Optimización combinatoria Flujo en redes. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

Transcripción

1 Optimización combinatoria Flujo en redes Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

2 Esquema Optimización combinatoria: definición y formulación de PE El problema de la mochila; desigualdades válidas El problema de asignación La propiedad de integralidad El problema del transporte Problemas de flujo en redes El problema del flujo de coste mínimo El problema de la ruta más corta El problema del flujo máximo

3 Optimización combinatoria (OC): definición Una amplia variedad de problemas de interés en aplicaciones se pueden representar de la siguiente forma Tenemos un conjunto finito E = {1,...,n} Acadaelemento e E le corresponde un coste: c e e Dada: familia F 2 E de subconjuntos factibles de E Problema de optimización combinatoria (OC): encontrar un subconjunto factible F F de coste mínimo: (PC) z =min c e : F F j F

4 Formulación de programación entera Dado un problema de OC { (PC) z =min e F c e : F F } el enfoque moderno de resolución se basa en formularlo como un programa entero binario Asociamos a cada F F x F (x F e ) e E, con x F e = su vector de incidencia 1 si e F 0 en otro caso El conjunto de vectores de incidencia factibles es: S { x F : F F } {0, 1} E

5 Formulación de programación entera Definimos variables de decisión binarias: para e E, 1 si se selecciona el elemento e x e = 0 en otro caso Reformulamos (PC) como el programa entero binario (PE) z =min { e E c e x e : x S } Buscaremos representar el conjunto de soluciones factibles S mediante restricciones lineales

6 Ej: elproblemadelamochila Propuestas de proyectos: E = {1,...,n} Presupuesto total: b e Retorno esperado del proyecto e : c e e Inversión requerida por el proyecto e : a e e Problema: seleccionar un conjunto de proyectos que maximice el retorno sin superar el presupuesto

7 Ej: Formulación de OC Familia de subconjuntos factibles de proyectos: F = { F 2 E : e F a e b } Formulación de OC: (PC) z =max { e F c e : F F }

8 Ej: formulación de PE Variables de decisión: 1 si se selecciona el proyecto e x e = 0 en otro caso Objetivo: max n c e x e e=1 Restricciones: ( 1 restricción!) n presupuesto: a e x e b e=1 variables binarias: x e {0, 1}, e =1,...,n

9 Ej: Problema de la mochila, con n =5 Formulación de PE: (PE) z =max2x 1 +5x 2 +5x 3 + x 4 +8x 5 sujeto a 79x 1 +53x 2 +53x 3 +45x 4 +45x x e {0, 1}, e E Relajación lineal: (PL) z PL =max2x 1 +5x 2 +5x 3 + x 4 +8x 5 sujeto a 79x 1 +53x 2 +53x 3 +45x 4 +45x x e 1, e E

10 Ej: resolviendo la relajación lineal Relajación lineal: (PL) z PL =max2x 1 +5x 2 +5x 3 + x 4 +8x 5 sujeto a 79x 1 +53x 2 +53x 3 +45x 4 +45x x e 1, e E Solución de (PL) : z PL =18.63, con x PL =(0.34, 1, 1, 0, 1) T Cómo reforzar la formulación? Qué desigualdades válidas podemos añadir?

11 Ej: encontrando desigualdades válidas A la vista de las restricciones 79x 1 +53x 2 +53x 3 +45x 4 +45x x e {0, 1} es claro que las siguientes son desigualdad válidas: D {1,2,3} : x 1 + x 2 + x 3 2, D {2,3,4,5} : x 2 + x 3 + x 4 + x 5 3 Por qué? Comprobamos si son violadas por la solución de (PL) : D {1,2,3} : x PL 1 + x PL 2 + x PL 3 =2.34 > 2: sí D {2,3,4,5} : x PL 2 + x PL 3 + x PL 4 + x PL 5 =3 3: no Reforzaremos las formulaciones (PE), (PL) con D {1,2,3}

12 Ej: reforzando la formulación Reforzamos la formulación (PE) añadiendo la desigualdad válida violada (D 1,2,3 ) : obtenemos la formulación reforzada (PE ),conrelajación lineal (PL ) z PL =max2x 1 +5x 2 +5x 3 + x 4 +8x 5 sujeto a 79x 1 +53x 2 +53x 3 +45x 4 +45x D {1,2,3} : x 1 + x 2 + x x e 1 Solución de (PL ) : z PL =18.6 < = z PL, con x PL =(0, 1, 1, 0.6, 1) T

13 Ej: reforzando la formulación Viola x LP la desigualdad válida D {2,3,4,5}? D {2,3,4,5} : x PL 2 + x PL 3 + x PL 4 + x PL 5 =3.6 > 3: sí Reforzamos las formulaciones (PE ), (PL ) con D {2,3,4,5} : obtenemos la formulación entera (PE ),conrelajación lineal (PL )

