Tema V: Optimización Lineal

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1 Tema V: Optimización Lineal Omar J. Casas López Diciembre Algoritmo Simplex El objetivo del Algoritmo Simplex consiste en que partiendo de una Solución Factible Básica inicial, encontrar otra que mejore la Función Objetivo. Problema: min z = c t x s.a. Ax = b donde: x 0 A m n ; r(a) = m; b R m ; c R n Cualquier punto del conjunto S = {x : Ax = b, x 0} es una combinación lineal convexa de sus puntos extremos, más una combinación lineal positiva de sus direcciones extremas. Teorema de Existencia de Soluciones Sean x 1, x 2,..., x k los puntos extremos del conjunto S y sean d 1, d 2,..., d l sus direcciones extremas. Entonces existe solución óptima finita x S si y sólo si: c t d j 0 j = 1, 2,..., l Demostración Por el Teorema de Representación se puede enunciar el problema de Programación Lineal del siguiente modo equivalente: min z = c t x k s.a. x = λ i x i + i=1 1 l µ j d j j=1

2 donde: λ i 0, i = 1, 2,..., k µ j 0, j = 1, 2,..., l k λ i = 1 i=1 Suponemos que existe un j tal que c t d j < 0 c t x = k l λ i c t x i + µ j c t d j i=1 j=1 donde: λ j 0, j = 1, 2,..., k µ j 0, j = 1, 2,..., l k λ j = 1 j=1 Como el primer sumando siempre es acotado y el segundo tiende a cuando µ j tiende a, entonces no hay solución óptima finita, por tanto tiene que cumplirse que: c t d j 0 se cumple entonces que existe un óptimo finito y se alcanza en un punto extremo, porque: k l c t x = λ i c t x i + µ j c t d j i=1 para que sea mínimo hacemos µ j = 0 para todos los j, y λ i = 0 para todos los i excepto aquel i en que el producto escalar c t x i es mínimo, sea λ i = 1, luego: c t x i = min c t x i i = 1, 2,..., k Es decir que x i j=1 es la solución del problema. Teóricamente podríamos calcular todos los z j = c t x j, para cada uno de los x j puntos extremos y elegir aquel x j que haga mínimo el producto, para resolver el problema, pero esto puede resultar muy complicado y largo, salvo casos muy simples, este método no es operativo, ya que el número de puntos extremos puede ser muy grande. 2

3 1.1 Algoritmo del Método SIMPLEX Es un método sistemático para pasar de un punto extremo a otro de tal manera que se mejore la función objetivo. Como los puntos extremos están caracterizados por una base B, el método consiste en hacer un cambio de base B ˆB, de forma que el punto extremo correspondiente a la nueva base sea mejor que el anterior, las dos bases se diferencian en un único vector de modo que las operaciones necesarias para realizar el cambio de base sean relativamente sencillas. Partimos de una solución factible básica inicial, o punto extremo x = (x B1,..., x Bm, 0,..., 0) t inicial asociado a la base B = (a B1,..., a Bm ). x = (x B, x N ) t = (B 1 b, 0) t En muchos casos la obtención de esta solución inicial puede ser inmediata, esto sucede cuando la submatriz B es unitaria, B = I m. El valor de la función objetivo que le corresponde a x es: z = c t x = c t BB 1 b Sea x = (x B, x N ) t un punto factible cualquiera: Ax = b Bx B + Nx N = b x B = B 1 b B 1 Nx N El valor de la función objetivo para x es: z = c t x = c t BB 1 b c t BB 1 Nx N + c t Nx N = z [c t BB 1 N c t N]x N Sea I el conjunto de índices correspondientes a las columnas de la submatriz básica B y sea J el conjunto de los índices correspondientes a la submatriz no básica N. z = z j J [z j c j ]x j Observación: donde z j = c t BB 1 a j = c t By j y j = B 1 a j a j = By j = y 1j a B y mj a Bm Es decir, y j es el vector de coordenadas de la columna no básica a j respecto a la base B. 3

4 1. Supongamos que z j c j 0 para todos los j J, FIN, la solución considerada x es óptima. 2. Existen variables no básicas j tales que z j c j > 0, entonces es posible mejorar la función objetivo cambiando de base, vamos a pasar de: x t = (x B1,..., x Bm, 0,..., 0) t = (B1 1 b 1,..., Bm 1 b m, 0,..., 0) t a un nuevo punto extremo: con λ > 0 ˆx t = (x B1,..., x Bm, 0,..., λ,..., 0) t Para hacer mínima la función objetivo, nos interesa aumentar aquella variable no básica para la cual z j c j sea máxima. Sea k tal que: z k c k = max j J {z j c j : z j c j > 0} Criterio de Entrada en la Base: Entra aquella variable k tal que: z k c k z j c j j J : z j c j > 0 Sea : ẑ = z (z k c k )λ = z (c t By k c k )λ Hay que aumentar λ tanto como sea posible de forma que no salgamos del conjunto factible. ˆx B = B 1 b B 1 Nλe k = B 1 b λb 1 a k = B 1 b λy k ˆx N = λe k ˆx = x + λ( y k, e k ) t 0 ẑ = c tˆx = z (c t By k c k )λ (a) Sea el vector y k 0 para los j J 1, siendo J 1 = {j J : z j c j > 0} entonces podemos aumentar λ de manera indefinida, mejorando la función objetivo y sin salir del conjunto de soluciones factibles, por tanto no existe solución óptima finita: FIN. Observación: En este caso el vector d es proporcional al vector ( B 1 a k, e k ) t, como B 1 a k 0, entonces es una dirección extrema, tal que c t d = zk + c k < 0 y no se cumple la condición necesaria y suficiente de existencia de soluciones óptimas finitas. 4

