METODO SIMPLEX: SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL.

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1 METODO SIMPLEX: SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL. El método Simplex es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Desarrollado por George Dantzig en 1947, esta comprobada su extraordinaria eficiencia, y se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes en computadoras actuales. También se usan extensiones y variaciones del método Simplex para realizar análisis posoptimo (que incluye el análisis de sensibilidad) sobre el modelo. 1. Esencia del Método Simplex. El método Simplex es un procedimiento algebraico, Sin embargo, sus conceptos fundamentales son geométricos, por lo que la comprensión de estos conceptos geométricos nos proporciona una fuerte intuición sobre como opera el método Simplex y porque es tan eficiente. Para comprender los conceptos geométricos, volveremos a analizar el problema de la W Glass, visto en la sección anterior. En la figura 1 se marcaron las cinco restricciones de frontera y sus puntos de intersección ya que son puntos clave para el análisis. Una frontera de restricción es una recta que marca el límite de lo que permite la restricción correspondiente. Los puntos de intersección son las soluciones en los vértices para el problema. Los cinco puntos que se encuentran en los vértices de la región factible son: (0,0), (0,6), (2,6), (4,3) y (4,0), y corresponden a las soluciones factibles en los vértices (soluciones FEV). Los otros tres: (0,9), (4,6) y (6,0) se llaman soluciones no factibles en un vértice. Figura 1: Restricciones de frontera y soluciones en los vértices para el problema. Solución FEV adyacente: Para cualquier problema de programación lineal con n variables de decisión, dos soluciones FEV son adyacentes entre si, si comparten (n-1) fronteras de 13

2 restricción. Como n = 2 en el ejemplo, dos de sus soluciones FEV son adyacentes si comparten una frontera de restricción, por ejemplo, (0,0) y (0,6) son adyacentes porque comparten la frontera x 1 = 0. En la siguiente tabla se indican las soluciones FEV adyacentes para cada solución FEV. Solución FEV Soluciones FEV adyacentes (0,0) (0,6) y (4,0) (0,6) (2,6) y (0,0) (2,6) (4,3) y (0,6) (4,3) (4,0) y (2,6) (4,0) (0,0) y (4,3) Una razón para analizar las soluciones FEV adyacentes es la siguiente propiedad general de las soluciones, que proporciona una manera muy útil de verificar si una solución FEV es una solución óptima. Prueba de optimalidad: Considere cualquier problema de programación lineal que posea al menos una solución optima. Si una solución FEV no tiene soluciones FEV adyacentes que sean mejores (según el valor de Z), entonces esa debe ser una solución óptima. De esta manera por ejemplo (2,6) debe ser optima simplemente porque su valor correspondiente de Z = 36 es más grande que Z = 30 para (0,6) y Z = 27 para (4,3). Esta prueba de optimalidad se usa en el método Simpex para determinar cuando se ha llegado a una solución óptima. 2. Solución del ejemplo por el método Simplex desde un punto de vista geométrico. Veamos como se resuelve el problema de la W Glass utilizando el método Simplex desde un punto de vista geométrico. Los pasos son los siguientes: Paso inicial: Elija (0,0) como solución FEV inicial para examinarla. Prueba de optimalidad: concluya que (0,0) no es una solución óptima, dado que las soluciones FEV adyacentes son mejores. Iteración 1: Muévase a una solución FEV adyacente mejor, (0,6), realizando los siguientes pasos: 1) De las dos aristas que salen de (0,0), elija moverse a lo largo de la arista que aumenta el valor de x 2. (Con una función objetivo Z = 3x 1 + 5x 2, al aumentar el valor de x 2, al valor de Z crece mas rápido que si aumenta el valor de x 1 ). 2) Deténgase al llegar a la primera frontera de restricción: 2x 2 = 12 (si se mueve mas lejos en esa dirección, saldrá de la región factible). 3) Obtenga la intersección del nuevo conjunto de fronteras de restricción: (0,6). Prueba de optimalidad: concluya que (0,6) no es una solución óptima. (existe una solución FEV adyacente mejor). Iteración 2: Muévase a una mejor solución FEV, (2,6), realizando los siguientes pasos: 1) De las dos aristas que salen de (0,6) elija moverse a la derecha (moverse a lo largo de esta arista aumenta el valor de Z). 2) Deténgase al encontrar la primera frontera de restricción en esa dirección: 3x 1 +2x 2 =12. 3) Obtenga la intersección del nuevo conjunto de fronteras de restricción: (2,6) 14

