Tema 18. Programación lineal Formulación primal de un programa lineal

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1 Tema 18 Programación lineal Formulación primal de un programa lineal Dentro de la programación matemática hablamos de programación lineal (PL) si tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales. en general, nos encontramos con: desigualdades menor o igual, desigualdades mayor o igual, e igualdades y problema adquiere la forma general ópt c 1 x 1 + c 2 x 2 + c n x n s.a. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n b k. a k+11 x 1 + a k+12 x a k+1n x n b k+1. a l1 x 1 + a l2 x a ln x n b l a l+11 x 1 + a l+12 x a l+1n x n = b l+1 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. x 1 0, x 2 0, x n 0 Las variables se representan por un vector x = (x 1,..., x n ) R n. Los coeficientes de la función objetivo se representan por otro vector c = (c 1,..., c n ) R n y reciben el nombre de costes; con lo que la función objetivo adquiere la forma f (x) = c t x. Los coeficientes de las restricciones se representan en una matriz A = a i j M m n (R) y reciben el nombre de coeficientes técnicos. 485

2 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Un problema de optimización se puede escribir de distintas formas. Todo problema de maximización puede reducirse a uno de minimización y viceversa, ya que los máximos de una función son los mínimos de la función cambiada de signo y viceversa. Se puede considerar sólo desigualdades de un tipo sin pérdida de generalidad, ya que en una desigualdad del tipo mayor o igual se transforman en una del tipo menor o igual multiplicando por 1 y viceversa. Las igualdades se transforman descomponiéndolas en dos desigualdades y multiplicando una de ellas por 1. En general se consideran restricciones de no negatividad para todas las variables sin pérdida de generalidad, ya que si alguna de las variables puede tomar valores negativos la descomponemos como diferencia de dos variables no negativas. Entre todas consideraremos como forma canónica de un problema de minimización la compuesta sólo por desigualdades del tipo menor o igual y como forma canónica de un problema de maximización la compuesta sólo por desigualdades del tipo mayor o igual. Con c R n, x R n, b R m y A M m n serían: Forma Canónica (por inecuaciones) mín c 1 x 1 + c 2 x 2 + c n x n máx c 1 x 1 + c 2 x 2 + c n x n s.a. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1 0, x 2 0, x n 0 s.a. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1 0, x 2 0, x n 0 Forma Canónica (matricial) mín c t x máx c t x s.a. Ax b s.a. Ax b x 0 x 0 En un problema general de Programación Lineal si el conjunto factible es un conjunto vacío el problema carece de sentido y hablamos de un problema infactible. La función objetivo siempre es continua (por ser lineal) y si el conjunto factible es no vacío también es cerrado (por incluir las restricciones lineales el caso igual), por tanto, para poder aplicar el teorema de Weierstrass la condición que falta es que el conjunto factible esté acotado. Esto no siempre sucede y si el conjunto factible no está acotado hablamos de un problema no acotado, en el que puede suceder tanto que que la función aumente o disminuya indefinidamente Proyecto MATECO 2.1 Página 486

3 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL como que alcance un valor máximo o mínimo en un número infinito de puntos (rayo óptimo). Si el conjunto factible está acotado entonces es un poliedro convexo con un número finito de vértices en el que podemos asegurar que el problema posee solución y que esta solución se alcanzan en uno de sus vértices (puntos extremos). Puede suceder que estos óptimos sean únicos (problema con solución única) o no. Si el óptimo se alcanza en dos vértices del conjunto factible también se alcanza en el segmento que los une, ya que sus puntos son combinación lineal convexa de los vértices, y tendremos un problema con infinitas soluciones. Aunque si el conjunto factible está acotado bastaría comprobar el valor de la función objetivo en los distintos vértices del conjunto factible y elegir el que nos dé el valor óptimo para la función objetivo, el número de vértices puede ser muy grande y necesitamos un método para resolver un problema general de programación lineal. El primer paso va a ser la formulación del problema de programación lineal mediante igualdades, en lo que llamaremos su forma estándar. Esto permite calcular los vértices del conjunto de oportunidades como soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. La idea es medir la diferencia entre el primer y segundo miembro de la inecuación mediante una variable y añadirla a la correspondiente inecuación para convertirla en una ecuación lineal. Cuando la desigualdad es del tipo menor o igual la nueva variable recibe el nombre de variable de holgura y la sumamos al primer miembro. Cuando la desigualdad es del tipo mayor o igual la nueva variable recibe el nombre de variable de exceso y la restamos al primer miembro a k1 x 1 + a k2 x a kn x n b k x 1 + a k2 x a kn x n + y k = b k a s1 x 1 + a s2 x a sn x n b s a s1 x 1 + a s2 x a sn x n y s = b s De esta forma las desigualdades se transforman en igualdades y se buscan tanto para las nuevas variables como para las variables originales valores óptimos no negativos que resuelvan el nuevo problema (como ya hemos comentado, si una variable original no tiene restricción de signo la descomponemos como diferencia de dos variables no negativas). Este problema en forma matricial estándar es; con x, c R n, b R m y A M m n (R): opt c t x s.a. Ax = b x 0 De las soluciones del sistema sólo nos interesan los puntos que puedan ser óptimos del problema, que son aquellos que verifican las condiciones de no negatividad y que a la vez son vértices del conjunto factible. Todo punto del conjunto factible x = (x 1, x 2,..., x n) tiene las coordenadas no negativas y verifica el Página 487 Proyecto MATECO 2.1

