PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

Transcripción

1 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA. CONJUNTOS CONVEXOS. CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN. PLANTEAMIENTO FORMAL DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION MATEMATICA.

2 - Función Objetivo: Función que se pretende Maximizar o minimizar. - Conjunto de oportunidades: Conjunto de puntos que satisfacen las restricción del problema. - Restricción activa en un punto: Si satisface dicha restricción en términos de igualdad. - Restricción inactiva en un punto: Si satisface dicha restricción en términos de desigualdad. - Restricción redundante: No influye en la definición del conjunto de oportunidades, se podría eliminar. Concepto general de óptimo: Máximo Local: Es el máximo relativo respecto a los puntos admisibles de su entorno. Mínimo Local: Es el mínimo relativo respecto a los puntos admisibles de su entorno. Máximo Global: Es el máximo respecto a todos los puntos admisibles. Mínimo Global: Es el máximo respecto a todos los puntos admisibles. Podemos afirmar que existirán, al menos, un máximo y un mínimo global en el interior o en la frontera del conjunto de oportunidades. La no verificación del teorema no implica que el problema no tenga solución.

3 RESOLUCIÓN GRÁFICA Curvas de nivel. ( Definidas a partir de la función Objetivo ) Si la función objetivo es lineal El Gradiente nos indicará la dirección de máximo crecimiento. Si la función objetivo es un circunferencia El centro de la circunferencia será el minimo. Circunferencia: Elipse: Parábola: + = 1 y = ax² + bx + c (a,b) Centro. (a,b) Centro. Si a > 0, la ramas hacia arriba. (a,b) Centro. h radio de x. Si a < 0, la ramas hacia abajo. R Radio. K radio de y. Vértice: TEMA 2. PROGRAMACIÓN NO LINEAL. CASO NO SUJETO A RESTRICCIONES. 1. Punto de silla: 2. Clasificamos la Hessina de la función en el punto de silla y según obtengamos, el punto óptimo será un máximo o mínimo. CASO SUJETO A RESTRICCIONES DE IGUALDAD. LA FUNCIÓN DE LAGRANGE. INTERPRETACIÓN DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. 1. Función de Lagrange. 2. λ ) = 0 Resolvemos el sistema y obtenemos los puntos críticos. 3. Condiciones suficientes de segundo orden. H λ ) Evaluamos en los puntos críticos obtenidos. y ) Evaluamos en los puntos críticos obtenidos. 4. Construimos la forma cuadrática restringida y la clasificamos. Mínimo Local. Máximo Local. Interpretación de los Multiplicadores de Lagrange.

4 CASO SUJETO A RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES DE OPTIMALIDAD. Punto estacionario. 1. Función de Lagrange. 2. λ ) = 0 = 0 = 0 λ=0, g(x)=0 Estableceremos un sistema en el que definiremos las restricción activas para así de esta manera saber que multiplicadores valen cero y cuales no, así poder determinar los valores críticos. Si la restricción no es activa, su multiplicador asociado vale cero, en caso contrario el multiplicador será distinto de cero y la restricción irá definida por una igualdad. TEMA 3. PROGRAMACIÓN LINEAL. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL. - Función objetivo lineal. - Conjunto de oportunidades cerrado y convexo. - Si un problema de Programación Lineal posee solución, dicho valor óptimo es global, ya que se dan las hipótesis del teorema local-global. Pero no podemos asegurar que el

5 problema general de Programación Lineal posea solución,ya que no siempre el conjunto de oportunidades va a estar acotado, condición que faltaría para la verificación de las condiciones del teorema de Weierstrass. - En un problema de PL, solo se pueden dar tres situaciones: No tiene solución. Tiene solución única. Tiene infinitas soluciones. - Se podría resolver gráficamente y por el método del Simplex. EL MÉTODO DEL SIMPLEX. 1. Planteamiento: 2. Problema general de forma Estándar, las restricciones de desigualdad las convertiremos en restricciones de igualdad, para ello introducimos unas nuevas variables no negativas, (variables de holgura) las cuales entran: Con signo positivo en restricciones de Con signo negativo en restricciones de Con coeficiente nulo en la función objetivo. Max 7x + 7y s.a -2x + y + x2 = 2 x y + x3 = 1 x + y + x4 = 4 3. Tabla:

6 FALTARÍA DEFINIR LOS COMPONENTES DE LA TABLA; CJ, Z, Po.

7 CASOS PARTICULARES

8 Variables que no están en el primer cuadrante:

9 Método de la M-grande. FALTARIAN EJEMPLOS DUALIDAD Cualquier problema lineal lleva asociado otro problema y entre ellos se establecen una serie de relaciones:

10 Establecer la relación entre las soluciones Ejemplos. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE COSTES, RECURSOS. Sensibilidad de Costes: En este caso definiremos los valores que se puede modificar el coste sin que varíe la base óptima del problema. Intervalo del coste que mantiene la solución. Partimos de la tabla optima y montamos un sistema a partir del cual podemos ver entre que valores se puede mover el Ci para mantener la solución: Sistema para el caso del C1 Sistema para el caso del C2

11 Sistema para el caso de C3 En este caso el coste al nos ser básico solo afecta a Z3 C3 siendo el intervalo: Sensibilidad de Recursos: Partimos de la tabla optima y montamos un sistema a partir del cual podemos ver entre que valores se puede mover bi para mantener la solución: Sistema para b1: P0 Vector inicial de recursos. Sistema para b2:

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