5 (b) Si y k 0, para que x sea factible debe ocurrir que: x B = B 1 b λy k 0 λ B 1 b i y ik i = 1, 2,..., m el mayor valor de λ que podemos tomar es: { } B 1 b i λ = min : y ik > 0 = B 1 b r i=1,...,m y ik y rk el nuevo punto extremo es: es decir, ˆx = x + B 1 b r ( y k, e k ) t y rk ˆx Bi = B 1 b i B 1 b r y rj y ij i = 1, 2,..., m ˆx k = B 1 b r y rj x j = 0 j k Note que la variable x Br ha salido de la base: ˆx Br = B 1 b r B 1 b r y rj y rj = 0 Criterio de Salida de la Base: Sale la variable Br tal que: { } B 1 b r B 1 b i = min : y ik > 0 y rk i=1,...,m y ik ALGORITMO 1. Determinar una solución factible básica inicial, sea I el conjunto de subíndices de las columnas de la matriz A pertenecientes a la submatriz B, y J = {1, 2,..., n} \ I. 2. Calcular los y j y los z j c j para todos j J. 3. Analizar los signos de los z j c j para todos j J. (a) Si z j c j 0 para todos los j J, FIN, la solución considerada x es óptima. 5

6 (b) Considerar el conjunto J 1 = {j J : z j c j > 0} 4. Analizar los vectores y j para los j J 1 : (a) En caso contrario, determinar k mediante la siguiente relación llamada Criterio de Entrada: z k c k = max j J {z j c j } y determinar l, por la relación llamada Criterio de Salida: { } x l xs = min y lk s/y sk >0 (b) Si para todo j J 1 se cumple que y j 0, FIN, no hay óptimo finito. 5. Considerar la nueva base B = B {a k } \ {a l }, siendo y lk el pivote, actualizar la tabla utilizando las siguientes fórmulas: { y y j = sj = y sj y sky lj y lk s I s l y lj = y lj y lk volver al paso 3. Ejemplo: Expresado en forma estándar: Solución factible básica inicial: max z = 3x 1 + x 2 + 2x 3 2x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 6 x 1 0; x 2 0; x 3 0 y sk min z = 3x 1 x 2 2x 3 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 5 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 6 = 6 x i 0 x = (0, 0, 0, 2, 5, 6) t B = (a 4, a 5, a 6 ) z = 0 6 i

7 Criterio de Entrada: z 1 c 1 = 3 z 2 c 2 = 1 z 3 c 3 = 2 Cualquiera de las tres variables que se seleccione, la función objetivo va a mejorar, pero en este caso seleccionamos a la variable x 1 para que entre en la base, y el vector asociado y 1 = (2, 1, 2) t > 0. Criterio de Salida: { 2 min 2, 5 1, 6 } = que corresponde a la variable x 4, por tanto es la que sale de la base. Pivoteo: seleccionamos como pivote a y 11 = 2 0, al efectuar el pivoteo, el sistema resultante es: x x x x 4 = x x x 4 + x 5 = 4 x 2 x 4 + x 6 = 4 x i 0 y la nueva solución factible básica es: i ˆx = (1, 0, 0, 0, 4, 4) t ẑ = 3 Para determinar si ya hemos llegado a la solución óptima o para detectar que variable entra en la base hay que calcular los nuevos valores de ẑ j ĉ j para j = 2, 3, Tabla del Método Simplex Para efectuar el paso del pivoteo en el algoritmo del método Simplex, necesitamos los siguientes elementos: 1. Los vectores y j que son las coordenadas de cada columna de la matriz A respecto a la base actual B. 2. Las coordenadas del vector de los términos independientes b respecto a la base actual B. 3. Los correspondientes valores de z j c j para las variables no básicas. 7

8 Los elementos anteriores se disponen en forma de tablas, de la siguiente manera: c j c 1 c 2... c k... c n c B x B x = y 0 y 1 y 2... y k... y n c B1 x B1 x B1 y 11 y y 1k... y 1n c B2 x B2 x B2 y 21 y y 2k... y 2n c Bl x Bl x Bl y l1 y l2... y lk... y ln c Bm x Bm x Bm y m1 y m2... y mk... y mn z j c j z z 1 c 1 z 2 c 2... z k c k... z n c n La primera fila contiene el vector de costes c j o coeficientes de la función objetivo. La segunda fila es informativa, sólo para saber a que variable corresponde cada columna. Las filas 3 a m + 2 corresponden a cada una de las variables de la base, con las columnas y j correspondientes a las variables básicas y no básicas. La última fila contiene los valores de z j c j de cada iteración. Ejemplo: Expresado en forma estándar: max z = 4x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 2 x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1 0; x 2 0 min z = 4x 1 3x 2 x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 + 2x 2 + x 4 = 6 2x 1 + x 2 + x 5 = 6 x i 0 La tabla inicial del algoritmo Simplex, correspondiente a la base inicial B = (a 3, a 4, a 5 ) es: i 8

