UNIVERSIDAD DE MANAGUA

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1 UNIVERSIDAD DE MANAGUA Optimización Problemas de Programación Lineal: Solución Gráfica, Analítica, Sensibilidad y Método Simplex Prof. MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés Ingeniería/IC Resolver los problemas de PL por el método gráfico. Puede usar el software POM-QM y Derive. Interprete los resultados. I. La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T ; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a C$400 el metro y el T se vende a C$500 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, cuántos metros de T y T se deben fabricar? II. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es $20 y por una docena de tipo Q es $30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. III. Una empresa ensambladora de productos de comunicación debe programar su producción semanal. Debido a problemas de liquidez, le interesa minimizar sus costos semanales, ya que le pagan la producción 20 días después de entregada. Actualmente está armando dos artículos diferentes, el T14 y el B2; ambos artículos deben ser armados y probados por personal especializado. La empresa compradora requiere no menos de 100 aparatos semanales; del modelo B2 debe entregar no menos que la cuarta parte de los que entregue del T14, pero en ningún caso deben superar en más de 150 al número de equipos T14. En el PÁGINA 1

2 cuadro siguiente se indica el tiempo que requieren los especialistas para armar y probar cada equipo, expresado en minutos, así como la disponibilidad de tiempo. IV. La compañía comercializadora de bebidas energéticas "CILANTRO SALVAJE" se encuentra promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se encuentran en promoción se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda, sin embargo existen 2 políticas que la empresa debe tener en cuenta. Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender por lo menos 1500 bebidas entre ambas. Dado que se encuentran en promoción el precio de venta de ambas bebidas equivale a C$18. V. La compañía de galletas "CAROLA" desea planificar la producción de galletas que tendrá que entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compañía "CAROLA" se compromete a entregar como máximo 300 cajas de galletas cualquiera sea su tipo (presentación D, presentación N o una combinación de ambas presentaciones), cada caja de galletas presentación D tiene un tiempo de elaboración de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas, mientras cada caja de presentación N tiene un tiempo de elaboración de 3 horas y un tiempo de horneado de 1 hora. La compañía cuenta estas dos semanas con 600 horas para elaboración y con 540 horas de horneado. Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentación D y N es de C$85 y C$81 respectivamente, determine mediante un modelo de programación lineal el plan de producción que maximice las utilidades. PÁGINA 2

3 VI. Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no rentables. Esta medida creo un exceso considerable de capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados 1, 2, y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción: El número de horas-máquinas que se requiere para elaborar cada unidad de los productos respectivos es: El departamento de ventas indica que las ventas potenciales de los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son de 20 unidades por semana. Las ganancias unitarias serían de $50, $20 y $25 para los productos 1, 2 y 3 respectivamente. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo de producir la compañía para maximizar las ganancias. VII. VIII. Una compañía fabrica tres productos, A, B y C. El volumen de ventas de A es como mínimo 50% de las ventas totales de los tres productos. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 75 unidades por día. Los tres productos utilizan una materia prima de la cual la máxima disponibilidad diaria es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A, 4 lb por unidad de B, y 3 lb por unidad de C. Los precios unitarios de A, B y C son $20, $50 y $35, respectivamente. (a) Determine la combinación óptima de productos para la compañía. La empresa Shogun S.A. está fundamentalmente dedicada a la producción de lentes para máquinas fotográficas, luego de que intentase infructuosamente entrar en el mercado de las máquinas fotográficas de alta sofisticación técnica. Aprovechando la experiencia de la empresa en el rubro, ha decidido PÁGINA 3

