Pasos en el Método Simplex

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 20 El Método Simplex ICS 1102 Optimización Profesor : Claudio Seebach 16 de octubre de 2006 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 48 Pasos en el Método Simplex El método Simplex está compuesto por tres pasos: Paso Inicial Paso Iterativo Prueba de Optimalidad No óptima Fin Solución Óptima Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 49

2 Pasos en el Método Simplex Los tres pasos son: 1. Paso inicial: Determinar una solución factible en un vértice. 2. Prueba de optimalidad: La solución factible en un vértice es óptima cuando ninguna de las soluciones en vértices adyacentes a ella sean mejores.. Paso iterativo: Traslado a una mejor solución factible en un vértice adyacente (repetir las veces que sea necesario). Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 50 Ejercicio Simplex Recordemos el ejemplo de las planchas de aluminio: P ) min 800x 1 600x 2 s.a 15x 1 + 5x x x , x 1 + 0, x 2 15 x 1, x 2 0 Introducir tres variables de holgura: P ) min 800x 1 600x 2 s.a. 15x 1 + 5x 2 + x = 600 (minutos disponibles) 7x x 2 + x 4 = 60 (m 2 de aluminio) 0, x 1 + 0, x 2 + x 5 = 15 (lts de pintura) x 1, x 2 0 x, x 4, x 5 0 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 51

3 Ejercicio Simplex 1. Paso Inicial: Determinar una solución inicial factible. Si todas las restricciones son desigualdades de menor o igual, todas las variables son no negativas y todos los recursos disponibles son no negativos, existe una solución factible trivial: Asignar un valor cero a cada una de las variables originales. Tipo 2 x 1 = x 2 =0 Tipo 1 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 52 Ejercicio Simplex Las variables básicas son x, x 4, x 5 y las no básicas son x 1, x 2. En formato tableau: x 1 x 2 x x 4 x 5 v.b x x 4 0, 0, x Los coeficientes de la última fila se denominan costos reducidos La casilla inferior derecha del tableau indica el inverso aditivo del valor de la función objetivo. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 5

4 Ejercicio Simplex 2. Prueba de Optimalidad: Si el valor de Z puede mejorar (en este caso disminuir) al hacer que una de las variables no básicas crezca. Esto se puede verificar observando la última fila del tableau (Z): si todos los valores son positivos o cero, estamos en el óptimo, de lo contrario regresamos al paso iterativo. Tanto la variable x 1 como x 2 mejoran la función objetivo si aumentan en una unidad ya que sus coeficientes en la fila de la función objetivo son estrictamente negativos, por lo que nos convendrá que una de ellas (cualquiera) entre a la base. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 54 Ejercicio Simplex. Paso Iterativo:.1 Parte I: Determinar la variable no básica que entra a la base. Típicamente se escoge la variable cuyo coeficiente en la función objetivo sea el más negativo. Sin embargo podría escogerse cualquier variable con costo reducido negativo y el método igual convergería. En nuestro ejemplo, la variable que más aporta a la función objetivo es x 1, por lo que ésta será la variable entrante. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 55

5 Ejercicio Simplex.2 Parte II: Se determina la variable básica que sale de la base: Se elige la variable básica que primero alcanza el valor cero cuando se incrementa la variable básica entrante. La variable saliente es x, de min{ , 60 7, 15 0, } = 40.. Parte III: Se determina la nueva solución básica factible. x 1 x 2 x x 4 x 5 v.b. El nuevo tableau es: El nuevo valor óptimo es x x x Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 56 Ejercicio Simplex Tipo 2 x 1 = 40 x 2 = 0 µ 2 = -. µ = 5. Tipo 1 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 57