9 c j c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 0 x x x z j c j Entra en la base x 1, y sale x 5, por tanto el pivote es 2, efectuando el pivoteo, obtenemos la nueva tabla: c j c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 y x x x z j c j Ahora entra en la base x 2 y sale x 4, obteniendo: c j c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 0 x x x z j c j La solución óptima es x = (2, 2, 2, 0, 0), suprimiendo las variables de holgura queda x = (2, 2) 2 Método de las dos Fases Es un método que se utiliza para: - Detectar si el conjunto de soluciones factibles es o no vacío. - Comprobar si r(a) = m ó si r(a) = k < m. - Encontrar, de manera automática, una solución básica inicial. Supongamos que no resulta inmediato obtener una submatriz B de rango completo en el sistema Ax = b; x 0, podemos añadir unas variables artificiales x a R m cuyos coeficientes sean la matriz identidad de rango m: Ax + Ix a = b x 0; x a 0 9

10 Es importante diferenciar las variables de holgura de las variables artificiales, las restricciones siguientes son equivalentes: Ax b; x 0 Ax + Ix h = b; x 0; x h 0 Sin embargo, las dos siguientes no son equivalentes: Ax = b; x 0 Ax + Ix a = b; x 0; x a 0 Consideremos el problema artificial siguiente: [P.A.] min w = e t x a min z = c t x s.a. Ax + Ix a = b x 0; x a 0 siendo e = (1, 1,..., 1) t R m, note que [P.A.] es un problema expresado en forma estándar y para el cual x = 0, x a = b, con B = I, es una Solución Factible Básica inicial obvia. Si al resolver [P.A.] resulta una solución en la cual x a 0, entonces no hay ningún punto factible para el problema [P ]. Si x a = 0, las variables artificiales habrán salido de la base en la mayoría de los casos y habremos obtenido una base inicial para el problema original, salvo en el caso de soluciones degeneradas. Método de las Dos Fases: 1. Primera Fase resolver: [P.A.] min w = e t x a s.a. Ax + Ix a = b x 0; x a 0 2. Segunda Fase, tomando como base inicial, la base óptima de la Fase 1 resolver: min z = c t x s.a. Ax = b x 0 Al finalizar la Primera Fase podemos tener dos casos: 10

11 1. que w = 0 y no hay variables artificiales en la base, o si hay variables artificiales en la base tienen valor 0 y los w j t j 0, entonces hay Solución Factible Básica y pasamos a la Segunda Fase, con la última tabla obtenida en la Primera, cambiando los w j t j por los correspondientes z j c j. 2. que w > 0, hay variables artificiales positivas en la base y w j t j 0, entonces no hay solución. Ejemplo: min z = 4x 1 + x 2 + x 3 s.a. 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 4 3x 1 + 3x 2 + x 3 = 3 x 1 0; x 2 0; x 3 0 Expresado en forma estándar, añadiéndole las variables artificiales x a 1 y x a 2, tenemos el problema: min z = x a 1 + x a 2 s.a. 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x a 1 = 4 3x 1 + 3x 2 + x 3 + x a 2 = 3 x i 0 x a i 0 i La tabla inicial del método Simplex, correspondiente a la Primera Fase con base inicial B = (a a 1, a a 2) es: t j t B x B x y 1 y 2 y 3 y a 1 y a 2 1 x a x a w j t j Entra en la base x 1, y sale x a 2, por tanto el pivote es 3, efectuando el pivoteo, obtenemos la nueva tabla: t j t B x B x y 1 y 2 y 3 y1 a y2 a 1 x a x w j t j Ahora entra en la base x 3 y sale x a 1, obteniendo: 11

12 t j t B x B x y 1 y 2 y 3 y1 a y2 a x x w j t j La solución óptima de la primera fase es x = ( 1, 0, 3, 0, 0), suprimiendo 2 2 las variables artificiales queda x = ( 1, 0, 3 2 2), con w = 0, podemos pasar a la Segunda Fase, partiendo de la última tabla obtenida. c j c B x B x y 1 y 2 y 3 1 x x z j c j 0 2 Entra en la base x 2, y sale x 1, por tanto el pivote es 5, efectuando el 4 pivoteo, obtenemos la nueva tabla: c j c B x B x y 1 y 2 y x x z j c j La solución óptima del problema es x = ( 0, 2, 9 5 5), y el valor de la función objetivo queda z = Método de Penalidades o Big M Al igual que el Método de las Dos Fases, se utiliza cuando no tenemos en el problema original del Método Simplex, una Solución Básica Inicial, se crea el problema artificial, añadiendo variables artificiales penalizadas (multiplicadas por un escalar M tan grande como se quiera) y se agregan a la función objetivo, una vez minimizada esta, e igualada a cero, se eliminan las columnas correspondientes a las variables artificiales y se resuelve por el método Simplex, partiendo de la última tabla obtenida. Sea el problema de programación Lineal en forma general [P ]: min z = c t x s.a. Ax = b x 0 12

13 y su problema artificial asociado: [P.A.] min w = c t x + s.a. Ax + Ix a = b x 0; x a 0 m i=1 Mx a i Entonces x a = b es una Solución Factible Básica Inicial del problema artificial [P.A.] Pasos del Algoritmo: 1. Si no hay variables artificiales en la base o hay con valor nulo y los coeficientes M 0, ir al Paso Si hay variables artificiales en la base con valor mayor que cero y los coeficientes M 0, FIN, el problema no tiene solución. 3. Continuar aplicando el método Simplex, hasta obtener el óptimo. Ejemplo: min z = 4x 1 x 2 s.a. x 1 + x 2 1 4x 1 + 3x 2 12 x 1 0; x 2 0 Expresado en forma estándar, añadiéndole la variable artificial x a 5 y las variables de holgura x 3 y x 4, tenemos el problema: min z = 4x 1 x 2 + Mx a 5 s.a. x 1 + x 2 x 3 + x a 5 = 1 4x 1 + 3x 2 + x 4 = 12 x i 0 x a i 0 i La tabla inicial del método Simplex, correspondiente a la Primera Fase con base inicial B = (a a 5, a 4 ) es: c j M c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 y a 5 M x a x z j c j M M + 4 M + 1 M