3 Prueba de optimalidad: concluya que (2,6) es una solución optima y deténgase. (ninguna de las soluciones FEV adyacentes es mejor). En la figura 2 se muestra la secuencia de soluciones FEV examinadas por el método Simplex para el ejemplo. Figura 2: Secuencia de soluciones FEV examinadas por el método Simplex. Como pudo apreciarse en el ejemplo, el método Simplex es un algoritmo iterativo (procedimiento de solución sistemático que repite una serie de pasos fija, llamada iteración, hasta que se obtiene el resultado deseado) con la siguiente estructura: Inicialización: Preparación para comenzar las iteraciones, que incluye encontrar una solución FEV inicial. Si no lo es: Iteración para encontrar una solución FEV mejor. Prueba de optimalidad: Es óptima la solución FEV Si lo es: Termina 3. Preparación para el método Simplex. Lo común es que este algoritmo se trabaje en una computadora que solo pueda seguir instrucciones algebraicas. Por lo tanto es necesario traducir el procedimiento geométrico conceptual que se acaba de describir en un procedimiento algebraico que se pueda usar. El procedimiento algebraico se basa en resolver sistemas de ecuaciones. Entonces el primer paso para preparar el método Simplex es convertir las restricciones funcionales de desigualdad en restricciones de igualdad equivalentes. (las restricciones de no negatividad se dejan como desigualdades porque se manejan por separado). La conversión en igualdades se logra con la introducción de variables de holgura. 15

4 Por ejemplo, para la siguiente restricción x 1 4, la variable de holgura se define como x 3 = 4 x 1, que es la holgura que queda en el lado izquierdo de la desigualdad. Entonces: x 1 + x 3 = 4, con x 3 0. Si introducimos las variables de holgura en nuestro ejemplo, nos queda: Maximizar Z = 3x 1 +5x 2 Sujeta a: x 1 +x 3 = 4 2x 2 +x 4 = 12 3x 1 +2x 2 +x 5 = 18 x j 0, para j = 1,2,3,4,5 A esta forma se le da el nombre de forma aumentada del problema. Terminología para la forma aumentada: Solución Básica (BF): es una solución en un vértice aumentada. Solución básica factible: es una solución FEV aumentada. Una solución básica tiene las siguientes propiedades: 1) Cada variable se designa ya sea como variable básica o variable no básica. 2) El numero de variables básicas es igual al número de retricciones funcionales. Por lo tanto, el número de variables no básicas es igual al número total de variables menos el número de restricciones funcionales. 3) Las variables no básicas se igualan a cero. 4) Los valores de las variables básicas se obtienen como la solución simultanea del sistema de ecuaciones. 5) Si las variables básicas satisfacen las restricciones de no negatividad, la solución básica es una solución BF. 4. Algebra del Método Simplex. Se explicara siguiendo el ejemplo de la W. Glass. Paso inicial: Se eligen como variables no básicas a x 1 y x 2, por lo tanto se igualan a cero. El sistema de ecuaciones es: (1) x 1 +x 3 = 4 (2) 2x 2 +x 4 = 12 (3) 3x 1 +2x 2 +x 5 = 18 con x 1 = 0 y x 2 = 0, de esta manera x 3 = 4, x 4 = 12, x 5 = 18 (corresponde a la BF inicial). Prueba de optimalidad: la función objetivo es Z = 3x 1 +5x 2, de manera que Z = 0 para la BF inicial. No es optima porque al aumentar el valor de cualquier variable no básica (x 1 o x 2 ), el valor de Z aumenta. 16

