APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Adriel R. Collazo Pedraja

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1 APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL Adriel R. Collazo Pedraja

2 2 INTRODUCCIÓN Este trabajo tiene como propósito proveer ayuda al estudiante para que pueda comprender y manejar más efectivamente el método símplex de programación lineal. Ilustraremos la aplicación a situaciones de maximización, minimización y análisis de sensibilidad. El Método Símplex como herramienta de programación lineal fue desarrollado para la época de los años cuarenta por George Dantzing, un joven matemático. El método constituye una forma sistemática y de búsqueda intensiva a través de todas las posibles soluciones para obtener una solución óptima. Ello resulta de gran utilidad debido a su eficiencia. Además es fácil programarlo en una computadora. En contraste con el análisis gráfico, este método permite el uso de muchas variables. También permite la aplicación de cantidades de restricciones lineales con signos; mayores e igual, menores e igual y de igualdad. En comparación con el método gráfico, el método símplex tiene como punto de partida el origen siendo este la solución inicial al problema. El método prueba todos los puntos extremos gráficos aunque no necesariamente se detiene en todos los vértices. Por otro lado utiliza el concepto de álgebra de matrices en una serie de tablones. EL PROBLEMA DE MAXIMIXACIÓN SÍMPLEX FORMULACIÓN INICIAL Utilizando el siguiente ejemplo estableceremos la formulación inicial símplex y demostraremos la mecánica del método y su interpretación. El gerente de la Relojería la Torre desea conocer la ganancia máxima que se puede obtener de la producción y venta de dos clases de relojes económicos digitales de pulsera. La ganancia que se obtiene por la producción y venta de un reloj de hombre es de $4 y de $6 para un reloj de mujer. La empresa cuenta con 120 horas semanales para la producción de los relojes y 100 horas para la inspección y empaque de estos. La fabricación de un reloj de hombre requiere 2 horas de producción y 2 horas de inspección y empaque. Mientras que un reloj de mujer requiere 4 horas de producción y 3 horas de inspección y empaque. La formulación del problema para esta situación es la siguiente: Maximizar Z = $4X 1 + $6X 2 Sujeto a: 2X 1 + 4X (horas de producción) 2X 1 + 3X (horas de inspección y empaque) (X 1, X 2 0) Donde X 1 = cantidad de relojes de hombre que se producen semanalmente. X 2 = cantidad de relojes de mujer que se producen semanalmente.

3 3 Luego de formular el problema procedemos a trabajar primero con las restricciones y luego con la función objetivo. Comenzamos cambiando los signos de las restricciones de desigualdades a igualdades. El método símplex requiere la conversión de las restricciones con signos de desiguales a igualdades estrictas. Esto se debe a que el método usa álgebra de matrices en donde todas las relaciones matemáticas serán a base de ecuaciones lineales y que a su vez deben contener todas las variables. Llamaremos a este procedimiento como aumento de las restricciones y de la función objetivo. AUMENTO DE LAS RESTRICCIONES Y DE LA FUNCIÓN OBJETIVO El aumento de las restricciones y de la función objetivo surge porque el método símplex comienza por definición en el origen es decir en el punto (0,0) y de este punto al valor de las restricciones existe una diferencia. Esta diferencia se conoce como holgura y por cada restricción que tenga el problema tendremos una o más variables las cuales el método tomará en consideración. Comencemos con la primera restricción: 2X 1 + 4X (horas de producción) Al analizar la restricción hallamos que el lado izquierdo es menor que el lado derecho. Para poder hacer el cambio de la desigualdad a igualdad tendremos que añadir una variable que absorba la diferencia entre ambos lados. En este caso la variable representa recursos no utilizados o recursos disponibles. Esta variable se conoce como variable de holgura o "Slack". La primera restricción se reformula asignándole una variable de holgura positiva conocida como S 1, la que aparecerá de la siguiente forma: 2X 1 + 4X 2 + S 1 = 120. La variable S 1 se relaciona con la primera restricción. De manera parecida procedemos a reformular la segunda restricción: 2X 1 + 3X (horas de inspección y empaque). Encontramos que esta restricción también posee un signo de desigualdad que es menor o igual por lo tanto el lado izquierdo es menor que el derecho. Para poder llevar la ecuación a igualdad tendremos que también añadir una variable de holgura positiva que absorba la desigualdad. De tal manera la segunda restricción se reformula de la siguiente forma: 2X 1 + 3X 2 + S 2 = 100 en donde S 2 se relaciona con la segunda restricción. Tenemos que ambas restricciones se presentan de la siguiente forma: 2X 1 + 4X 2 + S 1 = 120 2X 1 + 3X 2 + S 2 = 100 La variable de holgura S 1 representa las horas de producción no utilzazas y la variable S 2 representa las horas de inspección y empaque no utilizadas. Si por definición el método símplex comienza en el origen (0,0) donde X 1 = 0 y X 2 = 0, entonces esto significa que por ahora no hay producción de relojes de ninguna clase (X 1 = relojes de hombre y X 2 = relojes de mujer). El no tener producción significa que los recursos disponibles son 120 horas de producción y 100 horas de inspección y empaque. Esta situación la representamos de la siguiente forma para la primera restricción: 2X 1 +

4 4 4X 2 + S 1 = 120 donde X 1 = 0 y X 2 = 0. Al sustituir los valores de X 1 y X 2 en la primera restricción tendremos el siguiente resultado: 2(0) + 4(0) + S 1 = 120 por lo tanto S 1 = 120 horas disponibles es decir tenemos 120 horas de producción disponibles porque no hay producción alguna. Lo mismo sucederá con la segunda restricción: 2X 1 + 3X 2 + S 2 = 100, al sustituir, X 1 y X 2 en la segunda restricción, se obtendrá el siguiente resultado: 2(0) + 3(0) + S 2 = 100 por lo tanto S 2 = 100. Esto representa 100 horas disponibles para inspección y empaque. Por qué? Por que no hay producción. Por lo tanto cuando X 1 = 0 y X 2 = 0, S 1 = 120 horas y S 2 = 100 horas. Si hacemos una comparación gráfica, estaríamos en el origen, punto I, según lo demuestra la siguiente gráfica. 1 Para aquellas variables símplex que no aparecen en una ecuación se le añaden coeficientes de 0. Veamos la nueva formulación: 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120 2X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 100 Esto no afecta a las ecuaciones a las cuales se les agregan los coeficientes. Por ejemplo en la primera restricción S 2 posee un coeficiente de 0 porque la variable S 2 se refiere a la segunda restricción en donde en el punto (0,0) existe un sobrante de 100 horas. Estas horas se relacionan con la segunda restricción y no con la primera. De igual manera sucede con la segunda restricción. La variable S 1 se relaciona con la primera restricción indicando que hay disponible 120 horas. 1 Los modelos de gráfica son adaptados del programa QM.

