PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

Transcripción

1 PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

2 Esquema PLs no acotados Necesidad de obtener un vértice inicial o determinar que el PL es no-factible El método Símplex en dos fases Fase I Fase II Ejemplos

3 Detectando PLs no acotados Supongamos que queremos poner la variable x j en la base, con coste reducido negativo: c j < 0 Para determinar quévariablebásica sacar, aplicamos la Regla del Cociente Mínimo: Sacar la variable básica de una fila i con ā ij > 0 que cumpla: { } bi bk =min :ā kj > 0 ā ij ā kj Pero Qué ocurre si ā ij 0 para cada fila i?

4 Detectando PLs no acotados (cont.) Vimos en la Lección 3 que, dada la base B, podemos z =maxc T x reformular el PL sujeto a Ax = b x 0 como el PL equivalente: z = z +max c T Nx N sujeto a x B + Ā Nx N = b x B 0, x N 0

5 donde A = [ B ] N y Ā = B 1 A = [ I ] B 1 N, b = B 1 b 0, c T N = c T BB 1 N c T N z = c T BB 1 b = c T B b Nota: c T = c T B B 1 A c T = c T BĀ ct

6 Detectando PLs no acotados (cont.) Supongamos que queremos poner la variable x j en la base, con coste reducido negativo: c j < 0 Supongamos que ā ij 0 para cada fila i : ā j 0 Construimos la siguiente familia paramétrica de soluciones factibles para el PL equivalente: para cada parámetro λ>0, tomamos x j (λ) =λ, x B (λ) = b λā j y x k (λ) =0 para las demás variables El valor del objetivo en x(λ) es: z(λ) =c T x(λ) = z c j x j (λ) = z c j λ + cuando λ + Por tanto, el PL es no acotado: z =+

7 Ejemplo Consideremos la tabla Símplex de un PL: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 LD x x x x z e Esta tabla nos indica que el PL es no acotado. Por qué?

8 Construir una familia x(λ): λ>0 de soluciones factibles, cuyo valor z(λ) tienda a + cuando λ + Variable que entraría en la base: x 4,con c 4 = 1 < 0 Definimos x(λ) por: x 4 (λ) =λ y x B = x 2 x 5 x 3 x 1 = b λā 4 = λ z(λ) = z c j λ = λ + cuando λ +

9 Vértices iniciales; no factibilidad El método Símplex parte de un vértice (SBF) inicial En algunos PLs (en formato estándar, con b 0 )es sencillo identificar una SBF inicial: cuando la matrix A contiene una submatriz identidad B = I Pero, en general, no es evidente cómo hacerlo Necesitamos un procedimiento para: obtener una SBF inicial, si existe una; o, si no, determinar que el PL es no-factible Daremos tal procedimiento: La Fase I del método Símplex

10 Fase I del método Símplex Consideremos un PL en formato estándar, con x =(x 1,...,x n ) T, A =(a ij ) m n, b 0 : z =maxc T x = c 1 x c n x n sujeto a Ax = b x 0 Pregunta 1: Es el PL factible? Pregunta 2: Si es factible, Cómo construir una SBF inicial?

11 El PL-Fase I Suponemos que la matriz A no contiene una submatriz identidad (si la contuviera, la tomaríamos como base inicial) Si es posible, identificamos algunas columnas a j1,...,a jm k de A que puedan formar parte de una submatriz identidad Aumentamos A con las columnas auxiliares necesarias a n+1,...,a n+k para completar una submatriz identidad Añadimos las correspondientes variables auxiliares x n+1,...,x n+k 0 Tomamos como base inicial la matriz identidad obtenida El objetivo del PL-Fase I es minimizar la suma de las variables auxiliares, para eliminarlas si es posible

12 El método Símplex en dos fases El objetivo del PL-Fase I es minimizar la suma de las variables auxiliares, paraeliminarlas si es posible Resolvemos con el método Símplex el PL-Fase I Caso 1: Si el objetivo mínimo del PL-Fase I es positivo: el PL original no es factible Por qué? Caso 2: Si el objetivo mínimo del PL-Fase I es cero: el PL original es factible En el caso 2: utilizamos la SBF final del PL-Fase I (que no ha de contener variables auxiliares) como SBF inicial del PL original (PL-Fase II), y aplicamos a éste el método Símplex Éste es el Método Símplex en dos fases

13 Ej.: Método Símplex en dos fases Consideremos el PL z =maxx 1 + x 2 + x 3 sujeto a x 1 + x 2 + x x 3 5 x 1 + x 2 + x 3 =0 2x 1 x 2 +2x 3 =0 x 1,x 2,x 3 0 Es factible?