4 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA sistema, por lo que podemos escribir x 1 a 1 + x 2 a x na n = b, donde a 1, a 2,...,a n son las columnas de la matriz A y b el vector de términos independientes. Se puede probar que en un vértice del conjunto factible los vectores correspondientes a las columnas de la matriz asociados a coordenadas estrictamente positivas son linealmente independientes. Al tener las columnas m componentes, a lo más hay m vectores linealmente un vértice y, por tanto, cada vértice tiene asociadas a lo más m coordenadas estrictamente positiva (al menos hay n m coordenadas nulas). Este hecho es lo que nos va a permitir caracterizar a los vértices del conjunto factible como soluciones del sistema con al menos n m coordenadas nulas (en cada vértice las columnas asociadas a las coordenadas estrictamente positivas son siempre linealmente independientes). Definición 18.1 Un punto es una solución básica del problema en forma estándar si es una solución del sistema Ax = b con al menos n m coordenadas nulas. Si además las coordenadas no nulas son positivas diremos que es una solución factible básica. Nos referiremos a las variables que no se hacen cero como variables básicas y a las que se hacen cero como variables no básicas. Proposición 18.2 En un problema en forma estándar un punto de la región factible es un vértice si y sólo si es una solución factible básica (toda solución óptima es una solución factible básica). Ejemplo 18.3 Obtener las soluciones básica del siguiente problema e indicar cuales son factibles ópt 2x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 4 x 1 x 2 6 Solución En primer lugar, escribimos el problema en forma estándar y consideramos su matriz ópt 2x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 + y 1 = 4 x 1 x 2 + y 2 = 6 = A = b = 4 6 x 1, x 2, y 1, y 2 0 Proyecto MATECO 2.1 Página 488

5 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL El sistema es compatible indeterminado y la solución se puede expresar en función de dos de las variables. Aunque hay múltiples combinaciones posibles, la elección de las variables dependientes e independiente no afecta a la resolución del sistema y sólo afecta a la expresión de las soluciones. Sin embargo, por cada m = 2 columnas independientes podemos obtener una solución con las restantes n m = 2 coordenadas nulas sin más que sustituir las correspondientes variables por cero. Así, considerando combinaciones de dos columnas independientes obtenemos las soluciones básicas y de entre ellas excluimos aquellas soluciones que tengan coordenadas negativas para obtener las soluciones básicas factibles (los posibles óptimos del sistema). y 1 = 0 y 2 = 0 x 1 + x 2 = 4 x 1 x 2 = 6 x 1 = 5 x 2 = 1 x 2 = 0 y 2 = 0 x 1 + y 1 = 4 x 1 = 6 x 1 = 6 y 1 = 2 x 2 = 0 y 1 = 0 x 1 = 4 x 1 + y 2 = 6 x 1 = 4 y 2 = 2 x 1 = 0 y 2 = 0 x 2 + y 1 = 4 x 2 = 6 y 1 = 10 x 2 = 6 x 1 = 0 y 1 = 0 x 2 = 4 x 2 + y 2 = 6 x 2 = 4 y 2 = 10 x 1 = 0 x 2 = 0 y 1 = 4 y 2 = 6 Soluciones básicas (4,0), (0,4),(0,0) (factibles) y (5,-1), (6,0), (0,-6) (no factibles). Si calculamos el valor de la función objetivo en las soluciones factibles básicas en el vértice con el mayor valor se alcanzará un máximo y en el vértice con el menor valor un mínimo Algoritmo del simplex Como el número de vértices puede ser muy grande, para resolver un problema general de programación lineal vamos a utilizar un método iterativo que sólo recorre algunos vértices del conjunto factible y recibe el nombre de método del simplex. En este método se parte de una solución básica factible y se buscan los óptimos pasando a vertices adyacentes en los que mejore la función. Se repite el proceso hasta que tengamos el óptimo (o hasta que podamos concluir que no lo hay). El primer paso es escribir el problema en forma estándar con términos independientes no negativos ópt s.a. c t x Ax = b x 0 donde c, x R n, b R m, A M m n y b i 0 i = 1,, m. Página 489 Proyecto MATECO 2.1

