Programación Entera. P.E pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros.

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1 Clase # 7 Programación Entera. Programación entera es programación lineal con la restricción adicional de que los valores de las variables de decisión sean enteros. P.E pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros. P.E mixta (PEM) : Algunas de las variables de decisión tienen valores enteros. Las demás cumplen con la suposición de divisibilidad P.E. Binaria (PEB) : Utiliza variables binarias Sólo tiene 2 alternativas posibles = si la decisión j es si. 0 si la decisión j es no. Las son variables de decisión restringidas a tomar valores 0,. 7-3 Ejemplo de formulación. La CALIFORNIA MANUFACTURING CO., está analizando la posibilidad de expansión. Fábrica: Construcción de una fábrica en Los Angeles o en San Francisco, o tal vez en ambas ciudades Almacén: Construcción de un almacén a lo sumo, pero la decisión está restringida a que si hay almacén en ese sitio tiene que haber fábrica. Veamos 7-4 # de Pregunta sí o no decisión Construir fábrica en Los Angeles? 2 Construir fábrica en San Francisco? 3 Construir almacén en Los Angeles? 4 Construir almacén en San Francisco? Variable de decisión X 4 VNP Beneficio Capital requerido $9 mill $6 mill $5 mill $3 mill $6 mill $5mill $4 mill $2mill Capital disponible : $0 mill 7-5 Formulemos entonces el problema:. Variables de decisión. La variable de decisión es tal que: se construye. = 0 no se construye. j=,2,3,4. 7-6

2 2.Función objetivo. 3.Restricciones + X 4 Alternativas mutuamente excluyente Max Z = X 4 Como las variables de decisión son adimensionales, Z tiene unidades de [$ millones] Se construye la fabrica X 4 solo si se construye el almacén X 4 0 [0,] para j=,2,3,4. Capital disponible El problema completo será: Otras posibilidades de formulación. Max Z = X 4 + X X X 4 0 [0,] para j=,2,3,4. Es ocasiones es necesario utilizar variables para expresar relaciones combinatorias dentro de la formulación de los problemas. Para esto, además de las variables originales, se hace necesario el uso de variables auxiliares del tipo binario, introducidas en la reformulación Restricciones una u otra. Sólo una (cualquiera de las 2) debe cumplirse, mientras que la otra puede cumplirse, pero no se requiere que lo haga. Esto tiene una aplicación práctica en los casos en que se tienen 2 tipos de recursos para un cierto propósito. P.ej : o bien o 6 Veamos = 8 =

3 Para lograr lo enunciado anteriormente el problema se formula así: Una de las dos M 6 O una de las dos M 2. Deben cumplirse K de N restricciones. Considere la situación en la que el modelo completo incluye un conjunto de N restricciones posibles entre las que sólo K de ellas se deben cumplir. (suponga que K < N). Esto se lleva a la forma equivalente My y [0,] 6 + M (-y) 7-3 Las N-K restricciones que no se eligen quedan eliminadas del problema, aun cuando por coincidencia las soluciones factibles puedan satisfacer algunas de ellas. Veamos 7-4 Se tienen N restricciones del tipo La formulación equivalente del requerimiento de que K de estas restricciones se deban cumplir será: f ) d f ) d + M y f 2 ) d 2 f 2 ) d 2 + My 2 f N ) d N 7-5 f N ) d N + My N N S = N- K i= = 0 indica que la restricción se cumple [0,] para i=,2,..., N Funciones con N valores posibles. Considere la situación en la que una función dada tome cualquiera de N valores dados. Denotemos este requisito así: f ) = d, o d 2,..., o d N O un caso especial en que f ) = S aj j= n La formulación equivalente de este requerimiento será: f ) = S dj y j j= N S = i= [0,] para i=,2,..., N. N

4 4. Problema de costo fijo. Se quiere minimizar Es bastante común incurrir en un costo fijo cuando se emprende una actividad. Por ejemplo, cuando se inicia una corrida de un lote pequeño de producción existen algunos costos fijos y otros variables. En general el costo total de la actividad (por ejemplo j) puede representarse por una función de la forma: s.a Z = f (x ) + f 2 (x 2 )+...+ f n (x n ) f j ( ) = k j + c j si > 0 0 si = 0 f j ( ) = k j + c j si > 0 Donde puede haber otras restricciones adicionales. 0 si = Veamos la formulación equivalente 7-20 n Min Z = S (c j + k j Y j ) j= Y j = si > 0 0 si = 0. Otros ejemplos de P.E.M Se presentará un ej de programación entera, donde las variables de decisión son continuas (PEM). La división de investigación y desarrollo de una compañía manufacturera ha desarrollado 3 nuevos productos y se dispone de 2 plantas para fabricarlos. Definiendo: M Y j 7-2 Se quiere evitar la diversificación excesiva de la línea de productos de la compañía y por ello solo se fabricarán 2 de los 3 productos que han sido desarrollados, y sólo una de las plantas se utilizará para fabricarlos Horas por unidad de Producto 2 3 Horas disponibles por semana. Variables de decisión. Planta : Tasa de producción del producto j j=,2,3 Ganancia unitaria Ventas potenciales Miles de US$ Unidades por semana 2.Función objetivo. Max Z = Pasemos ahora a formular el problema

5 3.Restricciones Notó UD algo raro en la formulación del modelo? para j=,2, Debemos hacer uso de variables binarias para formular adecuadamente algunas de las restricciones del problema. Veamos 7-26 Nos dicen que sólo se pueden fabricar 2 de 3 productos. Introducimos 3 variables binarias y, y 2, y 3 tales que: Con la ayuda de la M grande obtenemos: My My 2 si > 0 se puede cumplir Y j = (se puede producir j) My 3 0 si = 0 se debe cumplir y + y 2 + y 3 2 (no se puede producir j) para j=,2,3. es binaria para i =,2, Nos dicen que sólo se puede utilizar una de las 2 fábricas. Con la ayuda de la M grande obtenemos: Introducimos la variable binaria y 4 tal que: M y 4 Y 4 = si Debe cumplirse (se elige la planta 2) 0 si 3 30 Debe cumplirse (se elige la planta ) M ( - y 4 ) es binaria para i =,2,3,4 La formulación del modelo completo será:

6 Max Z = s.a M y 0 - My My 3 0 y + y 2 + y M y M ( - y 4 ) 40 es binaria para j=,2,3,4 0 para todo j 7-3 6