6 Ejercicio Simplex Aún existe una variable no básica cuyo costo reducido es negativo: x 2. Esta variable reduce en 1000 la función objetivo por cada unidad que aumente su valor, por lo que conviene que entre a la base. por qué una unidad extra del producto 2 agrega sólo $ 1000 a la función objetivo siendo que su utilidad era $600? Dada la combinación actual de productos, y nula disponibilidad de recursos del tipo 1 (tiempo), cada unidad extra del producto 2 exige dejar de producir 1 de unidad del producto 1. La utilidad neta es $600 1 $800, esto es $1000. La variable que sale de la base es x 5 : { } 40 min 1, 50 5, 1 = {120, 0, 15} = 15 5 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 58 Ejercicio Simplex El tableau siguiente es: x 1 x 2 x x 4 x 5 v.b x x x Tipo 2 x 2 = 15 µ = 20 µ 5 = x 1 = 5 Tipo 1 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 59

7 Ejercicio Simplex Prueba de optimalidad: todos los costos reducidos no básicos son positivos, por lo que estamos en una solución óptima. Por lo tanto, la solución obtenida es la siguiente: x 1 = 5 x 2 = 15 x = 0 (Restricción activa) x 4 = 175 (Holgura de aluminio) x 5 = 0 (Restricción activa) Y el valor óptimo es -$7.000 (este valor calza con lo que se esperaba: ). Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 60 Ejercicio Simplex La optimalidad de esta solución es evidente si uno transforma este tableau en el problema de minimización correspondiente: P ) min 20x x s.a x x 5 x 5 = x + x x 5 = 175 x x + 5x 5 = 15 x 1, x 2 0 x, x 4, x 5 0 Dado que las variables deben ser no negativas, el valor óptimo no puede ser inferior a -$ Basta hacer x = x 5 = 0 para obtener una solución factible que alcanza la cota mínima para el valor óptimo Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 61

8 Ejercicio Simplex El tableau final entrega los multiplicadores asociados a cada uno de los recursos necesarios para producir planchas de aluminio. µ 1 y µ 2 son los multiplicadores asociados a la no negatividad de las variables x 1 y x 2, mientras que µ, µ 4 y µ 5 los multiplicadores asociados a las restricciones de minutos de trabajo, m 2 de material y litros de pintura, respectivamente. Los costos reducidos indican que si x aumenta en una unidad, la función objetivo empeora en $20. Es decir, µ = 20. Análogamente, µ 4 = 0 y µ 5 = 1666, 6 lo que es consistente con nuestros resultados previos. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 62 Solución Básica Factible Inicial El método Simplex requiere de una solución inicial factible básica (SIFB) para comenzar a iterar. En cualquier problema de programación lineal en forma estándar con b 0, es fácil identificar una SIFB: Definir el conjunto de variables básicas como el conjunto de holguras de las restricciones: x holguras = b, y las demás variables originales (no básicas) iguales a cero. Los problemas que tienen restricciones de igualdad o desigualdades, tal que al asignar un valor cero a las variables originales del problema no se obtiene un punto factible del dominio. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 6

9 Solución Básica Factible Inicial En el ejemplo del aluminio, supongamos ahora que estamos forzados a utilizar al menos 15 lts de pintura. El problema en forma estándar sería entonces: min 800x 1 600x 2 s.a 15x 1 + 5x 2 + x = 600 7x x 2 + x 4 = 60 0, x 1 + 0, x 2 x 5 = 15 x i 0, i {1, 2,, 4, 5} en que x y x 4 son variables de holgura y x 5 es de exceso. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 64 Solución Básica Factible Inicial Como podemos ver, no el problema no posee una SIFB trivial: Tipo 2 D (0,0) no es factible Tipo 1 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 65

10 Primera Fase Solución: resolver el problema en dos fases: En la primera fase se usa el Simplex para determinar una SIFB En la segunda fase se usa el método Simplex a partir de la SIFB encontrada. En la primera fase se procurará inventar una solución básica al problema que sea evidente: Agregará una variable artificial y i no negativa en cada una de las restricciones que no cumpla con el formato estándar. Esto genera inmediatamente una SBIF del nuevo problema. Cualquier solución a este nuevo problema sólo será factible en el problema original si todas las variables artificiales son nulas. Reemplazar, sólo durante la primera fase del algoritmo, la función objetivo del problema original por: min i y i Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 66 Primera Fase Supongamos que el problema original es el siguiente: El problema queda: min min c x s.a. A 1 x b 1 A 2 x b 2 A x = b x 0 y i + y i y i a 2 y i a s.a. A 1 x + h 1 = b 1 A 2 x e 2 + a 2 = b 2 A x + a = b x, h 1, e 2, a 2, a 0 La SIFB de este problema es evidente: h 1, a 2 y a como el conjunto de variables básicas. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 67

