TEMA III MÉTODO SIMPLEX. CONCEPTOS BÁSICOS
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- Víctor Manuel Belmonte Miranda
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1 TEMA III MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS MÉTODOS CUANTITATIVOS I
2 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS INDICE.- FACTORES PRODUCTIVOS (A i )....- VECTOR EISTENCIAS (P o )....- TÉCNICA PROCESO PRODUCTIVO (P j ) VECTOR PROCESO NIVEL DE PROCESO ( j ) HIPÓTESIS BÁSICAS PROPORCIONALIDAD NO NEGATIVIDAD ADITIVIDAD LINEALIDAD PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ALGORITMO SÍMPLE (Dantzig, 95)...5 EJEMPLO... 5 ) Convertir las desigualdades en igualdades... 6 ) Programa base... 6 ) Construcción de la tabla... 6 Prueba de optimabilidad... 9 EJEMPLO... EJEMPLO... 4 Pág. Pág.
3 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS TEMA III MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS.- FACTORES PRODUCTIVOS (A i ) Son los medios empleados para la obtención de la producción. Los factores productivos pueden ser limitados ( los cuales originan restricciones), o limitados. Los llamaremos A i = Factor productivo i..- VECTOR EISTENCIAS (P o ) Es un vector columna cuyos componentes son las cantidades disponibles de cada uno de los factores productivos limitados. A A P o = An.- TÉCNICA Una técnica es una combinación de los distintos factores productivos 4.- PROCESO PRODUCTIVO (P j ) Es la transformación de los factores productivos en bienes o productos, de acuerdo con una técnica determinada. 5.- VECTOR PROCESO Es un vector columna, cuyos componentes indican las cantidades necesarias de los distintos factores productivos, para la realización del proceso Pj. a j a j P = o donde a ij es la cantidad empleada del factor productivo i en el proceso j. anj 6.- NIVEL DE PROCESO ( j ) Indica la intensidad de utilización de los distintos factores productivos en el proceso P j, y lo llamaremos j. Pág.
4 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS 7.- HIPÓTESIS BÁSICAS 7..- PROPORCIONALIDAD Las cantidades de los factores productivos son proporcionales a su nivel de utilización NO NEGATIVIDAD Los niveles de los procesos han de ser mayores o iguales a cero ADITIVIDAD La combinación de varios procesos productivos utiliza en conjunto la suma de todos los factores eigidos individualmente a cada uno de ellos LINEALIDAD Los rendimientos de los procesos, son directamente proporcionales a su nivel de utilización, es decir dado un proceso P j, empleado a nivel unitario, obtendremos un rendimiento P j, mientras que si P j es utilizado a un nivel j, el rendimiento del proceso será j P j. 8.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Optimizar Sujeto a Z = C + C + L + a a a m + a + a + a C n n m + L+ a n + L+ a n + L+ a mn n n n A LLLLLLLLLLLL A A m i Los problemas de programación lineal se caracterizan por una serie de elementos. En la solución óptima el número de procesos será igual al número de factores limitados; aunque en ciertas ocasiones, dicho número de procesos puede ser menor que el número de factores limitados. En tal caso, la solución es degenerada.. Los niveles de utilización j de los procesos serán no negativos.. Estos niveles serán tales, que todas las restricciones cumplan como igualdad, siempre y cuando estemos hablando de procesos que pertenezcan al óptimo. 4. El programa (plan de producción), que cumpliendo las condiciones anteriores, optimice el valor de la función objetivo, será el programa óptimo. Pág. 4