5 5 Estas variables de holgura no producen ganancia alguna porque se relacionan con los recursos por lo tanto serán añadidas a la función objetivo y sus coeficientes serán 0 porque estas no aportan a la ganancia. Al reformular la función objetivo junto con las restricciones tendremos que estas se expresan de la siguiente forma: Maximizar Z (ganancia) = $4X 1 + $6X 2 + $0S 1 + $0S 2 Sujeto a: 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120 2X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 100 (X 1, X 2, S 1, S 2 0) COMO OBTENER UNA SOLUCIÓN INICIAL Las dos restricciones consideradas en la formulación del problema establecen dos ecuaciones y cuatro variables (X 1, X 2, S 1, S 2 ). El uso del álgebra para aquellos casos donde tenemos cuatro variables desconocidas y solo dos ecuaciones, conlleva igualar dos de las variables a 0 y luego resolvemos para las otras dos variables restantes. Es decir si X 1 = X 2 = 0 entonces S 1 = 120 y S 2 = 100. Esto se conoce como una posible solución o solución básica factible. El método símplex comienza con una solución inicial básica en donde todas las variables reales X j son cero. Esta solución siempre produce una ganancia de 0 y valores de las variables de holgura iguales al valor de las constantes que aparecen al lado derecho. Si se fija en la gráfica anterior la solución inicial símplex será el punto de origen (0,0). Esta es una solución posible pero no es la mejor solución. Como se indicó anteriormente el método símplex solo considera soluciones que son factibles, es decir no toma en consideración aquellas combinaciones de variables reales que violentan las restricciones ya que el método siempre cumple con estas. El violentar una o más restricciones conlleva la no existencia de una solución y algunos mencionan esta situación como solución o soluciones no factibles.

6 6 CUADRO INICIAL Colocamos todos los coeficientes y constantes en un tablón. Esto simplifica el manejo de las ecuaciones y de la función objetivo. Veamos el siguiente modelo para un cuadro inicial. C j = forma aumentada de los coeficientes de la función objetivo C i = coeficientes de las variables básicas a ij = forma aumentada de los coeficientes de las restricciones o tasa de sustitución b i = valores del lado derecho de las restricciones z = valor de la función objetivo Z j = reducción de ganancias, aumento en costos asociados con la introducción de una de sus valores en las columnas respectivas Z j = C j - Z j = índice de mejoramiento o renglón de criterio símplex Ratio = límites introductorios En suma, con estos parámetros del tablón símplex tenemos dos clases de variables a considerarse, variables básicas y variables no básicas. Por definición las variables básicas son aquellas que poseen un Z j = 0 y las variables no básicas poseen Z j desiguales a 0. Procedemos a llenar el cuadro inicial utilizando la función objetivo y las restricciones de forma aumentada. Maximizar Z (ganancia) = $4X 1 + $6X 2 + $0S 1 + $0S 2 Sujeto a: 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120 2X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 100 (X 1, X 2, S 1, S 2 0)

7 7 Comenzamos con la función objetivo. Luego seguimos con los coeficientes de las restricciones o tasa de sustitución y la constante o el valor derecho de las restricciones. Por ejemplo para la primera restricción el coeficiente que representa horas de consumo del recurso de producción para relojes de hombres (X 1 ) es 2 horas y se ubica en la primera fila, primera columna. La posición en el tablón será a 11 y así sucesivamente con los demás coeficientes. Para los relojes de mujer (X 2 ) es 4 horas y estará ubicada en la posición a 12 en el tablón. En relación al lado derecho de la primera restricción el valor de b 1 es 120. Hacemos lo mismo para la segunda restricción. Veamos el siguiente cuadro. En este cuadro inicial las variables básicas, que están en la solución, son las variables de holgura S 1 y S 2. Estas variables estarán ubicadas a lado izquierdo del tablón y sus Z j son cero. Esto sucede porque la solución inicial símplex es en el origen (0,0) por lo tanto si X 1 = 0 y X 2 = 0 entonces al no fabricar ningún tipo de relojes, los recursos disponibles serán S 1 = 120 horas de producción y S 2 = 100 horas de inspección y empaque. Los coeficientes C i de estas variables básicas son 0 porque no tienen efecto sobre la ganancia y estarán localizados en la parte izquierda dentro del tablón. Busquemos ahora los valores para Z j. Si no se están fabricando relojes entonces los costos o la reducción en las ganancias tiene que ser cero así como el valor final de la función objetivo Z. Por ejemplo la producción de la variable de decisión real X 1 (relojes de hombres) consume 2 horas de producción y 2 horas de inspección y empaque según lo indica sus coeficientes a ij o tasa de sustitución. Como no hay producción, la variable básica para la primera restricción o primer recurso será S 1 = 120 con un coeficiente C 1 = 0, es decir 0 aportación a las ganancias. De igual forma sucede con la segunda restricción en donde C 2 = 0.

8 8 Esta situación se refleja de la siguiente forma Z j = Σ C ij a ij. C 1 a 11 C 2 a 21 Z 1 = (0)(2) + (0)(2) = 0; este valor irá en la primera columna para el renglón Z j debajo de la columna X 1. C 1 a 12 C 2 a 22 Z 2 = (0)(4) + (0)(3) = 0; este valor irá en la segunda columna para el renglón Z j debajo de la columna X 2. C 1 a 13 C 2 a 23 Z 3 = (0)(1) + (0)(0) = 0; este valor irá en la tercera columna para el renglón Z j debajo de la columna S 1. C 1 a 14 C 2 a 24 Z 4 = (0)(0) + (0)(1) = 0; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Z j debajo de la columna S 2. El cálculo para hallar la ganancia (Z), con valor es 0 se realiza de forma parecida donde Z = Σ C ij b i. Z = (0)(120) + (0)(100) = 0 Trasladamos estos datos al tablón inicial. El último paso para terminar el tablón será calcular los cambios en Z j, ( Z j ) para las columnas. Estos cambios se calculan restando los coeficientes de la función objetivo por el Z j correspondiente es decir Z j = C J - Z j. Z 1 = C 1 - Z 1 = 4 0 = 4 Z 2 = C 2 - Z 2 = 6 0 = 6 Z 3 = C 3 - Z 3 = 0 0 = 0 Z 4 = C 4 - Z 4 = 0 0 = 0