5 Iteración 1: determinación de la dirección de movimiento (paso 1 de una iteración): Se debe elegir entre las variables no básicas, cual debe aumentar su valor. Como la función objetivo es Z = 3x 1 +5x 2, la tasa de mejoramiento de x 2, es mayor, por lo que se elige a esta para aumentar su valor. Se la denomina variable básica entrante. Iteración 1: Determinación de donde detenerse (paso 2): esto nos dice cuanto aumentar la variable básica entrante x 2 antes de detenerse (1) x 1 +x 3 = 4 (2) 2x 2 +x 4 = 12 (3) 3x 1 +2x 2 +x 5 = 18 con x 1 = 0 x 3 = 4 x 4 = 12-2x 2 x 5 = 18-2x 2 lo que buscamos es cuanto puede crecer x 2 sin violar restricciones de no negatividad, así: x 3 = 4 0 no hay cota superior sobre x 2 x 4 = 12-2x 2 0 x 2 12/2 = 6 (cociente mínimo) x 5 = 18-2x 2 0 x 2 18/2 = 9 Entonces x 2 puede crecer justo hasta 6, en este punto x 4 ha llegado a cero. Si se aumenta mas x 2, causaría que x 4 se vuelva negativa, lo que violaría la factibilidad. Este cálculo recibe el nombre de prueba del cociente mínimo. De esta manera x 4 es la variable básica que sale para la iteración 1. Iteración 1: Solución (paso3) El propósito de este paso es convertir el sistema de ecuaciones a una forma más conveniente para llevar a cabo la prueba de optimalidad. El sistema de ecuaciones que tenemos es: (0) Z - 3x 1-5x 2 = 0 (1) x 1 +x 3 = 4 (2) 2x 2 +x 4 = 12 (3) 3x 1 +2x 2 +x 5 = 18 Para despejar Z, x 2, x 3 y x 5, de este sistema de ecuaciones es necesario realizar algunas operaciones algebraicas elementales, para reproducir el patrón de coeficientes de x 4 (0,0,1,0) como los nuevos coeficientes de x 2, Se pueden realizar cualquiera de los dos tipos de operaciones algebraicas elementales: 1) Multiplicar (o dividir ) una ecuación por una constante distinta de cero. 17

6 2) Sumar (o restar) un múltiplo de una ecuación a (o de) otra ecuación. Los coeficientes de x 2 en el sistema de ecuaciones anterior son (-5, 0, 2, 2) y se intenta convertirlos en (0, 0, 1, 0). Para convertir el coeficiente de 2 en la ecuación (2) en un 1, se usa el primer tipo de operación algebraica elemental, y se divide esta ecuación por 2 para obtener: (2*) x 2 +1/2 x 4 = 6 Para convertir los coeficientes de 5 y 2 en ceros, es necesario usar el segundo tipo de operación algebraica elemental. En este caso, se suma a la ecuación (0) esta nueva ecuación (2*) multiplicada por 5, y se resta de la ecuación (3) esta nueva ecuación (2*) multiplicada por 2. El nuevo sistema de ecuaciones resulta: (0) Z - 3x 1 +5/2 x 4 = 30 (1) x 1 +x 3 = 4 (2) x 2 +1/2 x 4 = 6 (3) 3x 1 - x 4 +x 5 = 6 Como x 1 y x 4 son iguales a cero, las ecuaciones en esta forma llevan a la nueva solución BF (0,6,4,0,6), lo que da Z = 30. Lo que hemos utilizado para resolver las ecuaciones se conoce como método de eliminación de Gauss-Jordan. Prueba de optimalidad para la nueva solución BF: La ecuación (0) actual Z = 30+ 3x 1-5/2 x 4 No es óptima porque al aumentar el valor de una variable no básica (x 1 ), el valor de Z aumenta. Iteracion2: solución óptima que resulta: Como la función Z = 30+ 3x 1-5/2 x 4, se pude aumentar si aumenta el valor de x 1, pero no el de x 4, se elige como primer paso a x 1 como la variable básica entrante. El segundo paso nos dice cuanto se puede aumentar x 1 (con x 4 = 0), las ecuaciones nos dan: x 3 = 4 - x 1 0 x 1 4/1 = 4 x 2 = 6 0 no hay cota superior sobre x 1 x 5 = 6-3x 1 0 x 1 6/3 = 2 (mínimo) Por lo tanto la prueba del cociente mínimo indica que x 5 es la variable básica que sale. El tercer paso es sustituir a x 5 por x 1 como variable básica, se realizan operaciones algebraicas en el sistema de ecuaciones actual para reproducir el patrón de coeficientes de x 5 (0,0,0,1) como los nuevos coeficientes de x 1. Esto lleva al siguiente sistema de ecuaciones: (0) Z +3/2 x 4 + x 5 = 36 (1) x 3 +1/3 x 4-1/3x 5 = 2 (2) x 2 +1/2 x 4 = 6 (3) x 1-1/3 x 4 + 1/3x 5 = 2 18