5 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS 9.- ALGORITMO SÍMPLE (Dantzig, 95) En el algoritmo del Símple, se parte de un programa base que estará formado por vectores unitarios (vector proceso unitario), realizando iteraciones sucesivas, de manera que en cada uno de ellos, la matriz de coeficientes asociada al programa base sea una matriz identidad. Los pasos a seguir en el algoritmo del Símple son. Convertir desigualdades en igualdades, introduciendo para ello variables de holgura, que serán positivas en restricciones menores o iguales, y negativas en restricciones mayores o iguales.. Obtener el programa base Esta es la pregunta inicial de la cual partimos para determinar la solución. Para encontrar el programa base, tomaremos un vector unitario de cada una de las restricciones del problema, de acuerdo con el siguiente esquema.. Escoger aquellas variables de holgura con el mismo signo que el término independiente y coeficiente unitario... En su defecto, escoger aquellas variables i que aparezca en una única restricción, y tenga el mismo signo que el término independiente. Esta variable deberá tener coeficiente unitario... En su defecto, introduciremos en aquellas restricciones de las cuales no hemos tocado aún, un vector unitario una variable artificial Kj afectada de un rendimiento N si estamos maimizando, o de un rendimiento +N si estamos minimizando, y que tendrá un coeficiente unitario. EJEMPLO Vamos ha hacer como ejemplo un problema del tema anterior, cuyo modelo de programación es. Ma. Z = Sujeto a. i Pág. 5
6 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS A continuación vamos a seguir los pasos ) Convertir las desigualdades en igualdades Ma. Z = Sujeto a. + i i = 6 = 8 = 4 Estas holguras introducidas, deben introducirse también en la función objetivo. Para que esto no afecte a la solución final, introduciremos las holguras con un rendimiento nulo. Por tanto la función objetivo queda Ma. Z = h + 0h 0h ) Programa base El programa base estará formado por tantos procesos como número de restricciones P = B P h = 0, 0 ( P P P ) h, h h, 0 P h =, 0 P h 0 = 0 son vectores unitarios. Ahora continuaremos con la teoría que habíamos abandonado para plantear el ejemplo. ) Construcción de la tabla La tabla que construyamos nos servirá para solucionar el problema de programación lineal planteado. En la tabla tendríamos Fila Variables del problema, holguras y artificiales. Fila Rendimientos de cada uno de los procesos (C,C, C,...). Columna Rendimientos de cada uno de los procesos que formen parte de la B B B base C, C K C ). ( m Pág. 6
7 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS B B B Columna Programas que forman parte de la base P, P K P ). ( Columna Niveles de utilización de los procesos que forman parte del programa base. En la primera tabla aparecen las disponibilidades de los recursos (A, A,..., A m ). Centro La matriz tecnológica (a, a,...). Fila Fila de rendimientos indirectos (Z, Z,..., Z m ). Fila 4 Rendimientos marginales (W, W,..., W m ). m n C C C Cn Rendimientos directos B C B C B C m B P a a a a n A B P a a a a A n B P m a m a m a m a mn A m Z Z Z Z n W W W W n Niveles de utilización de las variables que forman parte del programa base Rendimientos indirectos Rendimientos Marginales Volviendo al problema planteado anteriormente, vamos a construir la tabla Ma. Z = h + 0h 0h Sujeto a. + i i = 6 = 8 = 4 Pág. 7
8 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS TABLA I h h h h MATRIZ IDENTIDAD Es la que contiene a los procesos del programa base Sale 0 h h Elemento Pivote Z j W j Columna de Rendimientos Entra Estamos dividiendo el problema en dos partes m variables Forman parte del programa base (variables básicas). n m variables Variables no básicas, a las que inicialmente damos un valor de cero. Z j se calcula como la suma algebraica de los productos de cada uno de los rendimientos directos del programa base, por los elementos del vector proceso respectivo Z = = 0 Columna Fila centro columna Fila centro columna Fila centro columna En este caso son todos los Z j cero. Wj = Es la diferencia entre el rendimiento directo e indirecto. Observamos que como no son negativos o nulos, no estamos ante la solución óptima. W j = C j Z j Tenemos que hacer una prueba de optimabilidad, para saber si el Simples es o no óptimo. Si no lo es tendremos que iterar. Pág. 8