9 9 Trasladamos estos datos al tablón inicial y tenemos nuestro primer tablón símplex. Analizamos el tablón y encontramos que este posee una matriz identidad. La matriz identidad es aquella que está compuesta por diagonales de 1 y cero. Para este ejemplo la matriz se encuentra debajo del las variables de holguras S 1 y S 2. Al obtener una solución final la matriz identidad se trasladará al lado derecho debajo de las variables reales X 1 y X 2 o se obtendrá algo parecido a una matriz identidad. INTERPRETACIÓN DEL PRIMER CUADRO SÍMPLEX Para poder interpretar y analizar el primer tablón, procedemos a buscar las variables básicas y no básicas y leer sus valores. Las variables básicas son aquellas que están en la solución y poseen cambios en Z j de cero, ( Z j = 0) y valores positivos o cero en el lado derecho (b i 0). Los valores de las variables básicas, aquellas que se encuentran al lado derecho extremo, deberán ser siempre mayores o iguales a cero porque no existen negativos recursos o porque no se puede manufacturar negativos productos. Al estudiar el tablón encontramos que la variable S 1 posee un Z j = 0 con un valor 120 horas de producción. Este valor de 120 aparece a la extrema derecha del primer renglón (b 1 ). De igual forma la variable S 2 posee Z j = 0 con un valor 100 horas de inspección, valor que aparece a la extrema derecha del segundo renglón (b 2 ). Al estudiar los Z j para las variables antes mencionadas encontramos que S 1 y S 2 son variables básicas. Contrario a las variables básicas, las variables no básicas, no están en la solución y son aquellas que poseen cambios en Z j desiguales a cero ( Z j 0) y con valores de 0 (b i = 0). Los valores de las variables no básicas siempre serán cero porque estas variables no están en la solución. Al leer el tablón hallamos un Z 1 = 4 para la variable X 1 y un Z 2 = 6 para la variable X 2. Esto indica que X 1 y X 2 son variables no básicas y que sus valores son cero. Por último se desprende del tablón que la ganancia, (Z j ) es cero. Este valor de 0 aparece en el tablón a la extrema derecha del renglón Z j. En conclusión no se están fabricando relojes de hombre ni de mujer (variables no básicas X 1 = 0 y X 2 = 0). Se tienen disponible 120 horas semanales de producción y 100 horas semanales de inspección y empaque (variables básicas S 1 y S 2 respectivamente) para una ganancia semanal de $0.

10 10 MEJORANDO EL CUADRO INICIAL Para mejorar la solución el método símplex seleccionará el mejor cambio en Z j, ( Z j ), es decir el más grande o más positivo. Este cambio nos indicará que variable deberá entrar en la próxima solución. Si tomamos en consideración la función objetivo: Maximizar Z = $4X 1 + $6X 2 + $0S 1 + $0S 2, lo más seguro que usted escogerá la variable X 2 como aquella que conviene producir, porque esta nos da un rendimiento mayor que la variable X 1, ya que la ganancia que provee X 2 es de $6 en comparación con la ganancia de $4 que proporciona la variable X 1. Aparentemente la compañía ganará más si vende relojes para las damas en vez de relojes para caballeros. El método símplex hace un análisis parecido. Siempre selecciona el mejor coeficiente. Como se está maximizando, el método escogerá el valor que otorgue el mayor rendimiento, es decir el más positivo y el más negativo para casos de minimización. Utilizando la solución del cuadro inicial, seleccionamos el mejor cambio en Z j, entre Z 1 = 4 para la columna X 1 y el Z 2 = 6 para X 2 y lo circulamos. Este mejor cambio nos indicará qué variable no básica en la columna se convertirá en variable básica. Es decir, qué variable se va a producir y que a su vez provea un mejor rendimiento o una nueva y mejor solución al problema. También el mejor cambio en Z j, Z 2 = 6 en este caso, aumentará la ganancia actual de $0 por seis veces el numero de unidades entrantes, relojes de mujer. El método seleccionará la variable X 2 porque esta posee el mejor cambio en Z j, circulamos la columna X 2 y a esta columna se le conoce como la columna pivote. El método ha seleccionado la producción de relojes de damas, (X 2 ) pero queremos conocer cuántos relojes de mujer se van a manufacturar. Existen dos restricciones que limitan la producción de los relojes de damas (X 2 ) estas son: 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120 (horas de producción) y 2X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 100 (horas de inspección y empaque). Al analizar la primera restricción, 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120 (horas de producción) encontramos que todas las horas de producción se utilizan para fabricar la variable X 2 por lo tanto si la producción de una unidad de X 2 toma 2 horas y se tienen en existencia 120 horas entonces se manufacturarán 30 relojes, (120 horas 4 horas por unidad = 30 relojes de damas). No obstante, para poder completar el proceso de producción, debemos inspeccionar y luego empaquetar los relojes donde la cantidad disponible de horas para el anterior proceso mencionado es de 100 horas.

11 11 El estudio de la segunda restricción, 2X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 100, demuestra que el proceso de inspección toma 3 horas donde solo se pueden inspeccionar relojes de damas. 2 Por lo tanto a pesar de que la segunda restricción indica que se puede inspeccionar y empaquetar más relojes (33.33) de los que se pueden producir (30), en realidad solo hay recursos para hacer 30 relojes. Si por error se decide manufacturar relojes entonces habrá una deficiencia de horas necesarias para completar la producción. Veamos el porqué de lo antes mencionado. La fabricación de relojes requiere 4 horas por cada reloj del recurso horas de producción, para un total de horas requeridas (4 horas x relojes). El total de horas disponible para la producción de relojes son 120 por lo tanto faltarán horas para poder hacer los relojes ( ). Esto significa que la producción se quedará corta por 3.33 relojes ( horas 4 horas de producción). El proceso mecánico del método símplex toma en consideración lo antes mencionado mediante el cálculo de un Ratio o límite introductorio para cada renglón y luego selecciona el Ratio positivo más pequeño entre los renglones. Este Ratio indica la razón de entrada y salida para la nueva variable básica. Esto aplica para ambos casos, maximización y minimización. Es decir sabemos que la variable entrante, la nueva variable básica es X 2 y ésta deberá ocupar su lugar al lado extremo izquierdo donde están ubicadas las variables de holguras S 1 y S 2. La búsqueda del mejor Ratio nos indicará cuál de las variables básicas, S 1 y S 2 saldrá para dar paso a la nueva variable entrante, variable básica X 2 o lo que es lo mismo en cuál fila se ubicará la variable. Para lograr lo antes mencionado, el método calcula para cada renglón un Ratio, dividiendo el valor del lado derecho (b i ) entre el coeficiente a ij correspondiente y luego selecciona el positivo más pequeño. Para este caso se usarán los coeficientes a ij correspondiente a la columna pivote (columna X 2 ). b i a ij = Ratio (b 1 ) (a 12 ) S = 30» límite positivo más pequeño (renglón pivote) (b 2 ) (a 22 ) S = El ratio positivo más pequeño es 30 por lo tanto la variable S 1 ubicada en el primer renglón saldrá y en su lugar la ocupará la variable X 2. A este renglón saliente se le conoce como renglón pivote porque sale para dar paso a la entrada de la nueva variable básica provista por la columna pivote. Es decir sale la variable S 1, entra la variable X 2 y se producen 30 unidades. Se podrá seleccionar el cero como el valor positivo más pequeño de ser necesario, ante la ausencia de un ratio positivo. Véase tablón símplex en la siguiente página. 2 La cantidad de relojes que se inspeccionan y empacan deberá ser un número entero y no fraccionar. Para evitar esta situación se utiliza el enfoque de programación para enteros, el cual no veremos en este trabajo.