7 Por lo tanto, la siguiente solución BF es (2,6,0,0,0), lo que da Z = 36. Para aplicar la prueba de optimalidad a esta nueva solución BF, se usa la ecuación (0): Z = 36-3/2 x 4 - x 5, al incrementar ya sea x 4, o x 5, el valor de Z disminuirá, de manera que ninguna solución BF adyacente es tan buena como la actual. Entonces esta solución es óptima. 5. Método Simplex en forma tabular. La forma algebraica del método Simplex, puede ser la mejor para entender la lógica que fundamenta el algoritmo. Sin embargo, no es la más conveniente para realizar los cálculos necesarios. Por esto es más útil usar la forma tabular. La forma tabular registra solo la información esencial: 1) los coeficientes de las variables, 2) las constantes del lado derecho de las ecuaciones, 3) la variable básica que aparece en cada ecuación. En la Tabla 5.1. Se muestra la tabla simplex para el problema de la W. Glass. Tabla 5.1. Tabla simplex inicial Resumen del Método Simplex. Paso inicial: Se introducen las variables de holgura. Se seleccionan las variables de decisión como las variables no básicas iniciales, (iguales a cero) y las variables de holgura como las básicas iniciales. Esta elección lleva a la tabla Simplex 5.1., donde la solución BF es (0,0,4,12,18). Prueba de optimalidad: La solución BF es optima si y solo si todos los coeficientes en el renglon (0) son no negativos. Si es así el proceso se detiene, de otra manera sigue a una iteración para obtener la siguiente solución BF, que incluye cambiar una variables no básica en básica (paso 1), y viceversa (paso2) y después despejar la nueva solución (paso3). Iteración 1: Paso 1: se determina la variable básica entrante, seleccionando la variable con el coeficiente negativo que tiene el mayor valor absoluto en la ecuación (0). Se pone un recuadro alrededor de la columna debajo de este coeficiente y se le da el nombre de columna pivote. En la tabla, el coeficiente más negativo es 5, de manera que x 2 debe convertirse en variable básica. Paso 2: Se determina la variable básica que sale con la prueba del cociente mínimo. Elegir los coeficientes de la columna pivote que son estrictamente positivos. Dividir cada coeficiente entre el elemento del lado derecho en el mismo renglón. Identificar el renglón que tiene el menor de estas razones. 19

8 La variable básica en ese renglón es la variable básica que sale, entonces se debe sustituir por la variable básica entrante en la columna de la variable básica de la siguiente tabla. Tabla 5.2. Aplicación de la prueba del cociente mínimo para determinar la variable básica que sale. Luego poner un recuadro en este renglón que se llama renglón pivote. El número que se encuentra entre los recuadros se llama número pivote. La variable básica que sale es x 4, y x 2 sustituye a x 4 en el renglón 2, como se indica en la tabla 5.3. Tabla 5.3. En la parte superior de la tabla se indica el número pivote. La parte inferior corresponde a la nueva tabla Simplex con x 2 que sustituye a x 4. Paso 3: Se despeja la nueva solución BF mediante operaciones algebraicas elementales con renglones, para construir una nueva tabla en la forma apropiada de eliminación gaussiana, abajo de la actual y después se realiza la prueba de optimalidad Las operaciones elementales con renglones que deben realizarse son: 1) Dividir el renglón pivote entre el número pivote. Usar este nuevo renglón pivote en los pasos 2 y 3. 2) Para los renglones (incluso el (0)), que tienen un coeficiente negativo en la columna pivote, se suma a este renglón el producto del valor absoluto de este coeficiente por el nuevo renglón pivote. 3) Para los renglones que tienen un coeficiente positivo en la columna pivote, se resta de este renglón el producto de este coeficiente por el nuevo renglón pivote. 20

