REPASO MATEMÁTICAS APLICADAS I

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1 REPASO MATEMÁTICAS APLICADAS I SISTEMAS 1. Resolver los siguientes sistemas homogéneos: x y z 0 3x y z 0 a) 3x y z 0 b) 4x y z 0 x y z 0 x z 0 Solución x=0 y=0 z=0. Resolver los sistemas de ecuaciones: x y z 1 x y 3z 3x 3y z 4 x 4y z 4 x y z 1 7x 10y z 10 x y z 1 x y 4z 3 x y 3z x 3y x y 4x y z 0 z 0 z ,, Sistema indeterminado -6 + y, y, -3 + y 1, -, Sistema indeterminado x, 3x, 7x 3.Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 0 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, el número de mujeres y de hombres sería el mismo. Se pide plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión y resolver el problema. 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños 4. Un padre y sus dos hijos tienen un total de 84 años. Cuando el mayor tenía la edad del pequeño, la de éste era /5 de la edad actual del mayor, y cuando el pequeño tenga la edad del mayor, las edades de los tres sumarán 10 años.calcular la edad de cada uno. 50, 0, 14 años respectivamente

2 PROGRAMACIÓN LINEAL Problema 1 Un terreno de 700 metros de perímetro quiere cerrarse con una malla metálica. Disponemos de 15 rollos de 35 y 8 de 55 metros que sólo se venden enteros. Calcular el modo de que sobre el mínimo número de metros de malla. Hay que minimizar F(x,y)=35x+55y-700 con las siguientes condiciones: 35 x 55 y x 15 0 y 8 Puntos críticos A(14,4), B(1,5), C(11,3) y D(9,7). El mejor es D Problema Un almacén de ropa tiene 70 camisetas, 10 camisas y 110 pantalones. Pone a la venta el lote A ( camisas, 1 pantalón y una camiseta) que se vende a 36 euros y el lote B (1 camisa, pantalones y una camiseta) que se vende a 4 euros. Calcular el número de lotes que debe hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo y calcularlo. Hay que maximizar F(x,y)=36x+4y con las siguientes condiciones: x y 10 x y 110 x y 70 Puntos críticos en A(0,55), B(30,40), C(50,0) y D(60,0). La mejor es B Problema 3 Un club quiere organizar un viaje para 00 socios. Contratan una agencia que dispone de 4 microbuses de 5 plazas, 5 autobuses de 50 plazas y sólo 6 conductores. El alquiler de los autobuses es de 19 euros y el de los microbuses 84. Cómo debe hacerse el viaje para que el coste sea mínimo? F(x,y)=19x+84y. Las condiciones son las siguientes: 50 x 5 y 00 0 x 4 0 y 5 x y 6 Puntos críticos A(,4) y B(4,0). Mínimo en A Problema 4 Un comerciante acude a un mercado a comprar naranjas con 500 euros y una furgoneta de 700 kgs de capacidad. Las del tipo A las compra a 0,5 euros y las vende a 0,8 y las del tipo B las compra a 0,58 y las vende a 0,9. Hallar el reparto de la compra para que el beneficio sea máximo. Hay que maximizar F(x,y)=0,3x+0,3y con las condiciones siguientes: 0,5 x 0,58 y 500 x y 700 Puntos críticos en A(700,0) y B(0, 700). Mejor es B Problema 5 Un fabricante de salchichas utiliza 500 kgs de ternera, 300 kgs de cerdo y 400kgs de relleno. Las salchichas del tipo A llevan 1 kg de ternera por paquete y las del tipo B llevan 500grs de cerdo, 50 grs de ternera y 50 de relleno. El beneficio es de 0,4 euros en las de tipo B y 0,48 en las de tipo A. Calcular el número de paquetes de cada clase para que el beneficio sea máximo.