12 12 El propósito del Ratio es saber el número máximo de unidades que se pueden asignar a la variable que entra y así evitar que las variables básicas tengan valores negativos o se violenten las restricciones. La selección errónea de como el mejor Ratio violenta la primera restricción causando un faltante de horas (33.33 x 4 horas 120 horas disponibles de producción) y como consecuencia de está decisión, la producción se quedará corta por 3.33 relojes ( horas 4 horas de producción). El Ratio seleccionado indica una producción de 30 relojes y la columna pivote indica que estos relojes serán de damas (X 2 ). Si la aportación a las ganancias de la variable X 2 son $6 por unidad entonces la ganancia total será de $180; ($6)(30 relojes). Para expresar esta relación de entrada y salida se hace el cálculo para nuevo renglón pivote y se trasladan los resultados al segundo tablón símplex. El cálculo del nuevo renglón se realiza dividiendo el renglón pivote entre el elemento de intersección de la columna y el renglón pivote. Elemento Nuevo Renglón Pivote Intersección = Renglón Pivote (2, 4, 1, 0; 120) 4 = (½, 1, ¼, 0; 30)» Trasladar al segundo tablón. La justificación para que el renglón pivote se divida entre el elemento de intersección viene de las ecuaciones lineales. El ratio positivo más pequeño seleccionado de 30 se obtuvo de la primera ecuación y de la división del valor o la constante al lado derecho (b 1 ) de 120 entre 4. Ahora bien, cualquier ajuste que se realice a un elemento de una ecuación afecta a todos los demás elementos de esa ecuación. Es decir lo que se le haga a un lado de la ecuación afecta toda la ecuación lineal. Por ejemplo la división entre 4 al valor del lado derecho de 120 para la restricción, 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120, afecta toda la ecuación por lo tanto toda la ecuación lineal se divide entre 4. El resultado obtenido es igual al nuevo renglón pivote. 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120 = (½ X 1 +1X 2 + ¼ S 1 + 0S 2 ; 30) «Nuevo renglón 4 pivote

13 13 Luego de producir las 30 unidades de X 2 se requieren que en su totalidad se inspeccionen y se empaquen para la venta. La segunda restricción se relaciona con este proceso, 100 horas disponibles. La sustitución del valor de X 2 en la ecuación lineal, 2X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 100, indica el uso de 90 horas que se consumen del total de 100 horas disponibles del segundo recurso, creando un sobrante de 10 horas. El resultado anterior se obtiene sustituyendo X 1 = 0 y X 2 = 30 en la segunda ecuación. 2(0) + 3(30) + 0S 1 + 1S 2 = 100 S 2 = = 10 (horas disponibles) Este procedimiento se conoce como revisión de los renglones y es mandatario para todas las filas, excluyendo el nuevo renglón pivote. A continuación se resume el proceso de revisión de los renglones según el método símplex: 1. Halle el elemento de intersección que se encuentra entre la columna pivote y el renglón a revisarse. (3 para nuestro ejemplo) 2. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de intersección. (½, 1, ¼, 0; 30) x (3) = (- 3 / 2, -3, -¾, 0; -90) 3. Súmele algebraicamente al el renglón negativo el renglón que se está revisando y trasládelo al próximo tablón. (segundo tabla símplex) (- 3 / 2, -3, -¾, 0; -90) S 2 : + ( 2, 3, 0, 1; 100) ( ½, 0, -¾, 1; 10) Al igual que para el tablón inicial habrá que buscar los valores Z j para la nueva tabla símplex. (Z j = Σ C ij a ij.), llevarlos al segundo tablón y luego buscar la ganancia de manera parecida donde Z = Σ C ij b i. C 2 a 11 C 2 a 21 Z 1 = (6)(½) + (0)(½) = 3; este valor irá en la primera columna para el renglón Z j debajo de la columna X 1. C 2 a 12 C 2 a 22 Z 2 = (6)(1) + (0)(0) = 6; este valor irá en la segunda columna para el renglón Z j debajo de la columna X 2. C 2 a 13 C 2 a 23 Z 3 = (6)(¼) + (0)(-¾) = 3 / 2; este valor irá en la tercera columna para el renglón Z j debajo de la columna S 1. C 1 a 14 C 2 a 24 Z 4 = (6)(0) + (0)(1) = 0; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Z j debajo de la columna S 2. Z = (6)(30) + (0)(10) = 180 Finalmente para completar el tablón habrá que buscar los Z j correspondientes donde Z j = C J - Z j.

14 14 Z 1 = C 1 - Z 1 = 4 3 = 1 Z 2 = C 2 - Z 2 = 6 6 = 0 Z 3 = C 3 - Z 3 = 0 3 / 2 = - 3 / 2 Z 4 = C 1 - Z 4 = 0 0 = 0 INTERPRETACIÓN DE LA SEGUNDA TABLA SÍMPLEX El siguiente tablón símplex hace un resumen de todos los datos pertinentes a la empresa para ser interpretados. La búsqueda de la solución actual se obtiene al interpretar los resultados del segundo cuadro. Se analizan las variables básicas y no básicas, se leen el valor de estas variables y finalmente se busca la ganancia. Las variables básicas son aquellas con Z j = 0 y con valores al lado derecho (b i ) mayores e iguales a cero. La razón por la cual estos cambios son cero se debe a que estas variables hicieron su aportación máxima a la ganancia. La variable X 2 posee con Z 2 = 0 y su valor a la extrema derecha (b 1 ) es 30. Mientras que la variable S 2 también posee un Z j = 0 con un valor de 10. Note que para ambas variables existe un coeficiente de 1, ubicado en la intersección entre la columna y el renglón donde se encuentra la variable. Las variables no básicas son aquellas con Z j 0 y con valores de cero. Su valor es cero porque no están o no aportan a la solución. Además estás variables tienen cambios positivos o negativos. Las variables no básicas para el segundo tablón son: X 1 con Z 1 = 1 y S 1 con Z 3 = - 3 / 2 y los valores de estas dos son cero. La ganancia (Z j ) será de $180. Se puede cotejar si la ganancia expresada en el tablón es la correcta utilizando la siguiente relación aritmética; Z i +1 = Z i + (mejor Z j )( mejor Ratio). Z II = Z I + (mejor Z I )( mejor Ratio I ). Z II = $0 + ($6)(30 ) = $180.

