x 1, x 2 0 Maximizar 3x 1 + x 2 s.a 2x 1 + x 2 4 2x 1 + 3x 2 4 x 1 + 3x 2 3
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- María Mercedes Marín Revuelta
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1 EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja. Dado el PL: Maximizar x + x x s.a x + x + x x x x x, x, x Calcula la solución del problema aplicando el algoritmo del Simplex. Existe más de una solución óptima? Razona tu respuesta y propón una solución alternativa si la respuesta es afirmativa. Solución: Ver solución en Hoja problemas.xls. Dado el PL: Minimizar x + x + x s.a x x + x = x + x x x x, x, x Calcula la solución del problema aplicando el algoritmo del Simplex y determina todos los vértices adyacentes al vértice solución. Existe más de una solución óptima? Razona tu respuesta e indica todas las soluciones que puedas. Solución: Ver solución en Hoja problemas.xls. Considera el problema de programación lineal: Maximizar x + x s.a x + x 4 x + x 4 x + x x, x Calcula la solución del problema aplicando el algoritmo del Simplex. El problema es acotado? En caso afirmativo, encuentra la solución óptima. En caso negativo, dado un valor V suficientemente grande para la función objetivo, debería existir una solución factible con ese valor. Da una expresión (en función de V de dicha solución. Utiliza esa expresión para encontrar una solución factible con valor 5. Solución: Ver todas las iteraciones del algoritmo del simplex en Hoja problemas.xls El problema es no acotado. Todos los puntos x + = + λ para λ son factibles, y ( 7 T define una dirección de ascenso (de ilimitación. Si nos fijamos sólo en las variables originales x, x, tenemos ( ( P(λ = + λ 7.
2 El valor de P(λ según la función objetivo del problema original es 9 + λ; este rayo nos proporciona soluciones con cualquier valor 9. Así, para V 9 cualquiera, como 9 + λ = V λ = V 9, el punto será un punto factible con valor V. La solución ( tiene valor 5. ( + V 9 ( + 4 ( = ( 45 4 C C Dirección de ascenso C 4. Dado el siguiente PL: Minimizar x x + x s.a x + x x 9 x x + x 6 x, x calcula un vértice factible inicial empleando el método de las dos fases. A partir de ese punto, aplica el algoritmo del Simplex para resolver el problema. Solución: Ver solución en Hoja problemas.xls 5. Dado el siguiente PL: Maximizar x + x s.a x + x 5 x + x = 7 5x x 4 x, x determinar si el problema es factible. Indicar un vértice factible si lo es. Solución: Ver solución en Hoja problemas.xls
3 6. Resuelve el problema: Max 5x + 4x s.a x x 6 x + x 4 5x + x 5 x, x Solución: Ver solución en Hoja problemas.xls 7. Las tablas que aparecen a continuación corresponden a tablas de alguna iteración del algoritmo del simplex aplicado a los siguientes problemas: (a max x + x s.a. 6x + 4x 4 x + x x, x (b min x 5x s.a. x + x 5 x + x 4 x, x (c max x + x + x + x 4 s.a. x + x + x + x 4 5 x + x + x 4 8 x + x + x 45,4x +,6x + +,6x,4x 4 x, x, x, x 4 (d max x + x s.a. x x x 4 x, x (e min x x x s.a. x + 5x + x 6x + 8x x no restringida x, x Teniendo en cuenta que la columna de Ratio no se ha rellenado en ninguno de los casos, para cada uno de ellos razonar a cuál de las siguientes situaciones corresponde, y completar correctamente la columna de Ratio cuando sea necesario: El problema no tiene solución factible. Por qué? El problema tiene solución óptima única. Cuál? El problema tiene soluciones óptimas alternativas. Cómo se obtienen? El problema tiene solución no acotada. Por qué? Se puede mejorar el objetivo. Qué par de variables determinan el cambio de base? Nota: TODAS las tablas están hechas para los problemas en forma estándar, incluido el cambio de maximización a minimización. Por ejemplo, la tabla del apartado (a corresponde al problema: Solución: (a min x x s.a. 6x + 4x + s = 4 x + x + s = x, x, s, s (a VB c B x x s s x B Ratio x -,4545,77,77,88 x -,66,88,88,88 z j c j,5 -
4 máx{z j c j / z j c j } =, luego la tabla actual es óptima. Como hay una variable no básica, s con coste reducido, puede que haya un óptimo alternativo. Se obtendría haciendo el cambio de base determinado por: s entra en la base, x sale de la base. Para ello debemos hacer una iteración más. (b VB c B x x s s x B Ratio 5 x -5 s z j c j 5 5 máx{z j c j / z j c j } =, luego la tabla actual es óptima. Además, como todas las variables no básicas tienen coste reducido estrictamente negativo, se trata de una solución óptima única: ( 5 con valor óptimo z = 5. (c VB c B x x x x 4 s s s s 4 x B Ratio 5,5 x 4 -,65,75,65,5 5,5,65 = 8,875 x -,475,75,565,5,875,475 =,7,75 x -,875,5,875,5,75,875 = 55,,75 s 4,6875,75,5,5,75,6875 = 45,64 z j c j,65,65,65,5 44,875 máx{z j c j / z j c j } =,65 >, entonces el objetivo se puede mejorar. La variable que entra en la base es x, y la variable que sale de la base es x, donde se alcanza el mínimo ratio. (d VB c B x x s s x B Ratio x - x - - z j c j -5 máx{z j c j / z j c j } = 5 >, entonces el objetivo se puede mejorar. La variable que entraría en la base es s, pero en este caso no hay nada que nos frene su crecimiento. Por tanto, la solución del problema es NO Acotada. El valor de la función objetivo puede crecer indefinidamente a lo largo del rayo que parte del punto ( en la dirección ( (e VB c B x + x x x s s x B Ratio x,, 4,667 x + - -,, 667, 667 z j c j 4, -,667 5, 667 máx{z j c j / z j c j } =, luego la tabla actual es óptima. Como hay una variable no básica, x con coste reducido, puede que haya un óptimo alternativo. Para obtenerlo debemos hacer que x entre en la
5 base. Al ir a hacer el cambio de base nos damos cuenta de que no hay nada que nos frene el crecimiento de x. Lo que tenemos es un rayo óptimo. Todos los puntos en el rayo que parte del punto en la dirección x + x x = x, 667 4, 667 son óptimos. Aunque si tenemos en cuenta que x = x + x, vemos que todos los puntos de ese rayo son realmente el mismo x, 667 x = + λ x 4, 667
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