5.- Problemas de programación no lineal.

Transcripción

1 Programación Matemática para Economistas Problemas de programación no lineal..- Resolver el problema Min ( ) + ( y ) s.a 9 5 y 5 Solución: En general en la resolución de un problema de programación no lineal seguiremos una serie de pasos: En primer lugar intentaremos representar gráficamente nuestro conjunto de oportunidades y las curvas de nivel de la función objetivo. El segundo paso consistirá en comprobar la aplicabilidad de los Teoremas de Weierstrass y Local - Global, de tal forma que podamos tener seguridad de la eistencia de solución global a nuestro problema, y si dichas soluciones que obtengamos con las técnicas aplicadas son las soluciones globales. En tercer lugar obtendremos las soluciones a nuestro problema mediante las condiciones de punto estacionario, aunque en este caso podemos seguir dos vías para la resolución del sistema que se genera. Una, corresponde a la resolución de dicho sistema teniendo en cuenta las distintas ramas que se presenten y otra, basada en la determinación, con la ayuda de la representación gráfica, de las restricciones activas en el óptimo y reducir de esa manera las distintas posibilidades del caso anterior. Posteriormente deben analizarse las condiciones de segundo orden tanto necesaria como suficientes, para poder afirmar si dichos puntos estacionarios son óptimos, y si lo son, si son locales o globales.

2 Programación Matemática para Economistas 8 El conjunto de oportunidades, como podemos observar en la gráfica, es un conjunto cerrado, acotado, conveo y no vacío, mientras que la función objetivo es continua y convea, luego por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que eiste un mínimo global y por el Teorema Local - Global, todo mínimo local es global. En consecuencia, nos bastaría con determinar los mínimos locales y directamente obtendremos los globales pero, como se verifican las condiciones suficientes para que un punto estacionario sea mínimo global, sólo necesitamos encontrar los puntos estacionarios. Para ello, podemos hacerlo de dos formas posibles, directamente a través de las condiciones de punto estacionario, o bien, a través de la gráfica analizando las restricciones activas en el mínimo. Veamos los dos procedimientos comenzando por el de punto estacionario. Para resolver el problema a través de las condiciones de punto estacionario, para construir la función de Lagrange deberemos modificar nuestra función objetivo de acuerdo con la relación: Min ( ) + (y ) = - Ma - ( ) - (y ) Y entonces, la función de Lagrange vendrá dada por L(, y, λ, λ ) = ( ) ( y ) λ ( 9) λ ( 5 5 y) + Observemos que la segunda restricción ha debido adaptarse a la forma.

3 Programación Matemática para Economistas 9 Las condiciones de punto estacionario vienen dadas por: () = ( ) λ + 5λ = 0 () = ( y ) λ y λ = 0 y () = ( λ (4) = ( λ (5) λ ( () λ ( (7) λ 0 (8) λ ) 0 5 ) 0 9) = 0 5 ) = 0 λ = 0 (5a) = 9 (5b) λ = 0 (a) 5 = 5(b) Para resolver ese sistema que contiene ecuaciones e inecuaciones comenzaremos resolviendo las ecuaciones y posteriormente, comprobaremos el cumplimiento de las inecuaciones. Así, determinaremos los puntos que verifican (), (), (5) y (). Para ello, pueden formarse cuatro sistemas que vienen dados por las ecuaciones (), (), (5a) o (5b) y (a) o (b). Posteriormente, comprobaremos si las soluciones verifican las inecuaciones (), (4), (7) y (8) y dichos puntos serán los puntos estacionarios para nuestro problema de mínimo. Pasamos a estudiar cada una de las cuatro posibilidades que surgen al combinar las distintas ramas. a) λ = λ = 0 -(-) = 0 = -(y-) = 0 y = Punto que no verifica la primera restricción luego no sería factible. b) λ = 0-5 = - 5 ( ) -(-) + 5 λ = 0 λ = 5 -(y-) - λ = 0 λ = ( y ) Igualando las dos epresiones que surgen para λ y despejando la variable obtenemos que

4 Programación Matemática para Economistas 40 y = con lo cual tenemos que 5y ( ) = 5 epresión de la que podemos obtener el valor de la variable y valor que nos genera el siguiente resultado que no verifica la condición (8). c) = 9 λ = 0 y = 5+ 5 λ = + 5 ( ) < 0 -(-) - λ = 0 λ = y -(y-) - yλ = 0 λ = y Igualando las dos epresiones obtenidas para λ y despejando la variable obtenemos que = y que al sustituir en la ecuación de la circunferencia nos genera dos valores para la varible y con lo cual llegaríamos a que y = ± = ± Si tomamos los valores positivos y sustituimos en cualquiera de las epresiones obtenidas para λ obtenemos

5 Programación Matemática para Economistas 4 0 λ = + > 0 con lo cual encontramos el punto 9 0, 0 0, +, 0 En cambio, si tomamos los valores negativos obtenemos el siguiente valor de λ y no se verificaría la condición (7). d) = 9-5 = - 5 λ = 0 < Resolviéndose el sistema que surge con estas dos restricciones se obtienen dos resultados = y = 5 = -/ y = -4 5 / Si tomamos el primero, al sustituir en las demás igualdades nos quedaría 0 4λ + 5λ = 5λ λ = ( 5 ) sistema del que se puede derivar que λ = 8 5 < 4 con lo cual lo tendríamos que desechar al no poder tomar esa variable un valor negativo. Igual ocurriría si tomamos la segunda posibilidad cosa que puede comprobar fácilmente el lector. Vistas ya las cuatro posibilidades que surgen de las condiciones de punto estacionario y resumiendo las conclusiones que se derivan de las mismas sólo nos quedamos 9 0 con un único punto, 0, 0, +, 0, que verifica las ecuaciones e inecuaciones correspondientes y, por consiguiente, es punto estacionario. Otra forma, en el caso de problemas de dos variables, es a través de la gráfica, analizando las restricciones activas en el mínimo, con lo que sabremos que los multiplicadores correspondientes a las restricciones inactivas serán cero, y en las 0

6 Programación Matemática para Economistas 4 restricciones activas se verifican las ecuaciones con igualdad. De esta forma reducimos sustancialmente el número de subsistemas a resolver. En nuestro caso tenemos que la restricción () es activa y, por tanto, en la condición de holgura complementaria debe verificarse la condición (5b), mientras que la restricción (4) es inactiva y debe verificarse la condición (a). Por consiguiente, nuestro sistema vendrá dado por (), (), (5b) y (a), es decir, sustituyendo la cuarta en las dos primeras queda: sustituyendo en la cuarta tenemos: + λ = 0 ( + λ) = = + λ y + λ y = 0 y( + λ) = y = + λ + = 9 + λ + λ 0 = 9( + λ ) 0 λ = 9 desechamos el valor negativo de la raíz cuadrada pues deriva un multiplicador negativo, y de ese obtenemos que: = 9 = 0 0 y = luego, nuestro punto es 0, 0, +, 0 que además verifica las condiciones (), (4), (7) y (8). Por tanto, es punto estacionario que además coincide con el obtenido de la resolución de los cuatro sistemas por el primer procedimiento. La siguiente pregunta que debemos contestar para finalizar la resolución de este problema es si este punto estacionario es un mínimo global. La respuesta sería sí, ya que, como ya hemos visto, se verifican las condiciones suficientes para que un punto estacionario sea mínimo global.