4 especializarse en lentes de alta calidad, que le permitan estar entre los principales exportadores japoneses de lentes para máquinas del tipo reflex. En la actualidad, fabrica tres modelos distintos: - el modelo KIKU, zoom de mm. con f. 5,6 - el modelo OMI, zoom de mm. con f. 3,5 - el modelo ANGIN, zoom de mm. con f. 5,6 En su producción, la empresa utiliza dos tipos de insumos (A y B), de los cuales dispone de y unidades respectivamente. Los requerimientos unitarios de insumos son: El tiempo destinado a producir cada unidad del modelo KIKU es el doble del destinado al modelo OMI, y el triple del dedicado al modelo ANGIN. Los operarios de la empresa pueden llegar a producir un equivalente a lentes KIKU mensualmente. El departamento de Marketing ha realizado algunas proyecciones de las ventas futuras, y ha indicado que la demanda mínima para los tres modelos es de 200, 200 y 150 unidades mensualmente, respectivamente. Los precios de cada modelo y sus costos unitarios, expresados en dólares, son los siguientes: Formular un modelo de programación lineal que permita determinar la producción de cada tipo de zoom, tal que se optimice el resultado operacional de la empresa. IX. Una embotelladora debe decidir cuánto producir de cada uno de sus cuatro productos en el próximo mes. Los productos en cuestión son bebidas de fantasía (Koka-Kola, Fhanta, Eight Up y Zprite), para las cuales el departamento de Comercialización ha realizado estimaciones de precio y de cantidad demandada máxima mensual, para el próximo mes: PÁGINA 4

5 La Koka-Kola requiere por cada botella 3 minutos de proceso, la Fhanta requiere 2.5 minutos, la Eight Up y la Zprite requieren 3.8 minutos cada una. La máquina selladora envía 14 botellas de Kola-Kola cada 2 horas, 12 botellas de Fhanta cada hora, 27 botellas de Zprite cada 3 horas y 30 botellas de Eight Up cada 3 horas. Se contratan horas de reparto y se sabe que en 1 hora de reparto se logra colocar 300 botellas de Koka-Kola, ó 200 de Fhanta, ó 180 de Zprite ó 200 de Eight Up. Las horas disponibles de proceso mensual son 500 horas y las horas disponibles de sellado son horas mensuales. Los costos por hora son: Costo por hora proceso $ 52 Costo por hora sellado $ 47 Costo por hora reparto $ 55 Al comienzo del próximo mes no habrá unidades en inventario de productos en proceso y productos terminados. No obstante, en consideración a nuevas políticas de la empresa, se desea terminar el próximo mes con 500 botellas de Koka-Kola, 400 de Fhanta, 200 de Zprite y 350 de Eight Up procesadas y selladas. Además, durante el mes en cuestión se debe cumplir con la entrega de 1,200 botellas de Koka-Kola, 600 de Zprite y 450 de Eight Up, las que corresponden a ventas del mes anterior, ya pagadas al contado. No hay restricción de fondos, realizándose todos los pagos en el mes de producción con fondos propios y vendiéndose todo al contado. Plantear un PPL relacionado con la situación-problema de programar la producción de cada producto para el próximo mes. Especifique claramente sus supuestos (de ser ellos necesarios). X. En una fábrica de cerveza se producen tres tipos distintos: rubia, negra y de baja graduación, y para ello se utilizan dos materias primas: malta y levadura. En la siguiente tabla se especifican: a) la cantidad de materias primas consumidas para producir una unidad de cada tipo de cerveza; b) las cantidades disponibles de cada materia prima; y c) el precio unitario de venta de cada tipo de cerveza. Se trata de conocer la cantidad a fabricar de cada tipo de cerveza de manera que el beneficio sea máximo. PÁGINA 5

6 XI. Una fábrica produce aceite mezclando aceites refinados, dos de origen vegetal y tres de origen no vegetal. En un mes sólo es posible refinar 200 toneladas de vegetal y 250 de no vegetal. El aceite resultante debe de cumplir un valor de dureza comprendido entre 3 y 6. El costo de una tonelada para cada aceite refinado junto con su dureza aparecen en la siguiente tabla: Se trata de refinar las cantidades apropiadas de cada aceite a fin de maximizar el beneficio de la producción final sabiendo que una tonelada del aceite producido se vende a 150. XII. Una compañía monta un sistema de producción en un proceso dividido en 4 tareas denominadas M, N, P y Q que pueden realizarse en cualquier orden e indistintamente por 4 equipos. En la siguiente tabla aparecen: a) El tiempo en horas que emplearía cada equipo en realizar la tarea completa; b) Las horas disponibles por cada equipo; y c) El coste de la hora de trabajo de cada equipo. Se quiere conocer el número de horas de trabajo que deben asignarse a cada equipo para que se minimice el coste total del montaje del sistema. XIII. Consideremos el caso de 4 nutrientes N1, N2, N3, N4 que forman parte de 5 alimentos A1, A2, A3, A4, A5. En la siguiente tabla aparecen: 1) Cantidad aconsejada de cada nutriente, 2) Contenido de nutriente que tiene cada alimento, y 3) Coste unitario de cada alimento. Debemos calcular la cantidad de cada alimento que debemos comprar para garantizar la cantidad aconsejada de cada nutriente y con coste total mínimo. PÁGINA 6

