Tema 7: Programación matemática

Transcripción

1 Tema 7: Programación matemática Formulación general: Optimizar f( x) sujeto a x X f : D R n R función objetivo x = (x 1, x 2,..., x n ) variable X R n conjunto de oportunidades o conjunto factible x X x punto admisible o factible X = D X. D (dominio de la función), S (conjunto de puntos que satisfacen las restricciones)

2 Sean A R n, f : A R, ā A. f tiene un máximo (mínimo) local o relativo en ā r > 0/f( x) f(ā)( ), x A B(ā, r). Si f( x) < (>)f(ā), x ā, entonces hablaremos de máximo (mínimo) local estricto. En general, hablaremos de óptimo local o extremo relativo, para referirnos a máximo local o relativo o a mínimo local o relativo, según proceda. f tiene un máximo (mínimo) global o absoluto en ā f( x) f(ā)( ), x A. Si f( x) < (>)f(ā), x ā, entonces hablaremos de máximo (mínimo) global estricto. En general, hablaremos de óptimo global o extremo absoluto, para referirnos a máximo local o relativo o a mínimo local o relativo, según proceda.

3 Clasificación de programas matemáticos Según las propiedades de la función objetivo y de las funciones que definen las restricciones. Pueden ser: Programas diferenciables: todas las funciones implicadas son de clase C 2. sin restricciones. con restricciones de igualdad. con restricciones de desigualdad. Programas convexos: f convexa o cóncava y X convexo. Programas no diferenciables: f no diferenciable. Conjuntos convexos Definición (segmento lineal): Dados x, ȳ R n, el segmento lineal cerrado que une x, ȳ es el conjunto: [ x, ȳ] = {(1 t) x + t ȳ R n /0 t 1} El segmento lineal abierto que une x, ȳ será: [ x, ȳ] = {(1 t) x + t ȳ R n /0 < t < 1} Definición (conjunto convexo). Sea A R n. A se dice convexo x, ȳ A, [ x, ȳ] A. En general, un punto x R n es combinación convexa de x 1, x 2,..., x n R n t 1,..., t n R, t i > 0(i = 1,..., n) : t i = 1 tales que x = t i x i. Caracterización de conjuntos convexos

4 A R n convexo dados cualesquiera x 1,..., x n A, y t 1,..., t n 0 : t i = 1 se tiene que: t i x i A Definición (vértices): Sea A R n convexo, x A es un vértice o punto extremo de A si y sólo si, x 1, x 2 A distintos, tales que: x [ x 1, x 2 ] Propiedades de los conjuntos convexos: 1. Sean A i R n convexos (i I), entonces i I A i es también convexo. 2. Sean A 1 R n, A 2 R m convexos, entonces A 1 A 2 = { (x, y) R n+m } /x A 1, y A 2 es convexo. 3. Sean A i R n, i = 1,..., n convexos, entonces { } A i = x = x i tales que: x i A i, i = 1,..., n es también convexo. 4. Sea A R n convexo, entonces αa = {α x/ x A} es convexo. Algunos convexos notables: 1. Hiperplano de R n. Sean c = (c 1, c 2,..., c n ) R n, α R. Denominamos hiperplano al conjunto: H = { x = (x 1,..., x n )/c 1 x 1 + c 2 x c n x n = α} H es convexo a) n = 2 recta: c 1 x 1 + c 2 x 2 = α. b) n = 3 plano: c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = α. 2. Semiespacios cerrados y abiertos. Son de la forma: { x R n /c 1 x c n x n α} (cerrado) { x R n /c 1 x c n x n α} (cerrado) { x R n /c 1 x c n x n < α} (abierto) { x R n /c 1 x c n x n > α} (abierto) son convexos

5 Funciones convexas y cóncavas En lo que sigue, supondremos que f : A R n R, A convexo (no vacío). Definición (función convexa (cóncava)) f convexa (cóncava) en A x, ȳ A, t [0, 1] se tiene que: f((1 t) x + tȳ) ( )(1 t)f( x) + tf(ȳ). Diremos que es estrictamente convexa (cóncava) cuando las desigualdades sean estrictas (< ó >) Observemos que: f cóncava en A f es convexa en A. Propiedades: 1. α f es convexa, α R, α f + g es convexa. 3. Si α i (i = 1,..., n) son números reales positivos y f i (i = 1,..., n) son convexas, entonces α 1 f α n f n es también convexa. 4. Si f es convexa, entonces el conjunto: es un conjunto convexo, para cualquier k R { x R n /f( x) k} 5. f convexa en A G = {( x, y) R n R/f( x) y, x A, y R} es convexo. 6. Sea A convexo y abierto. Si f es convexa (cóncava) en A, entonces f es continua en A. 7. Supongamos que A es abierto y convexo y f C 1 (A). f es convexa (cóncava) en A f( x) (ȳ x) ( )f(ȳ) f( x), x, ȳ A (en caso de desigualdad estricta, tendremos estrictamente convexa)

6 8. Supongamos que A es abierto y convexo y f C 2 (A). f es convexa (cóncava) en A Hf( x) es definida o semidefinida positiva (negativa), x A. (en caso de que sea definida positiva (negativa), entonces tendremos f estrictamente convexa (cóncava)) 9. (Teorema de Weierstrass) Si f es continua en A con A compacto, entonces f tiene en A, máximo y mínimo global. 10. (Teorema local global) Si A es convexo y f es convexa (cóncava) en A, entonces: a) Si f tiene mínimo local en ā A (máximo local en ā A), entonces este mínimo (máximo) es global. b) El conjunto es convexo. B = { x A/f( x) = mín(máx) {f(ȳ)/ȳ A}} 11. Supongamos que A es convexo, compacto y tiene un número finito de vértices. Si f es convexa (cóncava) en A, entonces f tiene en A mínimo (máximo) global y además éste se encuentra en uno de sus vértices. 12. mín f( x) = máx( f( x)) 13. La dirección del gradiente de f en un punto x es la dirección en la que la derivada direccional es máxima. 14. Los puntos óptimos son puntos de tangencia entre las curvas de nivel de la función objetivo y las de las restricciones, si las hubiere.

7 Tema 8: Optimización sin restricciones Opt. f( x) I. Condición necesaria de primer orden: f : A R n R, A abierto, f C 1 (A). Si ā A es óptimo local, entonces f(ā) = 0, es decir f x i (ā) = 0, i = 1,..., n Se denominan puntos críticos aquellos en los que f(ā) = 0. II. Condición necesaria de segundo orden: Si f C 2 (A), entonces se cumple: 1. Si f tiene mínimo local en ā = Hf(ā) es semidefinida positiva o definida positiva. 2. Si f tiene máximo local en ā = Hf(ā) es semidefinida negativa o definida negativa. III. Condición suficiente de segundo orden: Sea f C 2 (A) y ā un punto crítico, entonces : 1. Si Hf(ā) es indefinida = ā es un punto de silla. 2. Si Hf(ā) es definida positiva = ā es un mínimo local estricto. 3. Si Hf(ā) es definida negativa = ā es un máximo local estricto. IV. Caso de Programas Convexos: Sea A abierto y convexo y f convexa (cóncava). Si ā es un punto crítico = ā es un mínimo (máximo) global. (Si f es estrictamente convexa (cóncava) entonces es mínimo (máximo) global estricto) La condición necesaria de primer orden es también suficiente