Métodos de planos cortantes

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1 CO-5423 (V08) 20/05/ Métodos de planos cortantes Preliminares El tableau de Beale Para facilitar la explicación y los cálculos manuales en todo lo referente a planos cortantes se usa el Tableau de Beale (TB) que es equivalente a un diccionario o tableau normal Primero veamos un ejemplo de su construcción y uso Consideremos el siguiente programa lineal: máx 20x x 2 sa 5x 1 + x x 1 + 5x 2 23 x 1 + 5x 2 21 x 1, x 2 0 (¾familiar?, es el de los pupitres con las letras cambiadas) El primer TB quedaría: 1 x 1 x 2 x N B x N B x B x B x B x donde en la primera la se colocan las variables del problema con signos negativos (así funciona mejor) La la de x 0 es la de la función objetivo y contiene el valor actual (0) y los coecientes de la función objetivo con signos cambiados Las dos siguientes las representan ecuaciones sencillas en las variables no básicas (N B), por ejemplo x 2 = ( 1) ( x 2 ) Las últimas tres las representan ecuaciones en las variables de holgura que son las básicas (B) inicialmente, por ejemplo x 4 = 23+3( x 1 )+5( x 2 ) En ese TB tenemos factibilidad primal pero no dual, así que podemos aplicar el Simplex Primal

2 CO-5423 (V08) 20/05/ Elegimos la columna de x 2 pues su coeciente ( 30) es el más negativo (pero también podríamos elegir la de x 1 ) Luego realizamos el test del cociente: m n { 20, 23, } = 21 y determinamos que sale 5 la variable básica x 5 dándole entrada a x 2 El elemento pivote se emmarca en una cajita Luego de pivotear (realizando operaciones de columna para que la la de x 5 quede (0, 0, 1)), obtenemos el segundo TB: 2 x 1 x 5 x N B x B x 2 21/5 1/5 1/5 B x 3 79/5 24/5 1/5 B x N B x Ahora elegimos la columna de x 1 pues su coeciente ( 14) es el único negativo Luego realizamos el test del cociente: m n { 21 1, 79 24, 2 2} = 1 y determinamos que sale la variable básica x4 dándole entrada a x 1 Luego de pivotear, obtenemos el tercer TB: 3 x 4 x 5 x B x 1 1 1/2 1/2 B x 2 4 1/10 3/10 B x /5 11/5 N B x

3 CO-5423 (V08) 20/05/ En este caso entra x 5 y sale x 3 y tenemos el cuarto TB: 4 x 4 x 3 x /11 5/11 B x 1 7/2 1/22 5/22 B x 2 5/2 5/22 3/22 N B x B x /11 5/11 que es óptimo por mostrar factibilidad primal y dual La solución, en las variables originales, es x 1 = 7, 2 x 2 = 5 con valor óptimo 145 La variables duales tiene valores 2 y 1 = 5/11, y 2 = 65/11 y y 3 = 0 con el mismo valor óptimo, por supuesto Asegúrense que entienden de dónde sale la solución dual Se recomienda a los estudiantes hacer este mismo ejemplo con diccionarios o tableaus para comparar Ahora un ejemplo usando el Simplex Dual Consideremos el problema: máx 4x 1 5x 2 sa x 1 4x 2 5 3x 1 2x 2 7 x 1, x 2 0

4 CO-5423 (V08) 20/05/ El primer TB se construye igual que antes: 1 x 1 x 2 x N B x N B x B x B x donde, al contrario que antes, tenemos factibilidad dual pero no primal, así que lo que se impone es aplicar el Simplex Dual Elegimos la la de x 4 pues su coeciente ( 7) es el más negativo (pero también podríamos elegir la de x 3 ) Luego realizamos el test del cociente en este caso: { } m n 4, y determinamos que entra la variable no básica x 1 dándole salida a x 4 Luego de pivotear obtenemos el segundo TB: = x 4 x 2 x 0 28/3 4/3 7/3 B x 1 7/3 1/3 2/3 N B x B x 3 8/3 1/3 10/3 Ahora elegimos la la de x 3 pues su coeciente ( 8/3) es el único negativo Luego realizamos el test { } del cociente: m n = 7 y determinamos que entra la variable no básica x 10 2 dándole salida 4, a x 3 Luego de pivotear, obtenemos el tercer TB:

5 CO-5423 (V08) 20/05/ x 4 x 3 x 0 112/10 11/10 7/10 B x 1 9/5 2/5 2/10 B x 2 4/5 1/10 3/10 N B x que es óptimo por mostrar factibilidad primal y dual La solución, en las variables originales, es x 1 = 9, 5 x 2 = 4 con valor óptimo 112/10 La solución dual es: 5 y 1 = 7/10 y y 2 = 11/10 con el mismo valor óptimo Notación: Ahora formulamos el Tableau de Beale en forma general para poder referirnos a sus elementos en los desarrollos sucesivos Consideramos un programa lineal de la forma: máx sa c T x Dx b x 0 Llamamos x 0 a la función objetivo que vale siempre a 00 y se inicializa en 0 Denimos también: a 0j = c j, j = 1,, n a n+i,j = d ij, i = 1,, m, j = 1,, n a n+i,0 = b i, i = 1,, m y denotamos a las holguras de Dx b por x n+i para i = 1,, m Notar que si todos los datos y las variables originales son enteros entonces toda solución factible cumple que x 0 y x n+1,, x n+m son enteros también

6 CO-5423 (V08) 20/05/ Inicialmente las holguras son básicas y las originales no básicas Re-escribimos el problema así: máx x 0 = a 00 + a 01 ( x 1 ) + + a 0n ( x n ) sa x 1 = ( 1) ( x 1 ) x n = ( 1) ( x n ) x n+1 = a n+1,0 + a n+1,1 ( x 1 ) + + a n+1,n ( x n ) x n+m = a n+m,0 + a n+m,1 ( x 1 ) + + a n+m,n ( x n ) x j 0 j = 1,, n + m que se traduce de forma natural en el Tableau de Beale inicial: 1 x 1 x n x 0 a 00 a 01 a 0n N B x N B x n B x n+1 a n+1,0 a n+1,1 a n+1,n B x n+m a n+m,0 a n+m,1 a n+m,n