9 En el ejemplo: debido a que x 2 sustituye a x 4 como variable básica, se necesita reproducir el patron de la primera tabla de coeficientes de la columna de x 4 (0,0,1,0) en la columna de x 2 en la segunda tabla Simplex. Para comenzar, se divide el renglón pivote (renglón 2) entre el numero pivote (2), lo que da el nuevo renglón 2 mostrado en la tabla 5.3. Después se suma al renglón (0) el nuevo renglón (2) multiplicado por 5. Luego se resta del renglón (3) el nuevo renglón (2) multiplicado por 2. Estos cálculos llevan a la nueva tabla Simplex que se muestra en la tabla 5.4. Tabla 5.4. Tabla Simplex después de dividir el primer renglón pivote entre el primer numero pivote y luego de las operaciones con renglones. Así, la nueva solución BF es (0,6,4,0,6), con Z = 30. Prueba de optimalidad: Se debe verificar si la nueva BF es óptima. Como el nuevo renglón (0) todavía tiene un coeficiente negativo (-3) para x 1, la solución no es optima y se necesita por lo menos una iteración mas. Iteración 2: Se siguen las instrucciones de los pasos 1 y 2, se encuentra que x 1 es la variable básica entrante y x 5 es la que sale. Tabla 5.4.: Pasos 1 y 2 de la Iteración 2. Para el paso 3, se divide el renglón pivote (renglón 3) entre el numero pivote 3. Después, se suma al renglón (0) el nuevo renglón 3 multiplicado por 3. Luego, se resta el nuevo renglón 3 del renglón 1. En la tabla 5.5. se tiene ahora la nueva tabla Simplex. 21

10 Tabla 5.5. Tabla Simplex completa y la solución optima obtenida. La nueva solución BF es (2,6,2,0,0) con Z = 36. Al hacer la prueba de optimalidad se encuentra que la solución es optima, porque no hay coeficientes negativos en el renglón (0). Si comparamos esta forma con la algebraica vemos que son similares, pero la forma tabular organiza el trabajo en forma más conveniente. 6. Adaptación a otras formas del modelo. Hasta ahora hemos trabajado con la suposición de que el problema se encuentra en nuestra forma estándar (maximizar Z sujeta a restricciones funcionales de la forma y restricciones de no negatividad sobre todas las variables), con bi 0 para toda i =1,2,...m. Ahora veremos como hacer los ajustes a otras formas requeridas del modelo de programación lineal. Estos ajustes se pueden hacer en el paso inicial, y luego aplicar el resto del método Simplex tal cual como se ha visto Restricciones en forma de igualdad. En estos casos se utilizara la técnica de la variable artificial, que se mostrara con el siguiente ejemplo. Si en el problema de la W Glass, se requiere que la planta 3 se use en toda su capacidad, el único cambio que sufre el modelo es que la tercera restricción, 3x 1 +2x 2 18 se convierta en restricción de igualdad: 3x 1 +2x 2 = 18, con lo cual la región factible es nada mas que el segmento que conecta los puntos (2,6) y (4,3) como se muestra en la figura 4.3. Al introducir las variables de holgura, el problema aumentado nos queda: (0) Z - 3x 1-5x 2 = 0 (1) x 1 +x 3 = 4 (2) 2x 2 +x 4 = 12 (3) 3x 1 +2x 2 = 18 22