15 15 En conclusión la mezcla para la producción de los relojes se encuentra en el punto (0, 30) en donde la producción semanal será de 30 relojes de mujer y 0 relojes de hombre. Además se utilizó el total de horas de producción para hacer los relojes y existe un sobrante de 10 horas disponibles de inspección y empaque para una ganancia de $180. Al comparar la solución símplex con el análisis gráfico encontramos la solución en el punto II. TERCER TABLÓN SÍMPLEX Un vistazo a las variables no básicas en el segundo tablón símplex demuestra la existencia de Z j positivos. Esto indica que el tablón no es final óptimo. La solución se puede mejorar al seleccionar el Z j más positivo. Este cambio provee una ganancia mayor que la anterior. La variable X 1 tiene el Z j más positivo, Z 1 = 1. Esto indica que la solución se puede mejorar si se decide entrar a la base la variable X 1. La selección de ésta variable aumenta la ganancia por $1 según la cantidad entrante de X 1 unidades. El método selecciona la variable no básica con el Z j = 1 por lo tanto X 1 será la nueva columna pivote. (Véase página 16) Luego se buscan los Ratio para cada renglón y se escoge el positivo más pequeño entre estos. b i a ij = Ratio (b 1 ) (a 11 ) X 2 30 ½ = 60 (b 2 ) (a 21 ) S 2 10 ½ = 20» límite positivo más pequeño (renglón pivote)

16 16 El renglón S 2 sale para dar entrada a la variable X 1. Esto indica una producción de 20 unidades de X 1, relojes de hombres. Fabricar relojes de hombre causa un efecto negativo en la producción de relojes de mujer (X 2 ) porque habrá que hacer una reducción en la cantidad de relojes de mujer que se producen ya que para la solución anterior (cuadro II) se usaron todas las horas de producción (S 1 ) en los relojes de mujer variable (X 2 ). Esta situación que presenta el método se puede plasmar y ver su resultado mediante el análisis de las tasas de substitución (a ij ) provista por las ecuaciones lineales en el corazón del tablón símplex. Por ejemplo las ecuaciones lineales originales son: 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120 (horas de producción) 2X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 100 (horas de inspección y empaque) La producción de 20 unidades de X 2 (relojes de mujer) utiliza un total de 80 horas de producción (20 unidades x 4 horas) para un restante de 40 horas disponibles (120 total horas 80 horas utilizadas). Como la variable X 1 (relojes de hombre) se quedó en la fila, es decir es una variable básica entonces las 40 horas restantes y disponibles se utilizarán para producir X 1. De la primera restricción se desprende que la variable básica X 1 utiliza 2 horas del primer recurso (horas de producción) por lo tanto se producirán 20 unidades (40 horas restantes y disponibles 2 horas). Observe que al sustituir los valores de la mezcla de producción: X 1 = 20, X 2 = 20 en las restricciones y en la función objetivo, se agotan o se consumen al máximo todos los recursos para obtener una ganancia de $200. Veamos, primero sustituimos en las restricciones los valores de X 1 = 20, X 2 = 20 y luego en la función objetivo. Primera restricción, 2X 1 + 4X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 120 2(20) + 4(20) + 1S 1 + 0S 2 = 120 (horas de producción) 1S 1 + 0S 2 = = 0 S 1 = 0 Segunda restricción, 2X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 100 2(20) + 3(20) + 0S 1 + 1S 2 = 100 (horas de inspección y empaque) S 2 = = 0 S 2 = 0 Función objetivo, Maximizar Z = $4X 1 + $6X 2 Maximizar Z = $4(20) + $6(20) = $80 + $120 = $200 Resumiendo, la solución para el tercer tablón será: X 1 = 20, X 2 = 20, S 1 = 0, S 2 = 0 y Z j = $200.

17 17 Para completar el tercer tablón, repetimos el proceso mecánico símplex. A continuación se resume el procedimiento. 1. Busque el mejor el Z j más positivo, Z j = 1 para la columna X Halle el Ratio positivo más pequeño, R 2 = 20, S 2 renglón pivote. 3. Halle el renglón pivote, (½, 0, -¾, 1; 10) 4. Halle el nuevo renglón pivote y trasládelo a próximo tablón (tabla III) a. Busque el elemento de intersección que se encuentra entre la columna pivote y el renglón pivote. (½ para nuestro ejemplo) y divida el renglón pivote entre el elemento de intersección. (½, 0, -¾, 1; 10) (½); para este caso es más fácil multiplicar el renglón pivote por el inverso de la fracción, es decir 2. (½, 0, -¾, 1; 10) x (2) = (1, 0, - 3 / 2, 2, 20)» Nuevo renglón pivote 5. Revise los renglones restantes para nuestro ejemplo la fila X 2. a. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de intersección. (1, 0, - 3 / 2, 2, 20) x (½) = (- ½, 0, ¾, -1; -10) b. Súmele algebraicamente al renglón negativo el renglón que se está revisando y trasládelo al próximo tablón. (III tabla símplex) (- ½, 0, ¾, -1; -10) X 2 : + ( ½, 1, ¼, 0; 30) ( 0, 1, 1, -1; 20) 6. Halle los valores Z j para la nueva tabla símplex. (Z j = Σ C ij a ij.) C 2 a 11 C 2 a 21 Z 1 = (6)(0) + (4)(1) = 4; este valor irá en la primera columna para el renglón Z j debajo de la columna X 1.