14 Entra en la base x 1, y sale x a 5, por tanto el pivote es 1, efectuando el pivoteo, obtenemos la nueva tabla: c j M c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 y5 a 4 x x z j c j M 4 En estos momentos la variable artificial está fuera de la base, por tanto podemos eliminar su columna correspondiente de la tabla, teniendo ahora una Solución Factible Básica para iniciar el método Simplex. Entra en la base x 3, y sale x 4, por tanto el pivote es 4, efectuando el pivoteo, obtenemos la nueva tabla: c j c B x B x y 1 y 2 y 3 y x x z j c j La solución óptima y única del problema es x = (3, 0, 2, 0), y el valor de la función objetivo queda z = 12 3 Dualidad Interpretación del Problema Dual. Ejemplo: Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para elaborar dos tipos de pasteles (A y B). Cada caja de pasteles de tipo A requiere 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y su venta le reporta un beneficio de 20 unidades monetarias (UM). Cada caja de pasteles de tipo B requiere 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y su venta le reporta un beneficio de 30 UM. Cuántas cajas de cada tipo de pasteles debe producir el pastelero de manera que se maximicen sus ganancias? Resolver el problema gráficamente. Planteamiento: max z = 20x x 2 s.a. 3x 1 + 6x

15 x x 2 22 x 1 0 x 2 0 x 1 + x Para 20x x 2 = c, con c = 600, una recta de nivel de la Función Objetivo pasa por (30; 0) y por (0; 20), el resto de las rectas de nivel son paralelas a ésta. Gráficamente vemos que el punto P es la solución óptima, siendo P la intersección entre las rectas: 3x 1 + 6x 2 = 150 y x 1 + x 2 = 27.5 resultando como solución óptima del problema: x 1 = 5 y x 2 = 22, 5 Con máximo beneficio: z = 20 x x 2 = 775. Para obtener este resultado máximo, ha utilizado toda la cantidad de harina y de mantequilla, ambas restricciones se han saturado, sin embargo le ha sobrado azúcar, ya que de esta sólo ha gastado: x x 2 = , 5 2 = 16, 25kg de los 22 kg de que disponía. Supongamos que la cantidad de harina disponible aumenta en un kg. Cuánto aumenta el beneficio del pastelero? Contestar a la misma cuestión para un aumento de un kg en la cantidad de azúcar y mantequilla. Dado que la variación en la cantidad de harina es muy pequeña, el punto óptimo sigue siendo la intersección entre las restricciones de la harina y de la mantequilla: 3x 1 + 6x 2 = 151 y x 1 + x 2 = 27.5 resultando como solución óptima del problema: Con máximo beneficio: x 1 = 14 3 z = 20 x x 2 = luego el incremento es z = u 1 = 10 3 y x 2 = =

16 Para el azúcar es obvio que el incremento de 1 kg no modifica la solución óptima del problema original, por tanto: z = u 2 = 0 Finalmente para la mantequilla, el nuevo óptimo es la solución de: 3x 1 + 6x 2 = 150 y x 1 + x 2 = 28.5 resultando como solución óptima del problema: Con máximo beneficio: x 1 = 7 y x 2 = 21.5 z = 20 x x 2 = 785 luego el incremento es z = u 3 = 10 Pregunta: Supongamos que el pastelero quiere vender su negocio, para aceptar la oferta que le hagan por los recursos de que dispone, debe obtener un beneficio mayor o igual que el que obtendría si utilizara esos recursos para producir pasteles. Sean u 1, u 2 y u 3 los precios por kg de harina, azúcar y mantequilla, respectivamente. El comprador se quiere gastar lo menos posible, luego para hacer una oferta al pastelero, debe resolver el siguiente problema: min z = 150u u , 5u 3 s.a. 3u 1 + u 2 + u u u 2 + u 3 30 u 1 0; u 2 0; u 3 0 Si resolvemos este problema, introduciendo variables artificiales, obtenemos la solución óptima: Con mínimo coste: Observaciones: ū 1 = 10 3 ū 2 = 0 ū 3 = 10 z = La ganancia del pastelero es la misma si fabrica pasteles que si vende el negocio. 16

17 2. Los precios justos a los que debe vender cada kg de los recursos de que dispone coinciden con el beneficio adicional o marginal, de disponer de 1 kg más de dichos recursos para producir pasteles. En particular como la restricción de azúcar no se satura, hay excedente de azúcar, el precio del azúcar es Al problema del comprador se le llama Problema DUAL [D], tiene tantas restricciones como variables tenga el Problema PRIMAL [P ] y tantas variables como restricciones tenga [P ]. La Teoría de Dualidad General estudia las relaciones existentes entre ambos problemas. Resumen del Ejemplo: Problema del Pastelero [P ]: Problema del Comprador [D]: max z = 20x x 2 s.a. 3x 1 + 6x x x 2 22 x 1 0 x 2 0 x 1 + x min z = 150u u , 5u 3 s.a. 3u 1 + u 2 + u u u 2 + u 3 30 u 1 0; u 2 0; u Definición del Problema Dual Se dan tres definiciones según el formato en el que se representa el problema, y posteriormente comprobamos que las tres definiciones son consistentes. 1. En forma estándar: [P] : min z = c t x s.a. Ax = b x 0 [D] : max w = b t u s.a. A t u c u irrestricta 17

