillos, está limitado a algún número positivo. Es decir que a las limitaciones y hay que agregar otra: +. Es fácil advertir que respetando las limitaciones, será conveniente vender la combinación de tuercas y tornillos que, considerando las ganancias relativas a cada producto, permitan alcanzar las máximas ganancias posibles. Sin embargo ya no podemos, independientemente de nuestra inteligencia, decir

2 cuantas tuercas y cuantos tornillos corresponden al máximo de las ganancias. En efecto, podemos intuir que si las ganancias por tuerca son mucho mayores a las ganancias por tornillo, entonces convendría vender solo tuercas y ningún tornillo. Eso sería =, = 0. Pero en la situación contraria, tornillos mucho más atractivos para la venta, se invertiría la distribución, es decir = 0, =. Así tenemos aquí un problema cuya solución salta de un punto a otro dependiendo de los valores específicos que adoptan algunos de los parámetros que participan en el planteamiento del problema. Este problema tiene solución analítica. Pero esa solución requiere procesos iterativos para localizar la condición más favorable, a la que en lo sucesivo llamaremos óptima. Empecemos por ofrecer una forma de presentar este tipo de problema. A la expresión que refleja nuestra conveniencia de hacer máximas las ganancias la llamamos función objetivo (f.o). Entonces decimos que la f.o. es maximizar una función que depende los valores que adopten las variables del problema. Cuando los conveniente es minimizar simplemente cambiamos el término maximizar por minimizar. Adicionalmente hay que describir el espacio dentro del cual las variables del problema pueden adoptar valores que cumplan con las limitaciones. Este espacio lleva el nombre de Espacio de Factibilidad y está definido por inecuaciones (o ecuaciones) que representan cada una de las limitaciones del problema. A esta expresiones se distinguen con el nombre Restricciones, y vienen agrupadas después de la frase Sujeto A para indicar que la función objetivo solo podrá ser aplicada dentro de ese espacio. Así, en nuestro ejemplo el planteamiento del problema es el siguiente: Función objetivo max =. +. Sujeto a Rest. 1 Rest. 2 Rest. 3 + Rest. 4, 5, 0 Para ilustrar el rol de cada uno de los componentes de este problema, y aprovechando el hecho de que se trata dde un problema de dos dimensiones, se presenta a continuación diagramas que muestran las restricciones y el espacio de factibilidad resultante.

3 Restricciones 1y 4 Restricciones 2y 5 Restricción 3 Espacio de factibilidad Las figuras muestran las restricciones asociadas a cada recurso. El área sombreada representa la sección factible para cada recurso. Al final se muestra la superposición que representa el espacio de factibilidad. Debe notarse que la forma del espacio de factibilidad, un pentágono en este caso, depende del número de restricciones impuestas en el problema y de los valores relativos entre los parámetros, y La Solución Sabemos, por el análisis hecho en secciones anteriores, que si la función objetivo y las restricciones son expresiones lineales, entonces los valores máximos y mínimo de la función objetivo ocurren en vértices de espacio de factibilidad. Esto significa que una estrategia para resolver este problema podría ser evaluar la función objetivo en todos los vértices y reconocer el que conduce a un valor máximo, si se trata de un problema de maximización, o un

4 mínimo para el caso de problemas de minimización. En efecto, esta es la base de todos los métodos de optimización que veremos más adelante. Observando que los vértices siempre están sobre la condición de igualdad de las inecuaciones que representan las restricciones, podemos desestimar la desigualdad y trabajar solo con el signo igual. Nótese además que en el caso general, todos los vértices del espacio factible resultan de combinar algunas (no necesariamente todas) restricciones. Esto significa que si encontramos los puntos de corte de las combinaciones de restricciones que definen el espacio factible, podemos obtener un número pequeño en todo caso reducido- de vértices en los cuales evaluar la función objetivo y determinar el punto óptimo del problema. Planteando las restricciones como expresiones de igualdad para el ejemplo se tienen que: Restricción 1: = Restricción 2: = Restricción 3: = Restricción 4: = 0 Restricción 5: = 0 Hemos agregado coeficientes iguales a cero para mantener organizadas las columnas según correspondan a una variable o a otra. Es obvio que no existen valores de T y U que simultáneamente cumplan con las tres restricciones. Esto equivale a decir que ningún vértice del área factible está sobre las tres restricciones representadas. Sin embargo, si se toma restricciones en grupos de dos, y se resuelve el sistema de dos ecuaciones, se estará ubicando la posición exacta de un vértice. Así, tomando las restricciones 1 y 3 se obtiene el vértice ubicado en = y =. Por su parte, las restricciones 4 y 5 definen el vértice ubicado en el origen. Si se presentan las expresiones que corresponden al grupo de las restricciones que definen un vértice en forma matricial, queda algo así:

5 = (3.1.1) donde es el vector formado por las variables y, el vector formado por los valores del lado derecho de las restricciones, y la matriz cuadrada formada por los coeficientes que corresponden a las restricciones seleccionadas. Entonces, en el caso específico del vértice formado por la conjunción de las restricciones 1 y 3, se tiene = , =, = (3.1.2a, 3.1.2b, 3.1.2c) Despejando los valores del vector de la Ecuación (1) se tiene que = (3.1.3) Vale la pena insistir en el hecho de que la matriz está formada solo por los coeficientes que corresponden al vértice seleccionado. Finalmente, para distinguir los valores que corresponden al punto óptimo, se suele agregar un * al nombre de la matriz B y el vector de variables x. Quedarían como y.