11 Primera Fase Es posible aplicar Simplex directamente comenzando en dicha SIBF. Se pueden dar dos casos: 1. En la solución óptima a este problema todos los elementos y i tanto de a 2 como de a son nulos, entonces basta eliminar las variables artificiales del problema y utilizar la solución óptima como SIFB para el problema original. 2. La solución óptima contempla algún y i > 0 significa que no es posible encontrar una solución en que todos los y i sean nulos. Esto indica que el dominio del problema original no admite soluciones factibles, es decir, es vacío. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 68 Primera Fase En una primera fase, nos interesa resolver el siguiente problema: min y s.a 15x 1 + 5x 2 + x = 600 7x x 2 + x 4 = 60 0, x 1 + 0, x 2 x 5 + y = 15 x i 0, i {1, 2,, 4, 5} y 0 Su tableau asociado es el siguiente: x 1 x 2 x x 4 x 5 y v.b x x 4 0, 0, y Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 69

12 Primera Fase Es útil incluir una fila adicional en la parte inferior del tableau con la función objetivo original. Esto facilita la transición entre la Fase 1 y la Fase 2, en la que se vuelve a la función objetivo original. La función objetivo de la Fase I está en la penúltima fila. La SBIF corresponde a x = 600, x 4 = 60, y = 15. variables (no básicas) son cero. Las demás Hay que ajustar la función objetivo en el tableau para que contenga sólo ceros en las columnas asociadas a las variables básicas: x 1 x 2 x x 4 x 5 y v.b x x 4 0, 0, y 0, 0, Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 70 Primera Fase La solución anterior no es óptima: x 1 y x 2 tienen costo reducido negativo Después de una iteración de Simplex en el pivote destacado se alcanza el siguiente tableau: x 1 x 2 x x 4 x 5 y v.b x x , 5 y , Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 71

13 Primera Fase Gráficamente Tipo 2 (0,45) D Tipo 1 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 72 Primera Fase La solución básica anterior aún no es factible para el problema original pues y aún es positiva. La solución no es óptima para la Fase I: el costo reducido de la variable x 1 es negativo ( 20 ). Una iteración adicional y obtenemos: x 1 x 2 x x 4 x 5 y v.b x x x La solución básica alcanzada es óptima para la Fase I, ya que todas las variables artificiales han salido de la base. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 7

14 Primera Fase Gráficamente Tipo 2 (0,45) (10,40) D Tipo 1 Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 74 Fin Primera Fase A través de operaciones fila transformamos el problema de la Fase I en el siguiente: min y s.a x x x y = 250 x x x 5 10 y = 40 x x 4 20 x y = 10 x i 0, i {1, 2,, 4, 5} y 0 La solución óptima prescinde de la variable y. La solución básica factible alcanzada es: x 1 = 10, x 2 = 40, x = 250, x 4 = x 5 = 0 y es factible para el problema original. Basta eliminar la variable artificial y y reemplazar la función objetivo por la original para poder comenzar la segunda fase. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 75

15 Transición Fase I a Fase II Las v. b. x 1, x 2 de esta solución aparecen en la función objetivo original: min 800x 1 600x 2 Es necesario realizar operaciones adicionales para que la función objetivo quede expresada sólo en función de las variables no básicas. Esto se obtiene gracias a mantener durante la primera fase la última fila del tableau con la función objetivo original. Basta reemplazar el valor de las v. b. en la función objetivo original: f(x 1, x 2 ) = 800x 1 600x 2 = 800( x x 5 20 y ) 600( x 4 10 x y ) = x x y Esto es la expresión que aparece en la última fila del tableau. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Programación Lineal 76