18 2. En forma canónica de maximización: [P] : max z = c t x s.a. Ax b x 0 [D] : min w = b t u s.a. A t u c u 0 3. En forma canónica de minimización: [P] : min z = c t x s.a. Ax b x 0 [D] : max w = b t u s.a. A t u c u 0 Las definiciones anteriores son consistentes, es decir, si escribimos un problema en cualquiera de los tres formatos, su problema dual asociado siempre es el mismo. Observaciones: 1. A cada restricción primal le corresponde una variable dual. 2. El vector demanda o requerimiento b del problema primal P se convierte en el vector de costo del dual D. 3. El vector de la función objetivo c del problema primal P se convierte en el vector de requerimiento del problema dual D. 4. Se cambia la función objetivo de min a max. 5. Se cambia el sentido de las restricciones. 18

19 6. Si tenemos restricciones de igualdad y variables irrestrictas en signo, entonces: (a) A toda restricción de igualdad del primal P le corresponde una variable dual irrestricta en signo en el dual D. (b) A toda variable del primal P irrestricta en signo le corresponde una restricción dual de igualdad. Lema: El dual del problema dual es, de nuevo, el problema primal. Demostración: Sea [P] : max z = c t x s.a. Ax b x 0 [D] : min w = b t u s.a. A t u c u 0 de nuevo [P]: max z = c t x s.a. Ax b x 0 su problema dual asociado es: el dual de [D] es: Teniendo en cuenta que las definiciones son equivalentes, queda probado el resultado. Como consecuencia, el papel que juegan [P ] y [D] en todos los resultados es reversible, por lo cual es indiferente distinguir entre problema primal y problema dual, en general podemos hablar de un par de problemas duales. 3.2 Teorema Fundamental de Dualidad Consideremos el problema primal: [P] : min z = c t x s.a. Ax = b x 0 y su correspondiente problema dual: [D] : max w = b t u 19

20 s.a. A t u c u t A c t u irrestricta El siguiente Lema demuestra que el mínimo del problema Primal es siempre mayor o igual que el máximo del problema Dual asociado, para cualquier punto factible. Lema: Sea x una solución factible del problema primal y u una solución factible del problema dual, entonces: Demostración: c t x b t u c t x u t Ax = u t b = b t u Como consecuencia del lema, si x es factible para el problema Primal y ū es factible para el problema Dual y además c t x = b t ū, entonces x y ū son los óptimos de sus respectivos problemas. Es decir, c t x = b t ū, es una condición suficiente para que x y ū sean óptimos. El Teorema de Dualidad demuestra que la condición anterior, además de suficiente, debe cumplirse necesariamente. Teorema Fundamental de Dualidad de la Programación Lineal. Si P tiene una solución óptima finita, también la tiene D y los correspondientes valores de las funciones objetivos son iguales. Si P no tiene solución acotada, entonces D no tiene solución factible. Otra forma de Enunciarlo: Dado un par de problema duales, una condición necesaria y suficiente para que una solución factible x sea óptima, es que exista una solución factible ū del otro problema, tal que: c t x = b t ū Además esta solución ū es también óptima de su problema asociado. Demostración La segunda parte es inmediata por el Lema: Si D no tuviera solución factible, existiría u R m tal que b t u c t x para cualquier x que sea factible, lo cual es una contradicción ya que hemos considerado la solución de P no acotada. Sea x la solución óptima finita de P, por tanto x está asociada a una base óptima formada por las columnas de la matriz B: x = ( x B ; x N ) t = (B 1 ; 0) Definimos ū t = c t B B 1 R m, entonces: ū t = c t BB 1 (B, N) 20

21 = (c t B, c t BB 1 N) c t c t BB 1 N c t N z j c j j R z j c j 0 j R = {i : x i es no básica} pero esta condición se cumple puesto que x es el óptimo, entonces ū es factible para D. Además, por el lema, se cumple que: Por tanto ū es el óptimo de D. Observaciones: ū t = c t BB 1 b = c t x 1. Interpretación Económica: El pastelero gana lo mismo si vende su negocio como si continúa produciendo pasteles, siempre que su problema tenga solución óptima finita. Si el problema no estuviera acotado, por ejemplo que pueda ganar infinito produciendo pasteles, no debería aceptar ninguna oferta, como consecuencia, el problema del comprador, el dual, no tiene solución factible. 2. Resolver P, encontrar la base óptima B para P, equivale a resolver D a través de la expresión: ū t = c t BB 1 3. La condición de factibilidad de ū es equivalente a la de optimalidad de x y recíprocamente. ū factible x óptimo x factible ū óptimo 4. Sensibilidad y Solución del Dual: Supongamos que queremos calcular la variación de la función objetivo ante pequeños cambios de los recursos b = (b 1, b 2,..., b m ) t en el problema P, esta variación la podemos medir mediante las derivadas: z b i = ū i i = 1, 2,..., m ya que : z = c t BB 1 b = ū t b = 21 t ū i b i i=1