6 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA En lo que llamaremos algoritmo primal del simplex partimos de una solución básica factible en la que hay m coordenadas básicas asociadas a la base canónica. Para mejorar el valor de la función cambiamos una variable no básica (antes de valor cero) por una variable básica (antes de valor no negativo) de forma que el nuevo punto siga siendo una solución básica factible. Así, si pasamos de un vértice (x 1, x 2,..., x n) asociado a una base B a otro vértice adyacente (x 1, x 2,..., x n) en el primer vértice habrá una coordenada xi distinta de cero que en el segundo vértice pasa a ser cero y en el segundo vértice una coordenada x j distinta de cero que era cero en el primer vértice (el resto de coordenada serán iguales). Para estudiar si la función mejora en este cambio de vértice escribimos la diferencia entre el valor de la función en el segundo vértice, z, y el valor de la función en el primero, z, como z z = x j(c j z j ) con z j = c t B a j donde a j es el vector con las coordenadas de la columna a j con respecto a la base B (la propia columna si B es la base canónica) y c B son los coeficientes de las variables básicas del primer vértice. El valor RC j = c j z j corresponde a la variación unitaria de la función, recibe el nombre de coste reducido y permite analizar la posible mejora de la función al cambiar de vértice, ya que si es positivo podemos aumentar el valor de la función introduciendo esta variable y si es negativo disminuirlo. Si todos los costes reducidos de las variables básicas son cero estaremos en un óptimo. En el algoritmo del simplex cambiamos de vértice aplicando el método de Gauss al sistema para transformarlo en uno equivalente de forma que las variables básicas del nuevo vértice sean las que están asociadas a la base canónica. Para calcular los costes reducidos vamos a denotar por z el valor de la función y añadir la ecuación c t x z = 0 al sistema. En cada paso vamos a hacer que en la correspondiente ecuación sólo aparezcan las variables no básicas de forma que sólo tenga valor la variable z. En esta ecuación los coeficientes de las variables no básicas son los correspondientes costes reducidos y el término independiente es el valor la función objetivo en el vértice cambiado de signo (al ser el valor de las variables no básicas cero). En nuestro caso vamos a trabajar con el método del simplex en forma de tabla, de forma que cada tabla representa una solución básica e incluye la información adicional que permite tanto determinar si es un óptimo como pasar de una solución básica a otra adyacente cuando no lo sea. En estas tablas aparece ademas de la fila de encabezamiento: Una columna por cada una de las variables de decisión y holgura presentes en la función objetivo con los coeficientes de las variables en el sistema. Una columna adicional con los términos independientes de cada restricción. Proyecto MATECO 2.1 Página 490

7 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL Una última fila que recoge los costes reducidos (que muestran la posibilidad de mejora en la solución) y el valor la función objetivo (cambiado de signo en la última casilla). Nota (Algoritmo primal del simplex) 1. Se considera una solución factible básica inicial. 2. Se determina si la solución es óptima. Si no es posible mejorar la función objetivo: FIN (la solución actual es óptima). Si es posible mejorar la función objetivo: CONTINUAR AL SIGUIENTE,PASO (paso 3). 3. Se busca una solución factible básica adyacente con mejor valor de la función objetivo cambiando una variable básica por una no básica: Se determina qué variable no básica debe entrar en la base de forma que proporcione el mejor valor de la función objetivo. Criterio de entrada entre estas variable Maximización (entre las variables con coste reducido positivo): Mayor valor del coste reducido. Minimizaciön (entre las variables con coste reducido negativo): Menor valor del coste reducido (valor más negativo). Se determina qué variable básica debe salir de la base de forma que la nueva solución siga siendo factible. Criterio de salida entre variables con el coeficiente de la variable que entra positivo Maximización y minimizaciön: Menor valor del cociente entre el término independiente y el coeficiente de la variable que entra. SE VUELVE AL PASO 2 El algoritmo primal del simplex se puede utilizar siempre que tengamos una solución básica inicial que va a estar asociada a la base canónica de R m de forma que las variables básicas coincidan con los términos Página 491 Proyecto MATECO 2.1