11 como en la ecuación (3) no hay variable de holgura para usar como variable básica inicial y obtener la BF inicial, habrá que construir un problema artificial que tenga la misma solución óptima que el problema real. Se aplica la técnica de la variable artificial: se introduce una variable artificial en la ecuación (3) como si fuera una de holgura: (3) 3x 1 +2x 2 + X 5 = 18 Luego se debe cambiar la función objetivo a (0) Z = 3x 1 + 5x 2 MX 5 Donde M representa un número positivo muy grande. (Este método que fuerza a X 5 a llegar hasta cero, se conoce como método de la M). Antes de aplicar el método Simplex, se debe convertir la ecuación (0) en una forma apropiada (se debe eliminar X5 de la ecuación 0). Para hacer esto se resta de la ecuación (0) la ecuación (3) multiplicada por M. Z - 3x 1-5x 2 + MX 5 = 0 -M(3x 1 +2x 2 + X 5 = 18) nuevo renglón (0) Z-(3M+3) x 1 (2M+5) x 2 = -18M Esta ecuación da Z solo en términos de variables no básicas (x 1, x 2 ). A partir de aquí se puede aplicar el método Simplex tal como se ha visto anteriormente Minimizacion. En lugar de cambiar las instrucciones del método Simplex para este caso, se puede convertir de una manera sencilla cualquier problema de minimizacion, en un problema de maximizacion de la siguiente manera: Minimizar Z = c j x j Es equivalente a. Maximizar -Z = (-c j ) x j Las dos formulaciones llevan a la misma solución óptima 6.3. Restricciones funcionales de la forma. Suponemos que tenemos la siguiente restricción: 0.6 x x 2 6 Para manejar eta restricción debemos introducir dos variables: 1) Una variable de superávit X5 definida como X5 = 0.6 x x 2 6 (para convertir la desigualdad en una restricción de igualdad equivalente). 23

12 3) Una variable artificial X6, igual que para las restricciones de igualdad. 0.6 x x 2 X5 + X6 = 6, donde X5 y X6 son 0 Luego para resolverlo se aplica el método de la M. Un tratamiento exhaustivo de estas formas de modelos, se presenta en el texto Investigación de Operaciones, de los autores Hillier and Lieberman. 7. Análisis Posoptimo. El análisis posoptimo es el análisis que se hace después de obtener una solución óptima para la versión inicial del modelo Precios sombra: Los problemas de programación lineal se pueden interpretar como la asignación de recursos a las actividades, en particular cuando las restricciones funcionales son de la forma y las bi (los lados derechos) se interpretaron como la cantidad de los respectivos recursos disponibles para las actividades bajo estudio. En el ejemplo de la W. Glass que venimos desarrollando: Recurso i: capacidad de producción de la planta i (1,2,3) que se proporciona para los dos nuevos productos. bi: horas del tiempo de producción por semana que se proporcionan en la planta i para estos dos nuevos productos. La decisión tentativa inicial (proporcionar una cantidad de tiempo de producción para nuevos productos) sobre los valores de bi ha sido: b 1 = 4, b 2 = 12, b 3 = 18; como se indico en el modelo básico. Ahora la gerencia desea evaluar el efecto de cambiar cualquiera de los valores de las bi. Para realizar esto se definen los precios sombra, que miden la tasa a la que Z puede aumentar si se incrementa (un poco) la cantidad que se proporciona de este recurso. El método Simplex, identifica este precio sombra como el coeficiente de la iesima variable de holgura en el renglón (0) de la tabla Simplex final. De esta manera los precios sombra para nuestro ejemplo son: y 1 * = 0 (precio sobra del recurso 1) y 2 * = 3/2 (precio sobra del recurso 2) y 3 * = 1 (precio sobra del recurso 3) Como estamos trabajando con dos variables de decisión, estos números se pueden verificar gráficamente, si se observa que un incremento individual de 1 en cualquier bi, aumentaría el valor de Z en y i *. Por ejemplo en la figura 7.1 se muestra este incremento para el recurso 2 al volver a aplicar el método gráfico que se presento anteriormente. La solución optima (2,6) con Z = 36, cambia a (5/3, 13/2) con Z = 37.5 cuando b 2 aumenta en 1 (de 12 a 13); de manera que y 2 * = 3/2 = Z =