7 XIV. Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto de peso como de espacio. Los datos se resumen a continuación: Más aun, para mantener el avión balanceado, el peso de la carga de los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen oferta para transportar cuatro cargamentos en vuelo próximo ya que se cuenta con espacio. Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar que cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y como distribuirla en los compartimientos para maximizar las ganancias del vuelo. XV. Una empresa manufacturera de papeles debe surtir un pedido consistente en 800 rollos de papel de 30 cms. de ancho, 500 rollos de papel de 45 cms. de ancho y rollos de papel de 56 cms. de ancho. En este momento, la empresa cuenta solamente con rollos de 108 cms. de ancho y debe decidir cómo cortarlos para surtir el pedido con un mínimo desperdicio de papel. PÁGINA 7

8 XVI. Grafique la región factible para los siguientes conjuntos de restricciones: X2 X1 XVII. Dado el problema de programación lineal, encuentra la solución por simplex y expresa el problema Dual del primal y resuélvalo y compara ambas soluciones. XVIII. Un fabricante de tejidos posee una máquina que utiliza para la fabricación de diversos artículos. Para dos de ellos, denominados A y B, la máquina está disponible durante 170 horas al mes. La cadencia de fabricación del artículo A es de 50 por hora, y la del B de 80 por hora. Cada unidad de A proporciona un beneficio por venta de U$30 y cada PÁGINA 8

9 unidad de B U$20. Además, la capacidad de absorción del mercado es limitada, y a lo sumo debemos fabricar cada mes 7000 artículos de A y de B. El fabricante muestra el deseo de maximizar el beneficio total. Para ello: a) Formular un programa lineal que dé respuesta a los deseos del fabricante. b) Resolverlo e interpretar su solución Resolverlo e interpretar su solución. c) Formular y resolver su problema dual. XIX. Una compañía fabrica tres productos, A, B y C. El volumen de ventas de A es como mínimo 50% de las ventas totales de los tres productos. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 75 unidades por día. Los tres productos utilizan una materia prima de la cual la máxima disponibilidad diaria es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A, 4 lb por unidad de B, y 3 lb por unidad de C. Los precios unitarios de A, B y C son $20, $50 y $35, respectivamente. (a) Determine la combinación óptima de productos para la compañía. (b) Determine el precio dual de la materia prima y su intervalo permisible. Si la materia prima disponible se incrementa en 120 lb, determine la solución óptima y el cambio del ingreso total mediante el precio dual. (c) Use el precio dual para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del producto A en 610 unidades. XX. Una Fábrica elabora tres tipos de zapatos (estilo1, estilo 2 y estilo3). Qué cantidad de cada estilo debe fabricar durante el mes con el objeto de maximizar las utilidades? Si está sujeta a las siguientes condiciones. - No deben asignarse más de 1,200 horas de tiempo de producción al mes. - Todos los costos de producción, de materiales y costos fijos deben cubrirse con el efectivo disponible durante el mes que es de $16, Satisfacer ciertos compromisos de demanda: 30 estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3. - El estilo 1, requiere 3.5 horas para su fabricación, el estilo 2, requiere 2.5 horas y el estilo 3, requiere 2 horas. El costo de la hora es de $10 - El estilo 1, requiere 3.25 unidades de cuero, el estilo 2, requiere 4.5 unidades de cuero y el estilo 3, requiere 2 unidades de cuero. La unidad de cuero tiene un costo de $4. - Los costos fijos mensuales son de $3,000. Resuelva el problema planeado y responda las siguientes preguntas. a. Cuál es el rango de las variables básicas donde la solución óptima permanece? b. Cuál es el rango de los recursos donde la solución óptima permanece? PÁGINA 9

10 c. Qué pasaría si hubiera compromisos de demanda, cambiaría la solución óptima? d. En las condiciones actuales, cual estilo es el menos rentable?, porque? e. Si un cliente le demanda un pedido de 300 unidades del estilo 2, en que el afecta? PÁGINA 10