8 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA independientes del sistema. Por este motivo, el primer problema es obtener esta solución básica factible inicial. Si las inecuaciones son del tipo menor o igual y los términos independientes son todos positivos es posible determinar fácilmente una solución básica factible. En este caso, si sumamos una variable de holgura por cada ecuación el vértice correspondiente al origen es una solución básica inicial con x i = 0 para las variables iniciales e y j = b j para las variables de holgura. Ejemplo 18.4 ópt 2x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 4 x 1 x 2 6 ópt z = 2x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 + y 1 = 4 x 1 x 2 + y 2 = 6 x 1, x 2, y 1, y 2 0 En este ejemplo las inecuaciones son del tipo menor o igual con términos independientes positivo y al sumar una variable de holgura por cada ecuación el sistema asociado a estas variables tiene como matriz a la identidad y tenemos una solución básica factible: rc Problema de maximización: Se puede mejorar el valor de la función, ya que hay variables con costes reducidos positivos que aumentan el valor de la función al entrar: rc Variables básicas (z = 0) : y 1 = 4 y 2 = 6 Criterio de entrada para maximización (entre las variables con coste reducido positivo): Mayor valor del coste reducido = Entra x 1 en la base Criterio de salida (entre las variables tales que el coeficiente de la variable que entra es positivo): Menor valor del término independiente dividido por el coeficiente de la variable que entra Renglón 1 sale y 1 y 1 = 0 (y 2 = 6, x 2 = 0) = x Renglón 2 sale y 2 y 2 = 0 (y 1 = 4, x 2 = 0) = x 1 6 = sale y 1. 1 Proyecto MATECO 2.1 Página 492

9 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL rc Variables básicas (z = 8) : x 1 = 4 y 2 = 2 Como todos los costes reducidos (rc) son negativos o nulos y es un problema de maximización hemos terminado y la solución óptima es (holguras y 1 = 0, y 2 = 2) x 1 = 4 x 2 = 0 Problema de minimización: Se puede mejorar el valor de la función, ya que hay variables con costes reducidos negativos que disminuyen el valor de la función al entrar: rc Variables básicas (z = 0) : y 1 = 4 y 2 = 6 Criterio de entrada para minimización (entre las variables con coste reducido negativo): Menor valor del coste reducido (valor más negativo) = Entra x 2 en la base Criterio de salida (entre las variables tales que el coeficiente de la variable que entra es positivo): Menor valor del término independiente dividido por el coeficiente de la variable que entra Renglón 1 y 1 = 0 (y 2 = 6, x 1 = 0) x Renglón 2 y 2 = 0 (y 1 = 4, x 1 = 0) Coeficiente negativo = sale y rc Variables básicas (z = 12) : x 2 = 4 y 2 = 10 Como todos los costes reducidos (rc) son positivos o nulos y es un problema de minimización hemos terminado y la solución óptima es (holguras y 1 = 0, y 2 = 10) x 1 = 0 x 2 = 4 Página 493 Proyecto MATECO 2.1