13 Como Z se expresa en miles de dólares por semana, y 2 * = 3/2 indica que si se agrega una hora mas de tiempo de producción a la semana en la planta 2 para estos nuevos productos, la ganancia total aumentaría en $1500 a la semana. debe hacerse esto?. Depende de la ganancia marginal de otros productos que por el momento usan ese tiempo de producción. Si existe un producto actual que contribuye con menos de $1500 de la ganancia semanal por una hora de producción a la semana en la planta 2, entonces valdría la pena algún cambio en la asignación del tiempo de producción a los nuevos productos. Figura 7.1. La gráfica muestra que el precio sombra es y 2 * = 3/2 para el recurso 2 en el ejemplo. En la misma figura 7.1 puede verse que si b 2 aumentara a más de 18 unidades, la solución óptima se queda en el punto (0, 9) sin que la Z aumente más, por esto es que b 2 debe incrementarse poco. Por otra parte y 1 * = 0, la restricción sobre el recurso 1 (x 1 4), no atan a la solución optima (2,6), o sea no se obtendrá una nueva solución optima con mayor valor para Z. En cambio las restricciones sobre los recursos 2 y 3, 2x 2 12 y 3x 1 + 2x 2 18, son restricciones de atadura (en las que se cumple la igualdad para la solución optima). Debido a que la disponibilidad limitada de estos recursos (b 2 = 12, b 3 = 18) ata a Z para que no pueda incrementarse Análisis de sensibilidad. El propósito principal del análisis de sensibilidad es identificar los parametros sensibles, es decir aquellos que no pueden cambiar sin cambiar la solución óptima. Como se identifican los parámetros sensibles?. En el caso de las b i, esta información esta dada por los precios sombra que proporciona el método Simplex. Cuando y i * > 0, entonces la solución optima cambia si b i lo hace; por lo que b i es un parámetro sensible. Si y i * = 0 la solución optima no es sensible a cambios pequeños de b i. De esta 25

14 manera, si el valor que se utiliza para los b i es una estimación de la cantidad de recurso que se tendrá disponible, los valores de b i que se deberán controlar con sumo cuidado son aquellos precios sombra positivos, en especial aquellos que tengan precios sombra grandes. Cuando el problema tiene dos variables, la sensibilidad de los distintos parámetros se puede analizar con una gráfica. Por ejemplo en la figura 7.2 se puede observar que c 1 = 3 puede cambiar a cualquier valor dentro del intervalo 0 a 7.5 sin que cambie la solución optima (2,6). Esto se debe a que cualquier valor de c 1 dentro de ese intervalo mantiene la pendiente de Z = c 1 x 1 + 5x 2, entre las pendientes de las líneas 2x 2 = 12, y 3x 1 +2x 2 = 18. De la misma manera si c 2 = 5, es el único parámetro que se cambia, puede tomar cualquier valor mayor que 2 sin que afecte a la solución optima. Entonces ni c 1 ni c 2 son parámetros sensibles. Figura 7.2: La gráfica muestra el análisis de sensibilidad de c 1 y c 2 para el ejemplo. Es común que se preste más atención al análisis de sensibilidad de los parámetros b i y c j que a los a ij. La manera mas fácil de analizar la sensibilidad de los aij es verificar si su restricción correspondiente es de atadura en la solución optima. Como x 1 4 no es una restricción de atadura, cualquier cambio suficientemente pequeño en sus coeficientes (a 11 =1, a 12 = 0) no cambiara la solución optima, así que estos no son parámetros sensibles. Por otra parte, tanto 2x 2 12 y 3x 1 + 2x 2 18, son restricciones de atadura, por lo que al cambiar cualquiera de los coeficientes (a 21 = 0, a 22 = 2, a 31 = 3, a 32 = 2) tendrá que cambiar la solución optima y por lo tanto son parámetros sensibles. 26