14 Ej: reforzando la formulación Reforzamos (PE ), (PL ) con D {2,3,4,5} : obtenemos la formulación entera (PE ),conrelajación lineal (PL ) : (PL ) z PL =max2x 1 +5x 2 +5x 3 + x 4 +8x 5 sujeto a 79x 1 +53x 2 +53x 3 +45x 4 +45x D {1,2,3} : x 1 + x 2 + x 3 2 D {2,3,4,5} : x 2 + x 3 + x 4 + x x e 1 Solución de (PL ) : z PL =18<z LP =18.6 < = z LP, con x LP =(0, 1, 1, 0, 1) T

15 Se sigue que x LP =(0, 1, 1, 0, 1) T es la solución entera buscada. Por qué?

16 El problema de asignación Hay n personas disponibles para realizar n tareas Cada persona ha de ser asignada a una tarea, y viceversa Coste de asignar la persona i alatarea j : c ij e Problema: encontrar una asignación con coste mínimo

17 Representación gráfica (grafo) Muchos problemas de OC se representan mediante grafos Grafo G =(N, E) : conjunto de nodos N, y conjunto de arcos E N N Ejemplo de asignación: personas 1 tareas

18 Formulación de OC Conjunto de nodos: N = {1,...,n} Representamos una asignación individual por un arco orientado e =(i, j) : persona i tarea j Conjunto de elementos (arcos) deinterés: E {e =(i, j) N N : 1 i, j n} Coste del elemento/asignación individual e =(i, j) : c ij e Familia de subconjuntos factibles: F { F 2 E : los arcos (i, j) F dan una asignación válida }

19 Familia F Familia de subconjuntos factibles: F { F 2 E : los arcos (i, j) F dan una asignación válida } De forma más expĺıcita: F = {F = {(1,j 1 ), (2,j 2 ),...,(n, j n )} :(j 1,...,j n ) Π n }, donde Π n es el conjunto de permutaciones de N {1,...,n} Número de subconjuntos factibles: F = n! (ej: 70! ) No podemos resolver el problema por enumeración completa, salvo para valores pequeños de n Ejemplo de: explosión combinatoria

20 Formulación de PE Variables de decisión: ( n 2 variables) 1 si se asigna la persona i alatareaj x ij = 0 en otro caso n n Objetivo: min c ij x ij i=1 j=1 Restricciones: ( 2n restricciones) la persona i a una tarea: una persona a la tarea j: n x ij =1, i =1,...,n j=1 n x ij =1, i=1 x ij {0, 1}, j =1,...,n

21 Ej: representación gráfica personas tareas 1 x 13 =1 x 21 = x 32 =1 3

22 Integralidad: Formulación completa de PL La relajación de PL es: n n z PL =min c ij x ij i=1 j=1 sujeto a n x ij =1, i =1,...,n j=1 n x ij =1, i=1 j =1,...,n x ij 0, 1 i, j n Esta formulación tiene la propiedad de integralidad: la solución de la relajación lineal es entera Tenemos una formulación completa

23 Problemas de flujo en redes Clase de modelos de OC muy importante en aplicaciones Modelos para el transporte de productos através de una red de distribución Los problemas clásicos de flujo en redes se pueden resolver como programas lineales: tiene la propiedad de integralidad

24 El problema del transporte (PT) Nodos origen: M = {1,...,m} (e.g. fábricas) Nodos destino: N = {1,...,n} (e.g. tiendas) a i : oferta (# de unidades) en el origen i M b j : demanda (# de unidades) en el destino j N Suponemos que i a i j b j. Por qué? c ij e : coste de transporte/unidad en el arco (i, j) Conjunto de arcos: E = M N Problema: Encontrar un plan de transporte de coste mínimo

25 PT: Representación gráfica origen arcos destino a 1 1 c 11 x 11 oferta a b 1 demanda 2 b 2 a 3 3

26 PT: formulación de programación entera Variables de decisión: ( mn variables) x ij = # de unidades transportadas del origen i al destino j Objectivo: z =min i M c ij x ij j N Restricciones: ( m + n restricciones) * Oferta en el origen i : x ij a i, i M j N * Demanda en el destino j : x ij b j, j N i M * No-negatividad & integralidad: x ij 0, (i, j) E y entera

27 PT: propiedad de integralidad El problema del transporte tiene la propiedad de integralidad Proposición: Si las ofertas a i y las demandas b j son enteras, entonces la solución óptima de la relajación lineal del problema del transporte es entera La formulación dada es completa

28 Problema: flujo de coste mínimo (PFCM) Encontrar un plan de transporte de coste mínimo para un producto en una red de suministro: grafo G =(N, E) N : conjunto de nodos; E N N : conjunto de arcos c ij : coste (e) por unidad transportada por el arco (i, j) b i : oferta neta en el nodo i ;es: > 0 en nodos origen (oferta: b i ) =0 en nodos intermedios < 0 en nodos destino (demanda: b i ) Suponemos que: demanda total = oferta total, es decir: i N b i =0