18 18 C 2 a 12 C 2 a 22 Z 2 = (6)(1) + (4)(0) = 6; este valor irá en la segunda columna para el renglón Z j debajo de la columna X 2. C 2 a 13 C 2 a 23 Z 3 = (6)(1) + (4)(- 3 / 2 ) = 0; este valor irá en la tercera columna para el renglón Z j debajo de la columna S 1. C 1 a 14 C 2 a 24 Z 4 = (6)(-1) + (4)(2) = 2; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Z j debajo de la columna S Halle la ganancia donde Z = Σ C ij b i. Z = (6)(20) + (4)(20) = Halle los Z j correspondientes donde Z j = C J - Z j. Z 1 = C 1 - Z 1 = 4 4 = 0 Z 2 = C 2 - Z 2 = 6 6 = 0 Z 3 = C 3 - Z 3 = 0 0 = 0 Z 4 = C 1 - Z 4 = 0 2 = -2 Leemos el tercer tablón, buscamos las variables básicas, no básicas, la ganancia e interpretamos la solución. Las variables básicas son aquellas que poseen Z j = 0 y sus valores al lado derecho extremo son positivo. La variable X 1 y X 2 poseen Z j = 0 y un coeficiente de 1 en la intersección entre la columna y fila donde se encuentra la variable. El valor para la variable X 1 es de 20 unidades mientras que X 2 posee un valor también de 20 unidades. Por otra lado las variables no básicas poseen Z j 0, (positivos o negativos) mientras que su valor es 0. De la tabla se desprende a S 1 y S 2 como variables no básicas y ambas con valores de 0. La ganancia (Z j ) que se obtiene de la mezcla de producción son $200. Se puede cotejar si la ganancia expresada en el tablón es la correcta utilizando la siguiente relación aritmética; Z i +1 = Z i + (mejor Z j )( mejor Ratio). Z III = Z i + (mejor Z II )( mejor RatioII) Z III = (1)(20) = 200

19 19 El análisis de todos los Z j para el tercer tablón indica que la solución es final óptima. Esto se debe a que la única manera para mejorar la solución es que una variable no básica se convierta en variable básica. Para que esto suceda la variable no básica debe tener un cambio positivo de manera que al seleccionarse aumente la ganancia. De seleccionarse una variable con cambio negativo, esta reducirá la ganancia. En resumen, para casos de maximización una solución será óptima si está posee Z j de cero para las variables básicas y negativo para las variables no básicas. En conclusión el tablón final indica que la mezcla para la producción de los relojes se encuentra en el punto (20, 20) en donde la producción semanal será de 20 relojes de hombre (X 1 ) y 20 relojes de mujer (X 2 ). Se utilizó todos los recursos para obtener una ganancia máxima semanal de $200. En la solución gráfica, véase gráfica, aparecen cuatro puntos extremos que son soluciones posibles, estas se prueban hasta obtener una solución óptima. El método símplex probó todas las esquinas de la solución gráfica en solo tres tablones.

20 20 EL PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN La solución para un problema de minimización se simplifica después de haber practicado un problema de maximización. La diferencia en el procedimiento es mínima. Veamos el siguiente ejemplo. La empresa Que Lindo Perrito se dedica a la producción y venta de comida seca para perros. La compañía produce y empaca dos clases de comidas en bolsos de 20 libras, estos son a saber; comida seca para perros en crecimiento y comida seca para perros adultos. El costo semanal de fabricar un saco de comida para crecimiento es de $5 y para adultos de $7. A la comida para crecimiento se le puede añadir un máximo de 200 unidades de vitaminas mientras que la comida para perros adultos deberá tener un mínimo de 100 unidades. El total de unidades de vitaminas para la mezcla deberá ser exactamente 800 unidades. La formulación para este problema de programación lineal es la siguiente. Minimizar Z = $5X 1 + $7X 2 Sujeto a: 1X (unidades de vitaminas para perros en crecimiento) + 1X (unidades de vitaminas para perros adultos) X 1 + X 2 = 800 (total de unidades de vitaminas) (X 1, X 2 0) Donde X 1 = unidades de vitaminas para las bolsas de comida para crecimiento X 2 = unidades de vitaminas para bolsas de comida perros adultos AUMENTO DE LAS RESTRICCIONES Y DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Al igual que en el caso de maximización, antes discutido, se comienza aumentando las restricciones y luego la función objetivo. La primera restricción, 1X (unidades de vitaminas para perros en crecimiento) posee un signo de desigualdad por lo tanto se le asigna una variable de holgura positiva. 1X 1 + S 1 = 200 La segunda restricción, 2X 1 + 3X (unidades de vitaminas para perros adultos) tiene un signo mayor e igual, es decir el lado izquierdo es mayor que el lado derecho. Para poder igualar la restricción habrá que restar una variable de holgura. Esta variable se conoce como una variable de holgura negativa o de excedente o superflua. 0X 1 + 1X 2 -S 2 = 100 Como el método símplex comienza en el origen, esto significa desafortunadamente que en el punto de solución inicial (0,0) el valor de la variable S 2 será de -100.

21 21 Esto se debe a que se sustituyó el punto (0,0) en la ecuación obteniendo el resultado antes mencionado. 1(0) -S 2 = 100, S 2 = -100 No es permitido un valor negativo para la variable de holgura. Este valor negativo representa la falta de recurso. No se puede asignar una cantidad negativa de vitaminas para las bolsas de comida de perro. Para remediar esta situación se le asignará una variable artificial a la restricción al lado izquierdo en adición a la variable de holgura negativa. La variable artificial absorberá la negatividad de la variable de holgura. 1X 2 -S 2 + A 2 = 100 La variable artificial posee un subíndice de 2 porque pertenece a la segunda restricción. Su interpretación, es de una variable de holgura negativa que demuestra por cuántas unidades la solución final violenta la segunda restricción. Cuando se encuentra una solución que no violente la restricción, A 2 será cero (0) y se quedará con ese valor. Su único propósito es el proveer una solución inicial con valores no negativos. La tercera restricción, X 1 + X 2 = 800 (total de unidades de vitaminas), se le añadirá una variable artificial para no violentar la restricción. A menos que la restricción pase por el origen, de lo contrario existirá una diferencia entre el origen y la igualad de la restricción. La variable artificial absorberá esta diferencia X 1 + X 2 + A 2 = 800 Siempre que se incorpore una variable de holgura o artificial a una restricción, habrá que agregarlas en las demás restricciones y en la función objetivo. En una solución óptima, las variables artificiales no pueden ser variables básicas. La razón para que estas se excluyan en la solución óptima es que estas absorben la negatividad de la variable de holgura. También representan por cuantas unidades no se ha cumplido con la restricción. Para eliminar estas variables artificiales se le asigna un costo extremadamente alto para los casos de minimización y una reducción grande en las ganancias para los casos de maximización. En problemas de minimización las variables con costos bajos son deseables y son las primeras en entrar a la solución y las variables con costos altos serán rápidamente eliminadas. Para lograr esto utilizaremos el método de la M grande. El método de la M grande permite la eliminación de estas variables hasta donde sea posible. El método utiliza la letra $M en vez de dólares para representar un número muy grande. Le asigna un coeficiente de +$M, costo muy alto en casos de minimización y -$M, reducción de ganancias para maximización. Las variables de holgura negativa tienen un costo de cero.