22 luego la solución del problema dual puede interpretarse como el incremento de la función objetivo del primal ante pequeñas variaciones de los recursos b i. De donde ū i es el precio justo que debe pagar el comprador por cada unidad de recurso del negocio, llamado en economía el precio sombra. 5. Si P no es factible, entonces se cumple que D no es acotado o D no es factible, lo que no puede ocurrir es que D tenga solución finita. 3.3 Algoritmo Dual-Simplex 1. Conocida una base B, con solución x = B 1 b, tal que z j c j 0 (para problemas de min), llamada Solución Dual Factible del Problema Primal, y su tabla correspondiente. 2. Si x B 0, FIN, la solución es óptima. 3. Si existe un s I, tal que x s < 0, ir al Paso Analizar el signo de Y sj : (a) Si Y sj 0, para todo j, FIN, no hay solución factible. (b) Si existe al menos un j, tal que Y sj < 0, ir al Paso Criterio de Salida o Condición Dual de Factibilidad: Calcular x l = min { x s : x s < 0}, entonces sale de la base la variable x l. 6. Criterio de Entrada o Condición Dual de Optimalidad: Calcular k, tal que: { } z k c k zj c j = min : Y lj < 0 Y lk Y lj entra la variable x k en la base. 7. Utilizando Y lk como pivote, actualizar la tabla con la nueva base B, obtenida al sustituir a l por a k, calcular los nuevos valores de x B, Y j y z j c j, luego ir al Paso 2. Ejemplo: max z = 3x 1 x 2 s.a. x 1 + x 2 1 2x 1 + 3x 2 2 x 1 0; x

23 Expresado en forma estándar, añadiéndole variables de holgura x 3 y x 4, tenemos el problema: max z = 3x 1 x 2 s.a. x 1 + x 2 x 3 = 1 2x 1 + 3x 2 x 4 = 2 x i 0 x a i 0 i Para tener las variables de holgura con coeficientes positivos, multiplicamos las ecuaciones por 1 max z = 3x 1 x 2 s.a. x 1 x 2 + x 3 = 1 2x 1 3x 2 + x 4 = 2 x i 0 x a i 0 i La tabla inicial del método Dual del Simplex, con base inicial B = (a 3, a 4 ) y solución óptima x = (0; 0; 1; 2), pero no factible, es: c j c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 0 x x z j c j En esta tabla todos los z j c j son no negativos y el problema es de calcular el máximo, además hay variables básicas con valores negativos,podemos aplicar el algoritmo Dual del Simplex. Sale de la base x 4, por ser el más negativo, y entra x 2, por tanto el pivote es 3, efectuando el pivoteo, obtenemos la nueva tabla: c j c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 0 x 3 1/3 1/ /3 1 x 2 2/3 2/ /3 z j c j 2/3 7/ /3 Sale de la base x 3, y entre x 4, por tanto el pivote es 1/3, efectuando el pivoteo, obtenemos la nueva tabla: 23

24 c j c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 0 x x z j c j Como todos los x son no negativos, estamos en la solución óptima y única del problema es x = (0, 1, 0, 1), y el valor de la función objetivo queda z = 1. Ejemplo: min z = 2x 1 3x 2 s.a. 3x 1 + 5x 2 5 x 1 + 3x 2 4 x 1 0; x 2 0 Expresado en forma estándar, añadiéndole variables de holgura x 3 y x 4, y multiplicando por 1 en la primera restricción, tenemos el problema: min z = 2x 1 3x 2 s.a. 3x 1 5x 2 + x 3 = 5 x 1 + 3x 2 + x 4 = 4 x i 0 x a i 0 i La tabla inicial del método Dual del Simplex, con base inicial B = (a 3, a 4 ) es: c j c B x B x y 1 y 2 y 3 y 4 0 x x z j c j En esta tabla existe un z j c j > 0 y el problema es de calcular el mínimo, no contamos con las condiciones necesarias para aplicar el algoritmo Dual del Simplex, hay que utilizar alguno de los algoritmos que utilizan variables artificiales. Siempre que en la función objetivo halla al menos un coeficiente de las variables que sea negativo, no es posible aplicar el método Dual del Simplex. El método Dual del Simplex no contempla solución no acotada, debido a que parte de que los z j c j 0 para toda j, esto implica que existe una solución factible del Dual y si P o D tienen solución Factible, entonces el problema correspondiente tiene Solución finita, como el dual D tiene Solución Factible, entonces el primal P tiene solución finita. 24

25 3.4 Holguras Complementarias Teorema de las Holguras Complementarias Dado un par de problemas duales, una condición necesaria y suficiente para que x y ū, soluciones factibles de P y D respectivamente, sean óptimas es que: ū(a x b) = 0 (c ūa) x = 0 Otra forma de enunciar el teorema anterior es: n u i ( a ij x j b i ) = 0 j=1 (c j Si : n a ij ū i ) x j = 0 j=1 x j > 0 n c j a ij ū i = 0 j=1 c j = n a ij ū i j=1 Si : n a ij ū i > c j x j = 0 j=1 En Economía la expresión n j=1 a ijū i se puede interpretar como la ganancia o beneficio esperado y el c j como el beneficio real. Demostración : [= ] Como x y ū son soluciones factibles de los problemas P y D respectivamente, entonces x 0 y ū 0, además A x b y ūa c, por tanto : A x b 0 c ūa 0 25