9 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS Prueba de optimabilidad El programa base será óptimo si y sólo si, el rendimiento marginal de todos los procesos productivos es no positivo en problemas de maimización, o no negativo, en problemas de minimización. Si el resultado fuera no óptimo, es porque dentro del programa base hay algún proceso que no debería estar. Debemos averiguar cual es este proceso para eliminarlo, y ver cuales que no están deberían estarlo. De los dos procesos (40 y 0), que no están en el programa base, Cuál debería entrar? Debería entrar el que mayor beneficio aporte; es decir, el proceso que entrará en el programa base será aquel que posea un mayor valor marginal positivo de entre todos. En nuestro caso, el proceso entrante será PW= 40. A la columna perteneciente al proceso entrante se la denomina columna pivote. El proceso saliente se calculará de la siguiente forma Calculamos el ratio entre el nivel del proceso del programa base y su respectivo elemento en la columna pivote. En nuestro ejemplo será P h =6/ =6 P h = 8/0 = Sale aquel proceso con menor ratio, por lo tanto sale el 6 P h = 4/ =4 A la fila del proceso que sale, también se la denomina fila pivote. Al elemento en el que se cruzan la fila y la columna pivotes se le llama elemento pivote. Ahora una vez averiguado el proceso que entra y el que sale debemos volver a iterar TABLA II h h h () 0 h () 0 h () Pivote Sale Entra Pág. 9
10 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS () = 6 () = 8 () h +h = 8 Las dos primeras epresiones están en el modelo de programa, mientras que la tercera () observamos que no está; entonces yéndonos al modelo tenemos que + = 6 h = 4 6 h + = 4 Pasos para rellenar la tabla II. ) Fila del proceso entrante Se determina dividiendo el proceso correspondiente de la tabla anterior por el elemento pivote 0 0 a = = ; a = = 0; K a5 = = 0 ) Fila de los procesos que permanecen Los elementos correspondientes a los elementos que permanecen se calculan como el elemento de la tabla anterior, menos el coeficiente de la columna pivote, por el elemento nuevo del proceso entrante Para h h a = a - 0(Pivote) a (elemento correspondiente al proceso entrante)=0 0 = 0 a =a 0 a = = Para h a' a' = a a' = 0 = = = 0 Para comprobar que vamos bien, la matriz asociada a los procesos del programa base (,h,h ), es una matriz identidad = 8 M = 0 0 KKK hkkk h Vemos que sí lo es A continuación vamos a calcular las Zj y Wj (ver tabla ). Si la solución es óptima, los rendimientos marginales deberían ser negativos o nulos. Como vemos en la tabla II que no lo son entonces volvemos a iterar. El proceso entrante es, porque su rendimiento marginal es el mayor de todos (0). Pág. 0
11 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS Para el proceso saliente, será el que tenga menor ratio 6 6/0 = 8 8/ = 8 8 8/ = 4 El proceso saliente será h NOTA Si hubiera dos con el mismo ratio, daría igual que saliera no u otro. TABLA III Wj h h h h Ahora observamos que la solución óptima y por lo tanto el programa base es óptimo. Es óptimo dado que se trata de un problema de maimización, y el rendimiento marginal de todos los procesos es negativo, o bien nulo. Entonces podemos decir que el programa base estará compuesto por los procesos P, P y P h * P = ( P, P, P ) B h * = (6, 8, Z * 4) * = Ci i = = 760 u. m. Z * =760 u. m. EJEMPLO Vamos a aplicar este método al ejemplo de la industria química Cierta empresa química produce dos tipos de disolventes (D y D ). La producción de estos disolventes se lleva a cabo en dos plantas Una de mezclado y otra de purificación. La capacidad semanal de horas de trabajo es de 0 h. para mezclado y 50 horas para Pág.