22 22 Acomodamos las restricciones y la función objetivo con sus nuevas variables de holgura y artificiales. Minimizar Z (costo) = $5X 1 + $7X 2 + $0S 1 + $0S 2 + MA 2 + MA 3 Sujeto a: 1X 1 + 0X 2 + 1S 1 + 0S 2 + 0A 2 + 0A 3 = 200 0X 1 + 1X 2 + 0S 1-1S 2 + 1A 2 + 0A 3 = 100 1X 1 + 1X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0A 2 + 1A 3 = 800 (X 1, X 2, S 1, S 2, A 2, A 3 0) COMO OBTENER UNA SOLUCIÓN INICIAL El tablón símplex inicial se construye de manera parecida al anterior ejemplo de maximización. Las variables básicas en la solución inicial son aquellas que poseen signos positivos en este caso son las de holgura positivas (S 1 ) y las artificiales (A 2 y A 3 ). Veamos cuales de las variables son básicas a ser asignadas al tablón inicial. La primera restricción, 1X 1 200; S 1, se asigna la variable S 1» Variable básica La segunda restricción, 1X 2 100; -S 2 + A 2, se asigna la variable A 2» Variable básica La tercera restricción, X 1 + X 2 = 800; A 3, se asigna la variable A 3»Variable básica Luego de trasladar las ecuaciones a la tabla inicial procedemos a buscar los valores de Z j y los Z j correspondientes y los llevamos al tablón inicial. Z 1 = (0)(1) + (M)(0) + (M)(1) = M Z 2 = (0)(0) + (M)(1) + (M)(1) = 2M Z 3 = (0)(1) + (M)(0) + (M)(0) = 0 Z 4 = (0)(0) + (M)(-1) + (M)(0)= -M Z 5 = (0)(0) + (M)(1) + (M)(0)= M Z 6 = (0)(0) + (M)(0) + (M)(1)= M Z = (0)(200) + (M)(100) + (M)(800) = 900M Z 1 = C 1 - Z 1 = 5 M = 5-M Z 2 = C 2 - Z 2 = 7 2M = 7-2M Z 3 = C 3 - Z 3 = 0 0 = 0 Z 4 = C 4 - Z 4 = 0 M = M Z 5 = C 5 - Z 5 = M M = 0 Z 6 = C 6 - Z 6 = M M = 0

23 23 Para la tabla inicial buscamos las variables básicas, no básicas e interpretamos la solución. Las variables básicas como se ha mencionado son aquellas que poseen Z j = 0, mientras que las variables no básicas tienen Z j 0. Las variables: S 1, A 2 y A 3 son básicas, mientras que las variables: X 1, X 2 y S 2 son variables no básicas porque tienen cambios negativos y sus valores son cero. El valor de la variable básica S 1 es de 200 y significa, la existencia de 200 unidades disponibles de vitaminas para perros en crecimiento. Las variables artificiales significan que no se ha cumplido con la restricción. El valor de 100 para la variable A 2 indica el incumplimiento por la cantidad de 100 unidades de la segunda restricción, 1X (unidades de vitaminas para perros adultos). Esta restricción exige que se agreguen por lo menos 100 unidades y su incumplimiento se debe a que la solución inicial está en el punto (0,0). De igual manera sucede con la variable A 3. Está variable se refiere a la tercera restricción e indica el incumplimiento de la restricción por 800 unidades. Al sustituir los valores de X 1 y X 2 faltarán las 800 unidades para su cumplimiento. Para la tercera restricción sustituimos los valores de X 1 = 0 y X 2 = 0, entonces A 3 = 800 por lo tanto A 3 = 800. Cuando se cumpla con la tercera restricción entonces la variable artificial dejará de ser básica y tendrá un valor de cero. Siempre se violentarán las restricciones mientras una variable artificial se mantenga como básica. En conclusión no se asignan vitaminas para alimentos de perros en crecimiento, (X 1 = 0) ni vitaminas para perros adultos, (X 2 = 0), y se podrá agregar 200 unidades de vitaminas para perros en crecimiento. Se incumple con la segunda restricción por 100 unidades y con la tercera restricción por 100 unidades y el costo es alto.

24 24 SEGUNDO TABLÓN SÍMPLEX La construcción del segundo tablón símplex comienza con la búsqueda de la columna pivote. En el método de la M grande, los Z j son afectados según el valor asignado a la variable M. Para seleccionar el mejor cambio, asignamos un valor extremadamente alto en comparación con los coeficientes de X 1 y X 2. Un valor de $100 es bastante alto si este es comparado con $5 y $7. Asignamos el valor de $100 y los sustituimos en los cambios. La selección del Z j más negativo o el costo más bajo, -193, nos indica que la columna pivote es la segunda columna. Z 1 = 5-(100) = = -95 Z 2 = 7-2(100) = = -193 La variable X 2 entrará a la base. Luego se buscan los Ratio para cada renglón y se escoge el positivo más pequeño entre estos. b i a ij = Ratio S = (No definido) A = 100» límite positivo más pequeño (renglón pivote) A = 800 El renglón A 2 sale para dar entrada a la variable X 2. Esto indica una asignación de 100 unidades para X 2. Después que una variable artificial sale de la base o deja de ser variable básica esta no podrá entrar a la base. Esto sucede porque el costo de entrar la variable es muy alto y el método descartará la variable. Es recomendable aunque no necesario, la eliminación de la columna A 2 en el tablón. Esto hace el cálculo aritmético más fácil porque la tabla tiene menos elementos. De existir una solución óptima, el tablón final será más pequeño.

25 25 Se repiten los pasos aprendidos en el caso de maximización para completar el segundo cuadro. 1. Halle el renglón pivote, (0, 1, 0, -1, 0; 100). Se eliminó la columna A Halle el nuevo renglón pivote y trasládalo a próximo tablón (tabla II) a. Busque el elemento de intersección que se encuentra entre la columna pivote y el renglón pivote. (1 para nuestro ejemplo) y divida el renglón pivote entre el elemento de intersección. b. Para este ejemplo el elemento de intersección es 1 por lo tanto el nuevo reglón pivote será igual que el renglón pivote. (0, 1, 0, -1, 0; 100) (1). (0, 1, 0, -1, 0; 100) (1) = (0, 1, 0, -1, 0; 100)» Nuevo renglón pivote 3. Revise los renglones restantes, a. para la fila S 1. i. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de intersección. (0, 1, 0, -1, 0; 100) x (0) = (0, 0, 0, 0, 0; 0) ii. Súmele algebraicamente al el renglón negativo, el renglón que se está revisando y trasládelo al próximo tablón. Como los elementos son cero entonces el renglón revisado es igual al renglón a revisarse. (0, 0, 0, 0, 0; 0) S 1 : + (1, 0, 1, 0, 0; 200) (1, 0, 1, 0, 0; 200) b. para la fila A 3. iii. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de intersección. (0, 1, 0, -1, 0; 100) x (1) = (0, -1, 0, 1, 0;-100) iv. Súmele algebraicamente al el renglón negativo el renglón que se está revisando y trasládelo al próximo tablón. Como el elemento es cero el renglón revisado es igual al renglón a revisarse. (0, -1, 0, 1, 0;-100) A 3 : + (1, 1, 0, 0, 1; 800) (1, 0, 0, 1, 1; 700)