26 Luego : α = ū(a x b) 0 β = (c ūa) x 0 Sumando miembro a miembro obtenemos : α + β = c x ūb 0 Según el Teorema de Dualidad, una condición necesaria y suficiente para que x y ū sean óptimas es que el miembro de la derecha de esta igualdad sea 0, o sea, tendríamos que α + β = 0, pero como α 0 y β 0 se tiene necesariamente que cumplir que α = β = 0, con lo cual queda demostrada la implicación hacia la derecha. [ =] ū(a x b) = 0 (c ūa) x = 0 Sumando miembro a miembro obtenemos : c x ūb = 0 de donde c x = ūb, según el Teorema de Dualidad y la Propiedad, que expresa que si el primal tiene óptimo finito entonces el dual también lo tiene y coinciden sus valores óptimos, entonces x y ū son soluciones óptimas de los problemas primal P y dual D respectivamente, con lo que queda demostrada la segunda implicación. 4 Métodos de Punto Interior Durante décadas el método Simplex ha sido el método de resolución de los problemas de Programación Lineal, sin embargo desde el punto de vista teórico, el tiempo de cálculo requerido por este método crece de forma exponencial con el tamaño del problema, definido como la cantidad de variables más la cantidad de restricciones. Este crecimiento exponencial corresponde al peor de los casos posibles, que no corresponde con lo que ocurre normalmente en los casos reales. Muchos investigadores han tratado de desarrollar algoritmos cuyos tiempos de cálculo tuviesen un crecimiento polinomial con el tamaño del problema, como Frisch, Fiacco y McCormick y Khachiyan. Todos los intentos 26

27 fallaron, ya fuese desde el punto de vista teórico o desde el punto de vista práctico. En 1984, Karmarkar propuso un algoritmo cuya complejidad computacional es polinomial y que resultó altamente competitivo frente al método Simplex para resolver problemas de Programación Lineal de gran tamaño. Este algoritmo de Karmarkar originó multitud de trabajos alrededor de su idea original que ha sido mejorada en muchos aspectos. Una de las mejores variantes es el algoritmo de barrera primal-dual introducido por Meggido. Consideremos el siguiente problema de Programación Lineal, expresado en forma estándar, como problema primal: min z P = c t x sujeta a : Ax = b x 0 donde los vectores x, c R n, b R m, y la matriz A R m R n. Su problema dual es: max z D = b t u sujeta a : A t u c u 0 Empleando variables de holgura, convertimos las desigualdades en igualdades, quedando el problema anterior de la siguiente forma: max z D = b t u sujeta a : A t u + s = c s 0 donde las variables duales son u R m y s R n Para eliminar las restricciones de no negatividad, se emplea la función barrera logarítmica, entonces se aborda el problema de Programación No Lineal: max z D = b t u + µ n ln s j j=1 sujeta a : A t u + s = c Nótese que los s j nunca serán nulos para que la función de penalización esté bien definida. 27

28 Los métodos de punto interior resuelven el problema para diferentes valores del parámetro µ, este parámetro se define de manera que : µ 0 > µ 1 > µ 2 >... > µ = 0, generando una sucesión de problemas cuya sucesión de soluciones {x k } converge a la solución del problema dual. La función Lagrangiana de nuestro nuevo problema tiene la forma: L(x, u, s, µ) = b t u + µ n ln s j X t (A t u + s c) j=1 Los multiplicadores x de Lagrange coinciden con las variables del problema primal P. Empleando el Lagrangiano, las condiciones de optimalidad de primer orden del problema son: x L(x, u, s, µ) = A t u + s c = 0 u L(x, u, s, µ) = Ax b = 0 s L(x, u, s, µ) = XSe µe = 0 donde : X diag(x 1, x 2,..., x n ) X diag(x 1, x 2,..., x n ) S diag(s 1, s 2,..., s n ) e (1, 1,..., 1) t la dimensión del vector e es de n 1. Para resolver este sistema de ecuaciones mediante el método de Newton, las variables x, u y s son sustituidas por x + x, u + u y s + s respectivamente y eliminando los términos de segundo orden, se obtiene el siguiente sistema en los incrementos de las variables: A x = 0 A t u + s = 0 S x + X s = µe XSe Las direcciones de búsqueda primal y dual se obtienen resolviendo el sistema anterior para las variables x, u y s: siendo v(µ) = µe XSe. u = (AXS 1 A t ) 1 AS 1 v(µ) s = A t u x = S 1 v(µ) XS 1 s 28

29 A continuación se realiza una iteración del método de Newton, incluyendo el cálculo de la longitud del paso, para obtener el nuevo punto: u k+1 = u k + α d u s k+1 = s k + α d s x k+1 = x k + α p x donde α p [0, 1] y α d [0, 1] son las longitudes de paso primal y dual respectivamente. El paso primal se aplica a la variable primal x, mientras que el paso dual se aplica a las variables duales u y s. La selección de α p y de α d se realiza de modo que x y s permanezcan estrictamente positivos, mientras que u no ha de ser positivo. Para asegurar que sean positivos se emplea el parámetro σ (0, 1), entonces: { } xi α x = min tal que x i < δ x i α p = min{1, σα x } { } sj α s = min tal que s j < δ s j α d = min{1, σα s } donde δ es un parámetro de tolerancia (por ejemplo δ = ) y como σ se suele tomar σ = , estas limitaciones en la longitud de paso son muy importantes para valores muy pequeños de los incrementos x y s. Por ser factibles x y u, la holgura dual se calcula mediante la expresión: c t x b t u que se emplea como medida de la proximidad a la solución óptima. Si el punto inicial no es factible, aplicando el método de Newton al sistema de las condiciones de primer orden, se llega al sistema incremental siguiente: cuya solución es: A x = b Ax A t u + s = c A t u s S x + X s = µe XSe u = (AXS 1 A t ) 1 (AS 1 v(µ) AXS 1 r d r p ) s = A t u + r d x = S 1 v(µ) XS 1 s 29

