MÉTODO ALGEBRAICO: Obtención de las soluciones básicas:

Transcripción

1 MÉTODO ALGEBRAICO: El método algebraico es una alternativa de solución a problemas de programación lineal. Sin embargo es muy dispendioso, en razón a que trabaja con todos los datos de las ecuaciones, para mejorar éste aspecto se creó el método simplex cuya gran virtud es su sencillez, método muy práctico, ya que sólo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones. Obtención de las soluciones básicas: 1. Plantear el problema en términos matemáticos (Función Objetivo y conjunto de restricciones) 2. Convertir en igualdades todas las restricciones lineales expresadas en forma de desigualdades, adicionando variables de holgura a las desigualdades de menor o igual que y restar variables de excedente (superfluas)a las desigualdades de mayor o igual que. Jaime Campo Rodríguez,PhD 1

2 Obtención de las soluciones básicas: 3. Identificación de soluciones: a. Determinar # de soluciones básicas posibles: Para m ecuaciones y n incógnitas el # de soluciones básicas posibles se obtiene a partir de: n! m!( n m)! Obtención de las soluciones básicas: b. Se aplica el teorema básico de álgebra lineal, que especifica que para un sistema de m(ecuaciones) x n(incógnitas) en el puede encontrarse cero y resolviendo el (variables) que n>m, si existe una solución, igualando n-m de las variables a conjunto de m(ecuaciones) con m Jaime Campo Rodríguez,PhD 2

3 Obtención de las soluciones básicas: i. Elección de variables básicas y no básicas: Variables no básicas: Variables que se igualan a cero. Variables básicas: Variables que se usan para resolver las ecuaciones. Igualar variables básicas a cero (n-m es posible iniciar con las variables de decisión) para convertirlas en no básicas y resolver el sistema de ecuaciones. Este proceso será repetitivo hasta hallar todas las soluciones básicas posibles. Obtención de las soluciones básicas: c. De las soluciones básicas es posibles identificar: i. Soluciones Básicas Factibles: que corresponden a las esquinas o vértices de la región factible y sus variables son no negativas. ii.solución Básica No Factible: están por fuera de la región factible. iii. Solución óptima: Aquella que tiene todas sus variables no negativas y es el mayor valor, para el caso de maximización. Para el caso de minimización será la que presente el menor valor. Jaime Campo Rodríguez,PhD 3

4 Obtención de las soluciones básicas: EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Paso No. 1: Maximizar: Z = + 2 s.a <= <= <= 2, >= Obtención de las soluciones básicas: EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Paso No. 2: Maximizar: Z = s.a = = = 2,,,, >= El modelo modificado usa ponderaciones de cero para cada variable de holgura en la función objetivo; se emplean estos pesos porque los recursos de holgura no contribuyen con nada a las utilidades. Jaime Campo Rodríguez,PhD 4

5 Obtención de las soluciones básicas: EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Paso No. 3: a. # soluciones básicas posibles = = n! m!( n m)! 5! 3!(5 3)! =1 b. # de variables a igualar a cero = n m = 5 3 = 2 Obtención de las soluciones básicas: EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Paso No. 3: i. Para nuestro problema modificado se resuelve fácil el conjunto de ecuaciones cuando y son iguales a cero. Reemplazando:.5() +.5() + = 11.5() +.1() + = 18.1() +.5() + = 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 5

6 Obtención de las soluciones básicas: EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Paso No. 3: i. Se observa que: = 11 = 18 = 2 Al sustituir en la función objetivo arroja una utilidad igual a cero. Esta corresponde a la primera solución básica. Obtención de las soluciones básicas: EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Paso No. 3: i. Se continua el proceso de igualar dos variables a cero y resolver el conjunto resultante de ecuaciones, identificando las nueve (9) soluciones básicas restantes, que se presentan en la siguiente tabla: Cálculo para la segunda solución básica: 11 Igualando y a cero: X 2 = = () = 11 Jaime Campo Rodríguez,PhD 6

7 Obtención de las soluciones básicas: EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Paso No. 3: i..5() +.1(22) + = 18 S 2 = = 4.1() +.5(22) + = 2 S 3 = 2 11 = 9 Soluciones Básicas EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Solución Variables Función objetivo Z No Factible $ No Factible No Factible $ No Factible $ $ No Factible Jaime Campo Rodríguez,PhD 7

8 Soluciones Básicas EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Obtención de las soluciones básicas: EJEMPLO: Caso de Agro-Tech Soluciones básicas factibles: Soluciones en las que todas sus variables son positivas (1, 3, 6, 8 y 9). Soluciones básicas No factibles: Soluciones en las que al menos una de las variables tiene valor negativo (2, 4, 5, 7 y 1). Soluciones Óptima: Solución con el mayor valor en la función objetivo (Maximización) y todas sus variables no negativas (8). Jaime Campo Rodríguez,PhD 8