26 26 4. Halle los valores Z j para la nueva tabla símplex. (Z j = Σ C ij a ij.) Z 1 = (0)(1) + (7)(0) + M(1) = M Z 2 = (0)(0) + (7)(1) + M(0) = 7 Z 3 = (0)(1) + (7)(0) + M(0) = 0 Z 4 = (0)(0) + (7)(-1) + M(1) = -7+M Z 5 = (0)(0) + (7)(0) + M(1) = M 5. Halle la ganancia donde Z = Σ C ij b i. Z = (0)(200) + (7)(100) + M(700) = M 6. Halle los Z j correspondientes donde Z j = C J - Z j. Z 1 = C 1 - Z 1 = 5 M = 5 M Z 2 = C 2 - Z 2 = 7 7 = 0 Z 3 = C 3 - Z 3 = 0 0 = 0 Z 4 = C 4 - Z 4 = 0 (-7 +M) = 7-M Z 5 = C 5 Z 5 = M -M = 0 INTERPRETACIÓN DEL SEGUNDO TABLÓN La tabla anterior resume toda la información sobre la mezcla de producción. Un examen de los datos provistos, demuestran las variables básicas: S 1 con valor de 200, X 2 con valor de 100 y A 3 con valor de 700 y las no básicas: X 1 y S 2 ambas con valores de 0. El costo para la mezcla de M es todavía muy alto. El punto de solución (0,100) indica la asignación de 100 unidades de vitaminas para perros adultos (X 2 ) y 0 unidades de vitaminas para perros en crecimiento.

27 27 La interpretación de la variable básica S 1 se obtiene al estudiar la primera restricción, 1X (unidades de vitaminas para perros en crecimiento). Observe que la sustitución del valor de cero para X 1 en la ecuación de forma aumentada causa una disponibilidad máxima de 200 unidades de parta de la variable S 1. Veamos, para 0 + 0X 2 + 1S 1 + 0S 2 + 0A 2 + 0A 3 = 200; S 1 = 200. En cuanto a la variable básica A 3, esta indica el incumplimiento de la tercera restricción, X 1 + X 2 = 800 (total de unidades de vitaminas), por la cantidad de 700 unidades. La restricción exige una combinación exacta de 800 unidades para X 1 y X 2, sin embargo se asignó una cantidad de 100, incumpliendo con la restricción por 700 unidades. Veamos, sustituyendo X 1 = 0 y X 2 = 100 en la ecuación; 1X 1 + 1X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0A 2 + 1A 3 = 800 1(0) + 1(100) + 0S 1 + 0S 2 + 0A 2 + 1A 3 = 800 1A 3 = = 700 A 3 = 700 Por último se revisa el costo del tablón para ver si este es el correcto, donde; Z i +1 = Z i + (mejor Z j )( mejor Ratio). Z II = Z I + (mejor Z I )( mejor Ratio I ) Z II = $900M + ($7-2M)(100 ) = $900M M Z II = $700M TERCER TABLÓN SÍMPLEX Un examen de los Z j indica que la solución del segundo tablón no es óptima porque no todos los cambios son cero y positivos. La solución se puede mejorar porque existen dos cambio negativos: Z 1 = 5-M para la columna X 1 y Z 4 = 7-M para la columna S 2, uno de estos cambios reducirá el costo más que el otro para la próxima tabla. Seleccionamos el primer cambio porque es el más negativo. Por consiguiente la variable X 1 entrará en la base y será la columna pivote remplazando aquel renglón que posea ratio positivo más pequeño.

28 28 Enumeramos los siguientes pasos para el cálculo del tercer tablón símplex luego de haber seleccionado la columna pivote. 1. Para el segundo tablón busque los Ratio para cada renglón y escoja el positivo más pequeño entre estos. b i a ij = Ratio S = 200» límite positivo más pequeño (renglón pivote) X = (No definido) A = 700 El renglón S 1 sale al poseer el ratio positivo más pequeño. 9. Halle el renglón pivote, (1, 0, 1, 0, 0; 200) 10. Halle el nuevo renglón pivote y trasládalo al tercer tablón. a. Busque el elemento de intersección que se encuentra entre la columna pivote y el renglón pivote. (1 para nuestro ejemplo) y divida el renglón pivote entre el elemento de intersección. 11. Para este ejemplo el elemento de intersección es 1 por lo tanto el nuevo reglón pivote será igual que el renglón pivote. (1, 0, 1, 0, 0; 200) (1) = (1, 0, 1, 0, 0; 200)» Nuevo renglón pivote 12. Revise los renglones restantes, a. Para la fila X 2, la multiplicación del nuevo renglón pivote por cero y la suma del renglón S 1, hace que el reglón revisado sea igual al renglón a revisarse. b. para la fila A 3.

29 29 i. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de intersección; (1, 0, 1, 0, 0; 200) x -(1) = (-1, 0, -1, 0, 0; -200) ii. Súmele algebraicamente al el renglón negativo, el renglón que se está revisando y trasládelo al tercer tablón; (-1, 0, -1, 0, 0; -200) + (1, 0, 0, 1, 1; 700) = (0, 0, -1, 1, 1; 500) 13. Halle los valores Z j para la tercera tabla símplex. (Z j = Σ C ij a ij.) Z 1 = (5)(1) + (7)(0) + M(0) = 5 Z 2 = (5)(0) + (7)(1) + M(0) = 7 Z 3 = (5)(1) + (7)(0) + M(-1) = 5-M Z 4 = (5)(0) + (7)(-1) + M(1) = -7+M Z 5 = (5)(0) + (7)(0) + M(1) = M 14. Halle el costo donde Z = Σ C ij b i. Z = (5)(200) + (7)(100) + M(500) = 1, M Z = M 15. Halle los Z j correspondientes donde Z j = C J - Z j. Z 1 = C 1 - Z 1 = 5 5 = 0 Z 2 = C 2 - Z 2 = 7 7 = 0 Z 3 = C 3 - Z 3 = 0 (5-M) = -5+M Z 4 = C 4 - Z 4 = 0 - (-7 +M) = 7 -M Z 5 = C 5 Z 5 = M -M = 0