10 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Nota En el algoritmo primal del simplex se presentan diferentes tipos de soluciones para un problema de optimización (como siempre parte de una solución básica factible si podemos aplicar el algoritmo primal del simplex el problema es factible): Si en algún cuadro obtenido al aplicar el algoritmo primal del simplex hay una variable no básica candidata a entrar en la base con los coeficientes negativos en todas las restricciones (renglones de la tabla) el problema de optimización es un problema no acotado pues el valor de la función puede mejorar indefinidamente aumentando esta variable sin salir de la región factible. Si en el cuadro óptimo obtenido tras aplicar el algoritmo primal del simplex todas las variables básicas tienen coeficiente reducido nulo (rc=0) a) Si todas las variables no básicas tienen coeficiente reducido distinto de cero el problema de optimización tiene solución única. b) Si existe al menos una variable no básica que también tiene coeficiente reducido nulo el problema de optimización tiene múltiples soluciones, ya que esta variable podría entrar en la base sin cambiar el valor de la función objetivo dando lugar a un óptimo alternativo (también serían óptimos todos los puntos que se obtienen como combinación convexa de ellos). Ejemplo 18.5 (problema con múltiples soluciones) máx 1 2 x x 2 s.a. 3x 1 2x 2 6 x x 2 5 máx z = 1 x x 3 2 s.a. 3x 1 2x 2 + y 1 = 6 x x y 2 = 5 x 1, x 2, y 1, y rc Entra x 1 x = 2 sale y 1 x = rc El punto (2, 0) es un óptimo, pero como existe una variable no básica que también tiene coeficiente reducido nulo, x 2, esta variable podría entrar en la base sin que cambie el valor de la función (saliendo y 2 ) obteniendo el cuadro óptimo Proyecto MATECO 2.1 Página 494

11 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL rc En este caso obtenemos como óptimo el punto (4, 3) y, por tanto, todos los puntos del segmento que une (2, 0) con (4, 3) son óptimos Obsérvese que si volvemos a aplicar el algoritmo entraría y 2 y saldría x 2 con lo que entrariamos en un bucle. Ejemplo 18.6 (Problema no acotado) max 3x 1 + 2x 2 s.a. 3x 1 2x 2 6 x 1 + x 2 2 max z = 3x 1 + 2x 2 s.a. 3x 1 2x 2 + y 1 = 6 x 1 x 2 + y 2 = 2 x 1, x 2, y 1, y 2 0 v. bas. Entra x y 1 = 6 x = y 2 = 2 sale y rc z = 0 rc Como la variable x 2 es candidata a entrar en la base y los coeficientes son negativos en todas las restricciones (renglones de la tabla) es un problema no acotado, ya que sin salir de la región factible aumentando esta variable el valor de la función aumenta indefinidamente. Si hay desigualdades mayor o igual el origen no es una solución básica factible y puede ser complicado, o imposible, obtener una solución básica factible inicial para aplicar el algoritmo primal. Cuando se tiene una solución que cumple las condiciones de óptimo pero no es factible vamos a utilizar el algoritmo dual del simplex para obtener, si es posible, una solución básica factible inicial y posteriormente en combinación con el algoritmo primal obtener una solución óptima factible. Nota (Algoritmo Dual del Simplex) 1. Se lleva el modelo a su forma estándar agregando variables de exceso en las desigualdades mayor o igual y para que el origen sea la solución básica inicial se multiplica cada una de estas restricciones por -1 (la solución obtenida en este primer paso es infactible),. 2. Se determina si la solución es factible. Si todas las variables básicas son no negativas la solución es factible: FIN (le aplicamos el algoritmo primal). Página 495 Proyecto MATECO 2.1

12 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Si alguna variable básica es negativa la solución es infactible: CONTINUAR AL SIGUIENTE PASO (paso 3). 3. Se busca una solución básica que sea factible: Si hay una variable básica negativa con el coeficiente positivo en todas las ecuaciones el problema de optimización es un problema infactible. Si hay una variable básica negativa con el coeficiente negativo en alguna ecuación se cambia una variable básica por una no básica. Se determina qué variable básica negativa debe salir de la base: Criterio de salida entre estas variables: Menor valor de la variable (lado derecho "más negativo") Se determina qué variable no básica debe entrar en la base: Criterio de entrada entre variables con el coeficiente de la variable que sale negativo: Menor valor absoluto del cociente entre el coste reducido y el coeficiente de la variable. SE VUELVE AL PASO 2 Ejemplo 18.7 mín 4x 1 + 6x 2 s.a. x 1 + 2x 2 2 x 1 x 2 3 mín z = 4x 1 + 6x 2 s.a. x 1 + 2x 2 y 1 = 2 x 1 x 2 y 2 = 3 x 1, x 2, y 1, y 2 0 Para construir la tabla inicial multiplicamos las ecuaciones por -1 (las variables de exceso tienen coeficientes negativos) obteniendo una solución básica infactible. v. bas. Sale y 2 de la base, ya que tiene el menor valor (el y 1 = 2 lado derecho mas negativo) y 2 = 3 Entra x 1 en la base ya que es la única que tiene coeficiente rc z = 0 negativo (en el correspondiente renglón). En general si hay más de una variable con coeficiente negativo entra la variable que nos da el menor valor del coste reducido entre el correspondiente coeficiente negativo en valor absoluto. Proyecto MATECO 2.1 Página 496