12 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS purificación (son horas semanales). Para la fabricación de.000 litros de ambos tipos, son necesarias las siguientes horas D D DISPONIBILIDAD MEZCLADO 0 PURIFICACIÓN 50 Esta empresa tiene una provisión casi ilimitada de materiales, sin embargo, se conoce que el disolvente D tiene una demanda semanal nunca superior a litros. Si estimamos un margen de beneficio de 0. u.m./l para D y de 0.5 u.m./litro para D, determinar el plan de fabricación semanal optimo para la empresa. número de miles de litros de D número miles de litros de D Entonces, el modelo de programación es Ma. Z = Sujeto a. + + i A continuación vamos a seguir todos los pasos º.- Introducir variables de holgura Ma. Z = 00 h h + 0 h i, h i = 0 = 50 = 0 º.- Programa base P B = (P h, P h, P h ) º.- Construcción de la tabla Pág.
13 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS h h h TABLA IV TABLA III TABLA II TABLA I 0 h h h ENTRA h h h h Sale W j No Óptima 55 0 Sale 0 Sale -5 0 ENTRA Ya estamos ante la solución óptima. NOTA En el ratio tomamos el menor de los positivos Observamos el ejercicio, que la variable h sale y vuelve a entrar en otra tabla. h y h son variables no básicas, no pertenecen al programa base. 00 W h = Rendimiento marginal Es lo que incrementa el beneficio al añadir una unidad de h. Al añadir una unidad adicional de h, aumentaría el 00 rendimiento en. Pág.
14 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS El rendimiento marginal de factor limitado A. 00 h = W h = nos determina el precio sombra del + 0 P I 00 = h. 700 W h = Rendimiento marginal de h. En la segunda restricción hemos introducido h h (adicional) Añadir una unidad adicional de h producirá un aumento en el rendimiento de 700 W h = 0 Rendimiento marginal de h.en la tercera restricción se introdujo h. 0 h. Que W h = 0 significa que El valor óptimo de h es 0. Significa que hay un eceso de unidades en ese factor productivo. Significa que tenemos recurso A en eceso. Entonces para que se cumpla que * * = 0 h = 0 entonces = 90 Vemos que hasta 0 tiene 0 unidades de colchón. El que W h = 0 significa que la empresa no se va a gastar nada en ese factor productivo, ya que tiene 0 unidades de ese factor que le sobran. EJEMPLO Minimizar la siguiente función Min. Z = Sujeto a i 4 Pág. 4
15 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS.- Convertir desigualdades en igualdades Min. Z = h + 0 h Sujeto a h h i, h i = = 4.- Programa base o ª opción (ver teoría); no nos vale (h i negativos) de distinto signo al término independiente. o ª opción (ver teoría); No os vale no eisten variables solas. o ª opción Esta sí nos vale. Introduciremos variables artificiales que sólo valen para formar el programa base. Se hace en todas las restricciones. (ver teoría). Por tanto Min. Z = h + 0 h + MK + MK Sujeto a. + + h + K = h + K i, h i M Valor tan grande como se quiera. El programa base inicial estará formado por K y K. = 4 Construiríamos la primera tabla P B = ( K, K ) M K 5 TABLA I h h K K M M / SALE M K / 7 M 6 M M - M - M M M 0 M 0 6M 6 M M M ENTRA Ahora Vamos a aplicar los criterios de optimabilidad. Como es un problema de minimización, los rendimientos marginales han de ser mayores o iguales que cero. W j Pág. 5
16 TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS Entrará en el proceso con W j negativo menor (el más negativo), el W j más pequeño es el del proceso = 0 6 M. Ahora construimos la segunda tabla h h K K M M M K ( ) M 0 0+ M M-0 - M 0-M M M M 0-M M M-0 0 SALE ENTRA TABA III h h K K M M M-4 M-6 ÓPTIMA SOLUCIÓN * P B = * = ( ( P, P ), ) * Z = Z * = 6 Pág. 6
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