30 donde r p = b Ax y r d = c A t u s, son los residuos primal y dual respectivamente. Si el punto inicial no es factible, la factibilidad y la optimalidad se alcanzan simultáneamente a medida que el algoritmo de punto interior progresa, es decir, los residuos y la holgura dual tienden a cero simultáneamente. 4.1 Actualización del parámetro de penalización Un posible elección de µ se obtiene de las condiciones de optimalidad, es la siguiente igualdad: µ = st x n Para alcanzar un camino central, que evite una prematura aproximación a la frontera, se introduce el parámetro ρ, entonces el valor de µ queda modificado: µ = ρ st x n Los valores del parámetro ρ se ajustan experimentalmente mediante un ensayo y error, una elección razonable es: { 0.1 si c ρ = t x > b t u 0.1 si c t x < b t u Si c t x = b t u, estamos en el punto óptimo. 4.2 Criterio de Parada El algoritmo finaliza cuando la holgura dual es suficientemente pequeña; es decir, si: c t x k b t u k max {1, c t x k } < ɛ donde ɛ es una tolerancia unitaria. El numerador de la fracción anterior representa la holgura dual, mientras que el denominador es el máximo entre 1 y el valor de la función objetivo del problema primal, esta elección evita dividir por cero. 4.3 Selección del punto inicial Si no se dispone de un punto inicial factible, el algoritmo heurístico de Vaderbei proporciona un buen punto de inicio. 30

31 1. Calcular el vector ˆx mediante la igualdad: ˆx j = 1 a j donde a j es la j-ésima columna de la matriz de restricciones A, y 2 es la norma euclídea. 2. El escalar β se calcula mediante: 3. El vector inicial x 0 se calcula: β = b Aˆx x 0 = 10βˆx 4. El vector de variables duales u se hace nulo, el vector s de variables duales se inicia en función del vector x: (a) Si x j tiene una cota superior finita, entonces: { 1 si c s j = j < 0 c j + 1 en otro caso (b) Si x j no está acotado superiormente, entonces: { 1 si cj < 1 s j = en otro caso 4.4 Algoritmo de barrera logarítmica primal-dual c j 1. Se toma k = 0 y se selecciona un punto inicial (x k, u k, µ k ), que puede ser factible o no factible para el problema primal y/o dual, se calcula el vector de holgura dual s t = c A t u k. 2. Se calculan las matrices diagonales X k = diag(x 1, x 2,..., x n ) k y S k = diag(s 1, s 2,..., s m ) k. 3. Se calcula el vector v(µ k ) = µ k e X t S t e y los vectores residuos r p = Ax t b y r d = c A t u t s t. Si el punto actual es factible para los problemas primal y dual, los residuos son cero. 4. Se resuelve el sistema de Newton para obtener las direcciones de búsqueda u k, s k y x k. 31

32 5. Se calculan las longitudes de paso α p y α d. 6. Se actualizan las variables duales y primales. 7. Si la holgura dual es suficientemente pequeña, FIN, se ha llegado a la solución óptima. En caso contrario se hace k = k + 1 y se continúa. 8. Se actualiza el parámetro de penalización µ k y se va al PASO 2. 5 Otros Algoritmos Limitaciones de la Programación Lineal: 1. Proporcionalidad: En todos los problemas de Programación Lineal se supone proporcionalidad entre los productos y el costo, lo cual no se cumple en la realidad, ya que a mayor oferta disminuye la demanda. 2. Aditividad: Se supone que todas las actividades o varias de ellas se pueden efectuar al mismo tiempo, en la realidad existen actividades antecedentes y actividades consecuentes. 3. Divisibilidad: En los problemas de Programación Lineal hay variables que pueden tomar cualquier valor en un intervalo, incluso fraccionario, lo cual no siempre se corresponde con los problemas reales que necesitan una solución discreta. 4. Determinista: Los valores de los parámetros A, b y c se consideran fijos en Programación Lineal, y al cambiar estos valores, no serían aplicables los métodos. Temas de Investigación Operativa en los que se podría profundizar, que resuelven algunas de las limitaciones de la Programación Lineal : 1. Mejoras del método Simplex para realizar más rápido los cálculos. - Método Simplex Revisado, introduce la función objetivo como una restricción más del problema. 2. Especialización del Método Simplex a problemas con estructuras especiales: - Algoritmo de Transporte. - Problemas de Flujos en Grafos. 3. Algoritmos de Programación Entera o Discreta, resuelve en parte la limitación de Divisibilidad. 32

33 4. Otros enfoques para resolver problemas de Programación Lineal. 5. Programación Estocástica, donde algunos de los elementos del problema no son conocidos, sino que son variables aleatorias con una determinada distribución. 6. Programación Dinámica, asociada a Problemas de Programación Lineal de procesos continuos, donde los parámetros A, b y c cambian. Un problema de Programación Linea con variables enteras, puede resolverse utilizando el Método Simplex siempre que la matriz A sea escalonada y sus elementos 0 y 1. 33