13 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL rc v. bas. x 1 = 3 y 1 = 1 z = 12 La solución obtenida es factible, ya que todas las variables básicas son no negativas. Además al ser todos los costes reducidos positivos es un mínimo (solución óptima y factible). En este caso hemos obtenido directamente una solución óptima pero en general los algoritmos primal y dual se combinan en la resolución del problema. Tras conseguir, si es posible, soluciones factibles mediante el algoritmo dual obtenemos soluciones óptimas mediante el algoritmo primal. Ejemplo 18.8 min 2x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 1 min z = 2x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 + y 1 = 4 x 1 + x 2 y 2 = 1 x 1, x 2, y 1, y 2 0 Para construir la tabla inicial multiplicamos la segunda ecuación por -1 (la variable de exceso tiene coeficiente negativo) obteniendo una solución básica infactible, por lo que el primer paso es aplicar el algoritmo dual rc rc rc v. bas. y 1 = 4 y 2 = 1 z = 0 v. bas. y 1 = 3 x 2 = 1 z = 3 v. bas. y 2 = 3 x 2 = 4 z = 12 Algoritmo dual: Sale y 2 por ser la única negativa. Entra x 2 por ser la única con coeficiente negativo. La solución es factible pero no óptima y aplicamos el algoritmo primal: Entra y 2 al tener el menor coste reducido negativo. Sale y 1 al ser la única con coeficiente positivo. La solución obtenida es un mínimo al ser todos los costes no negativos y además es el único al ser todos los costes correspondientes a las variables no básicas estrictamente positivos. Página 497 Proyecto MATECO 2.1

14 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Ejemplo 18.9 (problema infactible) max 3x 1 + 2x 2 s.a. 3x 1 2x 2 6 x 1 + x 2 2 x 1 2x 2 4 max z = 3x 1 + 2x 2 s.a. 3x 1 2x 2 + y 1 = 6 x 1 x 2 + y 2 = 2 x 1 2x 2 y 3 = 4 x 1, x 2, y 1, y 2, y 3 0 Para construir la tabla inicial multiplicamos la tercera ecuación por -1 (la variable de exceso tiene coeficiente negativo) obteniendo una solución básica infactible, por lo que el primer paso es aplicar el algoritmo dual. x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b v. bas y 1 = 6 Algoritmo dual: y 2 = 2 Sale y 3 por ser la única negativa y 3 = 4 Entra x 1 por ser la única con coeficiente negativo. rc z = 0 x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b rc v. bas. y 1 = 6 y 2 = 6 x 1 = 4 z = 12 Al continuar con el algoritmo dual tendría que salir y 1 de la base, ya que tiene valor negativo, sin embargo los coeficientes de todas las variables en dicha ecuación son positivos y no puede cambiar de signo con lo que tenemos un problema infactible. Cuando hay inecuaciones que son desigualdades mayor o igual, tenemos un método alternativo para la búsqueda de una solución inicial factible básica. Este método recibe el nombre de método de la M grande, se basa en la introducción de variables artificiales y se aplica siempre que hay ecuaciones de igualdad entre las restricciones. Ejercicio mín 2x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 1 Proyecto MATECO 2.1 Página 498

15 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL Solución El primer paso es transformar el problema en su forma estándar y añadir una variable artificial en la restricción correspondiente a la desigualdad mayor o igual. Al ser un problema de minimización esta variable se introduce con coeficiente M > 0 en la función, de forma que suponga una penalización en el valor de la función. mín z = 2x 1 3x 2 + Mx a 3 s.a. x 1 + x 2 + y 1 = 4 x 1 + x 2 y 2 + x a 3 = 1 x 1, x 2, y 1, y 2, x a 3 0 x 1 x 2 y 1 y 2 x a 3 b rc M 0 Para utilizar y 1 y x a 3 como variables básicas tenemos que hacer cero sus costes reducidos: x 1 x 2 y 1 y 2 x a 3 b rc 2 + M 3 M 0 M 0 M v. bas. y 1 = 4 x a 3 = 1 z = M Entra x 2 x x sale x a 3 x 1 x 2 y 1 y 2 x a 3 b rc M 3 x 1 x 2 y 1 y 2 x a 3 b rc M 12 v. bas. y 1 = 3 x 2 = 1 z = 3 v. bas. y 2 = 3 x 2 = 4 z = 12 Entra y 2 y sale y 1 Como todos los costes de las variables no básicas son positivos es un mínimo y es único. Ejercicio máx 3x 1 + 2x 2 s.a. 3x 1 2x 2 6 x 1 + x 2 2 x 1 2x 2 4 Página 499 Proyecto MATECO 2.1