9 Método Algebraico : 1. Identificar la solución básica inicial. 2. Determinar si existe una solución factible mejor, si la hay, llevar a cabo el paso No.3; si no es así, la solución que se tiene es la óptima. 3. Encontrar la mejor solución cambiando una variable no básica por una básica, haciendo que todas las variables sean no negativas, y repetir el paso No.2 Método Algebraico : 1. Identificar la solución básica inicial:.5x1 +.5X2 + = 11.5X1 +.1X2 + = 18.1X1 +.5X2 + = 2 Variables no básicas: y = Solución básica inicial: = 11 = 18 = 2 = = F. O. Z = Jaime Campo Rodríguez,PhD 9

10 Método Algebraico : 2. Determinar si existe una solución factible mejor. Planteamos las ecuaciones de la siguiente forma: 1) = ) = ) = Reemplazamos en la F.O. Max Z = Método Algebraico : 2. Determinar si existe una solución factible mejor. Reemplazamos en la F.O. Max. Z = ( ) + ( ) + (2.1.5 ) Z = + 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 1

11 Método Algebraico : 2. Determinar si existe una solución factible mejor. Qué variable no básica debe elegirse para convertirla en básica? En la F.O. la variable tiene el mayor coeficiente esto significa que representará un mayor aumento en caso de convertir en básica. Método Algebraico : 3. Encontrar la mejor solución. Qué valor debe tomar para evitar que las otras variables tomen valores negativos, considerando a como no básica? Nitrato =.5 11/.5 = 22 Fosfato =.1 18/.1 = 18 Potasio =.5 2/.5 = 4 El Fosfato es el componente que más restringe la producción del fertilizante 5-1-5, por tal razón = Jaime Campo Rodríguez,PhD 11

12 Método Algebraico : 3. Encontrar la mejor solución. Variables No Básicas: = y = Variables Básica:, y De la 2) hallamos :.1 = 18.5 = (18.5 )/.1 = lo reemplazamos en las ecuaciones 1) y 3) y en la F.O., así: Método Algebraico : 3. Encontrar la mejor solución. De la 1) hallamos : = De la 3) hallamos : = Jaime Campo Rodríguez,PhD 12

13 Método Algebraico : 3. Encontrar la mejor solución. Al sustituir en la F.O. tenemos: Z = + 2( ) Z = Nuestras nuevas ecuaciones son: 4) = ) = ) = Método Algebraico : 3. Encontrar la mejor solución. Igualando y a Cero, la solución básica factible, es: = 18 = = 2 = = 11 Z = 36. Jaime Campo Rodríguez,PhD 13

14 Método Algebraico : Repetimos el proceso, observando la F.O.,: Z = tiene coeficiente positivo que indica que el valor de Z puede aumentar si esta variable la convertimos en básica y se determina que valor puede tomar: 4) 18/.5 = 36 5) 2/.25 = 8 es el que más restringe 6) 11/.75 = Método Algebraico : Variables No Básicas: = y = Variables Básica:, y Despejamos las variables básicas en función, así: De la 5) hallamos = De la 4) hallamos = De la 6) hallamos = Z = Jaime Campo Rodríguez,PhD 14

15 Método Algebraico : 3. Encontrar la mejor solución. Igualando y a Cero, la solución óptima es: = 8 = 14 = = = 5 Z = 428. Método Simplex: Utiliza la misma lógica del enfoque algebraico. La única diferencia es que el problema que se resuelve se maneja en forma tabular, en vez de hacerlo en forma de ecuaciones. La ventaja del formato tabular es que resulta más fácil de manejar en términos de cálculos y evita la tarea de volver a escribir continuamente las variables y ecuaciones. Jaime Campo Rodríguez,PhD 15

16 Ejercicio de Agro-Tech Procedimiento: Pasos a seguir 1. Plantear el problema en términos matemáticos: Maximizar: Z = +2 s.a <= <= <=2, >= 2. Convertir en igualdades todas las restricciones lineales expresadas en forma de desigualdades (FORMA ESTÁNDAR), adicionando variables de holgura a las desigualdades de menor o igual que (<=) y restando variables de excedente (superfluas) a las de mayor o igual que (>=) Maximizar: Z = s.a = = =2,,,, >= Forma Estándar Jaime Campo Rodríguez,PhD 16