14 Reformulamos el PL en formato estándar z =maxx 1 + x 2 + x 3 sujeto a x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 100 x 3 + x 5 =5 x 1 + x 2 + x 3 =0 2x 1 x 2 +2x 3 =0 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 0

15 En notación matricial, con x =(x 1,...,x 5 ) T : z =max(1, 1, 1, 0, 0)x sujeto a x = x No es evidente qué baseinicial B de A seleccionar La matrix A no contiene una submatriz identidad

16 Aumentamos la matriz A con las columnas necesarias para que contenga una submatriz identidad, añadiendo las variables auxiliares no-negativas correspondientes Después, tratamos de eliminar esas variables auxiliares resolviendo el PL-Fase I, cuyo objetivo es minimizar la suma de las variables auxiliares

17 En el ejemplo, añadimos variables auxiliares x 6,x 7,x 8. Con ˆx =(x 1,...,x 5,x 6,x 7,x 8 ) T,elPL-Fase I es: z I =max x 6 x 7 x 8 sujeto a ˆx 0 ˆx = Seleccionamos como variables básicas iniciales: x 6,x 5,x 7,x 8. Por qué? Cuál es la base ˆB inicial?

18 Calculamos los costes reducidos c =( c j ) correspondientes a la base seleccionada. Cómo? Denotamos por  la matriz de coeficientes ampliada, y por ĉ =(ĉ j ) el vector de coeficientes del objetivo auxiliar: ĉ =(ĉ 1,...,ĉ 5, ĉ 6, ĉ 7, ĉ 8 )=(0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) Aplicamos la identidad (ver Lección 3) c =(ĉ 6, ĉ 5, ĉ 7, ĉ 8 ) ˆB 1  ĉ =(ĉ 6, ĉ 5, ĉ 7, ĉ 8 ) ĉ

19 La tabla Símplex inicial para el PL-Fase I es: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e

20 Seleccionamos el primer pivote: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e

21 Tras el primer pivotaje, obtenemos la tabla: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e Observación: el objetivo no ha aumentado: Por qué?

22 Elegimos el siguiente pivote: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e Aumentará el objetivo al pivotar?

23 Tras el segundo pivotaje, obtenemos la tabla: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD 3 x x x x z e

24 Elegimos el siguiente pivote: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD 3 x x x x z e Aumentará el objetivo al pivotar?

25 Tras el tercer pivotaje, obtenemos la tabla: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e Esta tabla Símplex es óptima El objetivo óptimo del PL-Fase I es: z I = 100 e 0 Conclusión: El PL original no es factible

26 Otro ejemplo Consideremos el PL z =maxx 1 + x 2 + x 3 sujeto a x 1 + x 2 + x x 3 5 x 1 + x 2 + x 3 =0 x 1 x 2 + x 3 =0 x 1,x 2,x 3 0 Es factible? Si lo fuese, con qué baseempezar?

27 Reformulamos el PL en formato estándar z =maxx 1 + x 2 + x 3 sujeto a x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 100 x 3 + x 5 =5 x 1 + x 2 + x 3 =0 x 1 x 2 + x 3 =0 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 0

28 En el ejemplo, añadimos variables auxiliares x 6,x 7,x 8. Con ˆx =(x 1,...,x 5,x 6,x 7,x 8 ) T,elPL-Fase I es: z I =max x 6 x 7 x 8 sujeto a ˆx 0 ˆx = Seleccionamos como variables básicas iniciales: x 6,x 5,x 7,x 8. Por qué?

29 Calculamos los costes reducidos c =( c j ) correspondientes a la base seleccionada. Cómo? Denotamos por  la matriz de coeficientes ampliada, y por ĉ =(ĉ j ) el vector de coeficientes del objetivo auxiliar: ĉ =(ĉ 1,...,ĉ 5, ĉ 6, ĉ 7, ĉ 8 )=(0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) Aplicamos la identidad (ver Lección 3) c =(ĉ 6, ĉ 5, ĉ 7, ĉ 8 ) ˆB 1  ĉ

30 La tabla Símplex inicial para el PL-Fase I es: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e

31 Seleccionamos el primer pivote: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e

32 Tras el primer pivotaje, obtenemos la tabla: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e

33 Seleccionamos el segundo pivote: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e

34 Tras el segundo pivotaje, obtenemos la tabla: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e

35 Seleccionamos el tercer pivote: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e

36 Tras el tercer pivotaje, obtenemos la tabla: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 LD x x x x z e Fin de la Fase I (tabla óptima): como z I =0, el PL original es factible A partir de esta tabla, construimos la tabla inicial del PL original, con variables básicas x 2,x 5,x 3,x 1

37 Comenzamos la Fase II, con tabla Símplex inicial: VB x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 LD x x x x z e Hemos eliminado las variables auxiliares x 6,x 7,x 8 Esta tabla nos indica que el PL original es no acotado

38 Cómo hemos calculado los costes reducidos c =( c j ) correspondientes a la base seleccionada? Denotamos por c =(c j ) el vector de coeficientes del objetivo original: c =(c 1,...,c 5 )=(1, 1, 1, 0, 0) Aplicamos la identidad (ver Lección 3) c =(c 2,c 5,c 3,c 1 )B 1 A c =(c 2,c 5,c 3,c 1 )Ā c