16 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Solución El primer paso es transformar el problema en su forma estándar y añadir una variable artificial en la restricción correspondiente a la desigualdad mayor o igual. Al ser un problema de maximización esta variable se introduce con coeficiente M < 0 en la función, de forma que suponga una penalización en el valor de la función. máx z = 3x 1 + 2x 2 Mx a 3 s.a. 3x 1 2x 2 + y 1 = 6 x 1 x 2 + y 2 = 2 x 1 2x 2 y 3 + x a 3 = 4 x 1, x 2, y 1, y 2, x a 3 0 Para poder utilizar y 1, y 2 y x a 3 como variables básicas tenemos que hacer cero sus costes reducidos: x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 x a 3 b rc 3 + M 2 2M 0 0 M 0 4M v. bas. y 1 = 6 y 2 = 2 x a 3 = 4 z = 4M Entra x 1 x sale y 1 x x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 x a 3 b v. bas. x 1 = 2 y 2 = 4 x a 3 = 2 rc 0 4 4M 1 M 0 M 0 2M 6 z = 6 2M 3 3 La solución obtenida es un máximo pero la variable artificial está en la base con valor positivo, por tanto, tenemos un problema infactible Formulación dual de un programa lineal Asociado a cada problema de programación lineal existe otro problema de programación lineal, denominado problema dual (PD), cuya solución está asociada con la solución del problema lineal original, que para diferenciarlo del dual se denomina problema primal (PP). Las relaciones entre ambos problemas permiten que sea suficiente con resolver uno de ellos para poder obtener las soluciones óptimas y valores óptimos de ambos problemas. En particular, podemos obtener la solución de problemas lineales con mayor numero de Proyecto MATECO 2.1 Página 500

17 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL restricciones que de variables resolviendo el problema dual, que nos proporciona de forma automática la solución del problema original. Proposición (construcción del problema dual) a) Si el programa primal es un problema de maximización el programa dual es un problema de minimización y viceversa. b) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal. c) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal d) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones del programa primal. e) Los términos independientes de las restricciones del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal. f) La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal. g) El sentido de las desigualdades de las restricciones y el signo de las variables del problema dual dependen del signo de las variables y del sentido de las restricciones del problema primal (tabla de Tucker). Tabla de Tucker Primal Dual Objetivo Minimización Maximización Restricciones Variables >< = Variables Restricciones = >< El problema dual que se obtiene de un problema primal en forma canónica es también un problema en forma canónica (llevan asociadas desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de minimización y desigualdades menor o igual para los problemas de maximización). Página 501 Proyecto MATECO 2.1

18 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Así, para A M m n, c R n, b R m x R n y λ R m mín c t x máx b t λ máx λ t b (PP) s.a. Ax b (D) s.a. A t λ c s.a. λ t A c x 0 λ 0 λ 0 Ejemplo mín 4x 1 + 6x 2 máx 2λ 1 + 3λ 2 (P) s.a. x 1 + 2x 2 2 x 1 x 2 3 (D) s.a. λ 1 + λ 2 4 2λ 1 λ 2 6 λ 1, λ 2 0 (P) mín s.a. ( ) x 1 x 2 x 1 x (D) máx s.a. ( ( ) λ 1 λ 2 ) 1 2 λ 1 λ λ 1, λ 2 0 Proposición (Relación Primal-Dual) a) El problema dual del problema (D) es el problema (P). b) El lagrangiano de ambos problemas viene dado por: LP(x; λ) = c t x + λ t (b Ax) = λ t b + (c t λ t A)x = LD(λ; x) c) (Teorema de existencia) La condición necesaria y suficiente para que un problema de programación lineal tenga solución es que los conjuntos de oportunidades de los problemas primal y dual sean no vacíos (sucede si y sólo si ambos problemas son factibles). d) El dual de un problema no acotado es siempre infactible pero el dual de un problema infactible puede ser tanto no acotado como infactible. e) El valor objetivo del problema de minimización es mayor o igual que el del problema de maximización c t x λ t b Proyecto MATECO 2.1 Página 502