17 3. ITEM 1: Determinar variables básicas y no básicas, expresando los coeficientes de las restricciones en forma tabular: Matriz Identidad La matriz identidad permite obtener una solución factible básica inicial identificando las variables básicas (, y ) y no básicas ( y ) 3. ITEM 2: Identificadas las variables básicas y no básicas se procede a trasladar la función objetivo y el conjunto de restricciones a la Tabla Simplex Inicial: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Encabezados y variables Contribución por Unidad Z j C j -Z j Coeficientes Cálculo del valor Z Contribución neta por unidad que se fabrica Jaime Campo Rodríguez,PhD 17

18 3. ITEM 3: La única parte de la Tabla Simplex Inicial que se calcula, son las filas Z j, (C j -Z j ) y el valor Z. Z j : Se calcula sumando los productos de los coeficientes en la columna C J por los coeficientes de la columna asociada con la variable respectiva: Ejemplo: Para Z 1 =()(.5)+()(.5)+()(.1) = Para Z 2 =()(.5)+()(.1)+()(.5) = 3. ITEM 3: Z j Tabla Simplex Inicial: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Encabezados y variables Contribución por Unidad Z j C j -Z j Coeficientes Cálculo del valor Z Contribución neta por unidad que se fabrica Jaime Campo Rodríguez,PhD 18

19 3. ITEM 3: (C j -Z j ) : Se calcula restando para cada variable el valor de Z j del valor de C j, en sus respectivas columnas Ejemplo: Para = Para 2. = 2. NOTA: Si un valor de (C j Z j ) es positivo, indica que la utilidad puede incrementarse aumentando el valor de la variable correspondiente. Si todos los valores (C j Z j ) son no positivos (ceros y/o negativos), la tabla representa una solución óptima. 3. ITEM 3: C j - Z j Tabla Simplex Inicial: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Encabezados y variables Contribución por Unidad Z j C j -Z j Coeficientes Cálculo del valor Z Contribución neta por unidad que se fabrica Jaime Campo Rodríguez,PhD 19

20 3. ITEM 3: El valor de Z se calcula sumando los productos de los coeficientes C B y los valores de solución para las variables básicas: Z = ()(11) + ()(18) + ()(2) Z = Este valor se muestra en la parte inferior de la columna Segundo Término 3. ITEM 3: Z Tabla Simplex Inicial: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Encabezados y variables Contribución por Unidad Z j C j -Z j Esta tabla no representa la solución óptima, porque existen valores positivos en la fila (C j Z j ) Coeficientes Cálculo del valor Z Contribución neta por unidad que se fabrica Jaime Campo Rodríguez,PhD 2

21 4. Construcción de la Tabla Simplex No. 1 (Buscando la solución) ITEM 1: Selección de la variable que entra: Esta selección parte de los valores de la fila (C j -Z j ) en la Tabla Simplex Inicial, eligiendo la variable que tenga el mayor valor positivo. La columna asociada con esta variable se denomina columna de entrada y la variable que se elige variable que entra (variable nueva) 4. ITEM 1: Variable que entra Tabla Simplex Inicial: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Encabezados y variables Contribución por Unidad Z j C j -Z j es la variable que entra, puesto que representa el mayor aumento en la F.O. ($2 por cada tonelada de que se fabrique) Coeficientes Cálculo del valor Z Contribución neta por unidad que se fabrica Jaime Campo Rodríguez,PhD 21

22 4. Construcción de la Tabla Simplex No. 1 (Buscando la solución) ITEM 2: Selección de la variable que sale: Se obtiene dividiendo las cantidades de la columna Segundo Término (RHS) entre los coeficientes positivos de la columna correspondiente a la variable que entra (es decir, los coeficientes de la variable que ingresa como básica) fila por fila. 4. ITEM 2: Variable que sale Razones de los ingredientes para el fertilizante Fila Segundo Término Coeficiente Cociente Se elige la fila que tenga el menor cociente no negativo como el que va a reemplazarse. Esta fila que sale se asocia con la variable que se convertirá en no básica. Jaime Campo Rodríguez,PhD 22

23 4. ITEM 2: Para facilitar la identificación de la Variable que sale se puede incluir el calculo del cociente en la Tabla Simplex: Tabla Simplex Inicial: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j C j -Z j 2 4. ITEM 3: Se identifica el elemento pivote, en la Tabla Simplex Inicial, que se encuentra en la intersección de la columna que entra y la fila que sale: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j 2 4 C j -Z j 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 23