29 l ij : ĺımite inferior en el flujo por el arco (i, j) u ij : ĺımite superior en el flujo por el arco (i, j)

30 PFCM: representación gráfica b 1 = 100 b 4 = c 14 =1 e (l 14,u 14 )=(50, 80) 4 e b 3 = e (70, 120) 2 e (50, 120) 3 e e 2 e 4 e b 6 = b 2 = e 5 b 5 = 80

31 PFCM: formulación de programación entera Variables de decision: x ij = # de unidades (flujo) transportadas por el arco (i, j) E Objectivo: z =min (i,j) E c ij x ij Restricciones: Capacidad superior (flujo/arco): x ij u ij, (i, j) E Capacidad inferior (flujo/arco): x ij l ij, (i, j) E Balance de flujo: x ij x ji = b i, i N j :(i,j) E j :(j,i) E No negatividad e integralidad: x ij 0 yentera

32 PFCM: ecuaciones de balance del flujo Restricciones fundamentales Dado un nodo i N : flujo hacia fuera del nodo i : j :(i,j) E flujo hacia dentro del nodo i : j :(j,i)e x ij x ji oferta neta del noto i : b i Ecuación de balance del flujo para el nodo i : flujo hacia fuera - flujo hacia dentro = oferta neta, i.e. x ij x ji = b i j :(i,j) E j :(j,i) E

33 PFCM: propiedad de integralidad El PFCM tiene la propiedad de integralidad Proposición: Si las ofertas netas b i y las capacidades l ij,u ij, son enteras, entonces la solución óptima de la relajación lineal del PFCM es entera La formulación dada es completa

34 PFCM: formulación de PE (ejemplo) z =minc 12 x 12 + c 13 x 13 + c 14 x 14 + c 23 x 23 + c 25 x 25 + c 34 x 34 + c 35 x 35 + c 46 x 46 + c 56 x 56 sujeto a nodo 1:x 12 + x 13 + x 14 = b 1 nodo 2:x 23 + x 25 x 12 = b 2 nodo 3:x 34 + x 35 x 13 x 23 = b 3 nodo 4:x 46 x 14 x 34 = b 4 nodo 5:x 56 x 23 x 35 = b 5 x ij u ij x ij l ij x ij 0 yentera

35 PFCM: formulación con vectores/matrices Representamos las ecuaciones de balance del flujo (EBF) vía la matriz de incidencia nodo-arco A =(a ie ) i N,e E : a ie = 1 si e =(i, j) para algún nodo j 1 si e =(j, i) para algún nodo j 0 en otro caso Escribiendo como vectores columna x =(x ij ) (i,j) E, b =(b i ) i N, las EBF son: Ax = b Escribimos también como vectores columna c =(c ij ) (i,j) E, l =(l ij ) (i,j) E, u =(u ij ) (i,j) E

36 Matriz de incidencia nodo-arco (ejemplo) Matriz A : nodo\arco x 12 x 13 x 14 x 23 x 25 x 34 x 35 x 46 x

37 Algoritmos generales o especializados Como el PFCM se puede formular como un programa lineal, podemos resolverlo con algoritmos generales para PL: Símplex Al aplicar, e.g., el método Símplex, se explota la estructura especial para desarrollar algoritmos especializados, que son más eficientes

38 El problema de la ruta más corta (PRC) Dada: una red de transporte: grafo G =(N, E) c ij = distancia correspondiente al arco e =(i, j) E N = n nodos; nodo s : origen; nodo t : destino Problema: Cuál es la ruta más corta (o rápida) para ir del origen al destino? Es un caso especial del PFCM Definimos b : b s =1, b t = 1, b i =0 para i N \{s, t} Los parámetros u, l del PFCM no son necesarios La propiedad de integralidad garantiza que la solución de la relajación lineal tendrá x ij {0, 1}, dando una ruta óptima

39 PRMC: representación gráfica b 1 =0 1 c 14 =1 b 4 =0 4 4 b 3 = b 6 = 1 2 b 2 =1 6 5 b 5 =0

40 El problema del flujo máximo (PFM) Red de transporte (grafo) G =(N, E) Nodo origen: s ;nododestino: t d ij : capacidad máxima de transporte por el arco (i, j) E Problema: encontrar el plan de transporte que maximiza el flujo transportado de s a t El flujo máximo es la capacidad de la red

41 PFM: representación gráfica (ejemplo) d 12 =

42 PFM: formulación de programación entera Variables de decisión: x ij = flujo en el arco (i, j) E Objetivo: z =max x sj (flujo fuera de s ) j N :(s,j) E Restricciones: Capacidad: x ij d ij, (i, j) E Balance del flujo: x ij j N :(i,j) E j N :(j,i) E x ji =0, i N \{s, t} x ij 0 yentera, (i, j) E

43 PFM: propiedad de integralidad El PFM tiene la propiedad de integralidad Proposición: Si las capacidades d ij son enteras, entonces la solución óptima de la relajación lineal del PFM es entera La formulación dada es completa