19 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL f) (Teorema de la dualidad) La condición necesaria y suficiente para que x y λ sean las respectivas soluciones óptimas de los problemas primal y dual es que los respectivos valores de sus funciones objetivos sean iguales: c t x = b t λ En ese caso, λ son los precios sombra de (P) y x los precios sombra de (D). g) (Teorema de la holgura complementaria) x y λ son las respectivas soluciones óptimas de (P) y (D) si y sólo si: λ t (b Ax) = 0 y (c t λ t A)x = 0 En ese caso, en la tabla óptima del primal los costes reducidos de las holguras son los valores óptimos de las variables duales y los costes reducidos de las variables primales son los valores óptimos de las holguras duales (siempre en valor absoluto). En la tabla óptima del dual se tiene un resultado análogo. Ejemplo En las tablas óptimas de los problemas del ejemplo se tiene P variables D λ 1 λ 2 yd 1 yd 2 b variables x 1 = λ 1 = x 2 = λ 2 = 4 rc holguras rc holguras holguras variables y 1 = 1 holguras variables y d 1 = 0 duales duales y 2 = 0 primales(-) primales(-) y d 2 = 10 Página 503 Proyecto MATECO 2.1

20 Bloque V. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Ejercicios del tema. Ejercicio Dado el problema de programación lineal: máx x 1 + 3x 2 s.a. x 1 + x 2 6 x 1 + 2x 2 8 a) Dibujar la región factible y resolver gráficamente el problema. b) Describir el problema en su forma estandar e identificar los puntos extremos identificando sus variables básicas y no básicas. Ejercicio Resolver gráficamente los siguientes problemas: máx 2x + 5y máx 4x + 2y s.a. x + 3y 16 s.a. x + y 10 (a) 4x + y 20 (b) (c) x 6 x 4 x, y 0 x, y 0 máx 7x + 7y s.a. x + y 6 x y 2 x + 3y 6 Ejercicio Resolver los siguientes problemas por el método del simplex y gráficamente los que sean posibles (si es necesario utilizar el algoritmo primal y/o dual del simplex para resolverlos). máx x 1 + x 2 máx 4x 1 + x 2 máx x 1 + 3x 2 (a) (d) s.a. x 1 + x 2 4 x 1 x 2 5 máx 3x 1 + x 2 s.a. 2x 1 + x 2 6 x 1 + 3x 2 9 mín x 1 2x 2 + 3x 3 s.a. x 1 + x 2 + x 3 6 (g) 2x 1 x 2 + x 3 5 x 1, x 2, x 3 0 s.a. 8x 1 + 2x 2 16 (b) 5x 1 + 2x 2 12 mín x 1 x 2 s.a. x 1 + x 2 6 (e) x 1 x 2 0 x 2 x 1 3 máx 2x 1 + x 2 + x 3 s.a. 2x 1 3x 2 + 2x 3 2 (h) 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2 2x 1 + 2x 2 3x 3 2 x 1, x 2, x 3 0 s.a. x 1 x 2 4 (c) x 1 + 2x 2 4 mín 3x 1 + 5x 2 s.a. 3x 1 + 2x 2 36 (f) 3x 1 + 5x 2 45 mín x 1 2x 2 + 3x 3 s.a. x 1 x 2 + x 3 + 2x 4 = 10 (i) x 2 x 3 + x 5 = 1 x 2 + 2x 4 + x 6 = 8 i = 1,..., 6, x i 0 Proyecto MATECO 2.1 Página 504

21 TEMA 18. PROGRAMACIÓN LINEAL Ejercicio Formular el problema dual de los problemas del ejercicio y resolverlos por el método del simplex (usar el algoritmo primal y/o dual). A partir de su solución óptima obtener los valores de las variables primales y comprobar que coinciden con las soluciones obtenidas en el ejercicio Ejercicio Resolver, si es posible y suponiendo que las variables son continuas, los problemas de PL que se plantearon en los ejercicios del tema 16 Página 505 Proyecto MATECO 2.1

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