24 4. ITEM 4: Determinadas las variables básica (entrante) y no básica (saliente), se procede a actualizar los coeficientes de la Tabla Simplex No. 1 para que reflejen el cambio: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente 2 Z j C j -Z j 4. ITEM 4: Se transforma la fila asociada con la variable que sale, dividiendo la fila que sale entre el elemento pivote: Nueva Fila Segundo Término 18/.1 = 18.5/.1 =.5.1/.1 = 1 /.1 = 1/.1 = 1 /.1 = Jaime Campo Rodríguez,PhD 24

25 4. ITEM 4: Nueva Fila Tabla Simplex No. 1 V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j C j -Z j Esta Fila Reemplazante se utilizará como sustraendo para los cálculos del ITEM ITEM 5: Las filas restantes de la Tabla Simplex No.1, se actualizan utilizando la siguiente fórmula: NF = FA CCE(FR) NF = Nueva Fila FA = Fila Anterior en la Tabla Simplex Inicial CCE = Coeficiente Columna que Entra para las filas restantes (Tabla Simplex Inicial) FR = Fila Reemplazante Jaime Campo Rodríguez,PhD 25

26 4. ITEM 5: Actualización de las filas restantes Nueva Fila ( ) FA [ ] -CCE(FR 1 ) -(.5) [ ] NF( ) Nueva Fila ( ) FA [ ] -CCE(FR 3 ) -(.5) [ ] NF( ) ITEM 5: Las filas restantes: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j C j -Z j Jaime Campo Rodríguez,PhD 26

27 4. ITEM 6: El paso final para la Tabla Simplex No. 1, consiste en calcular los nuevos renglones de Z j, (C j Z j ) y el valor de Z, como se calcularon para Tabla Simplex Inicial y verificar si se tiene la solución óptima: 4. ITEM 6: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j C j -Z j Como aun se tienen coeficientes mayores que cero en la Fila (C j Z j ), no se ha llegado a la solución óptima; se debe realizar nuevamente el ITEM 1 del paso No.4 (Calcular la variable que entra y la variable que sale). Jaime Campo Rodríguez,PhD 27

28 4. ITEM 6: Variable que entra y Variable que sale Tabla Simplex No. 1 V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j C j -Z j Construcción de la Tabla Simplex No.2: Nuevamente se divide la fila que sale (Tabla Simplex No.1) entre el elemento pivote (.25) y se calculan las filas restantes: Nueva Fila ( ) FA [ ] -CCE(FR) -(. 5) [ ] NF( ) Nueva Fila ( ) FA [ ] -CCE(FR) -(.75) [ ] NF( ) Jaime Campo Rodríguez,PhD 28

29 5. Tabla Simplex No. 2 V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j C j -Z j 5. Tabla Simplex No. 2: Nuevamente se calculan los renglones de Z j, (C j Z j ) y el valor de Z, como se calcularon anteriormente y se verificar si se tiene la solución óptima: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j C j -Z j Jaime Campo Rodríguez,PhD 29

30 5. Tabla Simplex No. 2: V.B. C J 2. Segundo Término RHS Cociente Z j C j -Z j Al verificar los valores de (C j Z j ), todos son cero y/o negativos; por tanto, esta tabla presenta la solución óptima. Resumen del Procedimiento: 1. Plantear el problema en términos matemáticos. 2. Convertir en igualdades todas las restricciones (adicionando o restando variables de holgura o excedente según el caso) 3. Construcción Tabla Simplex Inicial: ITEM 1: Determinar Variables Básicas y No Básicas (Matriz Identidad) ITEM 2: Trasladar la F.O. y el conjunto de restricciones a la Tabla Simplex Inicial ITEM 3: Calcular Z j, (C j Z j ) y el valor de Z. Verificar si se ha llegado a la solución óptima, sino continuar. Jaime Campo Rodríguez,PhD 3

31 Resumen del Procedimiento: 4. Construcción de la Tabla Simplex No.1 ITEM 1: Selección de la variable que entra (Mayor valor positivo en la fila (C j Z j ) en la Tabla Simplex Inicial) ITEM 2: Selección de la variable que sale (menor cociente no negativo) ITEM 3: Identificación del elemento pivote (Intersección de la columna que entra y la fila que sale) ITEM 4: Transformar la fila asociada con la variable que sale, dividiendo la fila que sale entre el elemento pivote. Resumen del Procedimiento: 4. Construcción de la Tabla Simplex No.1 ITEM 5: Calcular filas restantes utilizando la fórmula NF=FA-CCE(FR) ITEM 6: Calcular los nuevos renglones Z j, (C j Z j ) y el valor de Z. Verificar si se ha llegado a la solución óptima, sino realizar nuevamente el ITEM 1 del paso No. 4 Jaime Campo Rodríguez,PhD 31