3 Hay que maximizar F(x,y)=0,48x+0,4y con las condiciones siguientes: y x x 0 y y Valores críticos A(350,600) y B(500,0). Máximo en A Problema 6 Un químico dispone de 80 litros de A y 10 litros de B. El perfume C se prepara con 3 partes de B y una de A y el perfume D al 50% de ambos. Los frascos son de 4 litros. El perfume C se vende 30 euros y el D a 36. Calcular el reparto para una venta máxima. Hay que maximizar F(x,y)=30x+36y con las siguientes condiciones: 3 x y 80 x y 10 Vértices A(0,40) y B(0,0). El reparto A Problema 7 Una fábrica de mermelada dispone de 400 kgs de azúcar y 900 de fruta. La lata A requiere 5 kgs de azúcar y 10 de fruta y la lata B 1 kg de azúcar y 15 de fruta. Calcular la forma de envasar para que la ganancia sea máxima, sabiendo que en la lata A se ganan 1 euros y en la B 6. Hay que maximizar F(x,y)=1x+6y con las siguientes condiciones: 5 x y x 5 y B, Los puntos críticos son A(0,180), 3 3 y C(80,0). La A y la B. Problema 8 Disponemos de 90 toneladas de P, 90 de Q y 70 de R, que son los ingredientes para la fabricación de dos tipos de piensos compuestos. El producto A lleva toneladas de P, 1 de Q y 1 de R y se vende a 1. El producto B lleva 1 tonelada de P, de Q y 1 de R y se vende a 10. Calcular cuantas toneladas de cada produto deben facturarse para tener el mayor beneficio. Hay que maximizar F(x,y)=1x+10y con las siguientes condiciones: x y 90 x y 90 x y 70 Vértices A(0,45), B(30,30) y C(45,0). Sale la B Problema 9 Con 80 kgs de acero y 10 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 00 y 150 respectivamente. Para las de montaña se necesitan 1 kg de acero y 3 de aluminio, mientras que la de paseo lleva kgs de cada metal. Calcular cuantas bicis hay que hacer de cada tipo para maximizar el beneficio.

4 Hay que maximizar F(x,y)=00x+150y con las siguientes condiciones: x y 80 3 x y 10 Los puntos críticos son A(0,40), B(0,30) y C(40,0). La B Problema 10. Un orfebre tiene 1 kg de oro. Le encargan medallas de tamaños con la condición de que el número de pequeñas tiene que ser al menos el doble de las grandes y deben contener 50 y 100 grs de oro respectivamente. El orfebre gana con 3 grandes lo mismo que con 4 pequeñas. Calcular el reparto para que la ganancia sea máxima. 4 x F(x, y) y y x 3 Maximizar con las condiciones 100 x 50 y 1000 Puntos críticos en A(0,0) y B(5,10). Lo mejor es A ANÁLISIS DE FUNCIONES Ejercicio 1 Estudia el crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función: x 3 6x 9x 8 En x = 1, la función presenta un máximo, ya que pasa de creciente a decreciente. En x = 3, la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente. Problema. 3 y x ax bx c La función presenta un punto de derivada nula en (1, 1) que no es un extremo relativo, razona qué valores han de tomar los parámetros a, b y c para que eso ocurra. a = -3 b = 3 y c = 0 Problema 3 Se ha comprobado que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del tiempo t en minutos según la función 100t G( t) t 400 Se pide: a) En qué momento del juego debe retirarse un jugador? b) Se pueden producir pérdidas (ganancias negativas) en ese juego?

5 para t = 0 minutos obtiene la mayor ganancia y es el momento óptimo para retirarse del juego.en ese juego no hay pérdidas. Problema 4 Un establecimiento de hostelería abre sus puertas a las 9 de la noche, sin ningún cliente y las cierra cuando se han marchado todos. Se supone que la función que representa el número de clientes C, en C 80h 10h función del número de las horas que lleva abierto h, es:. a) Determina el número máximo de clientes que van una noche al establecimiento. b) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70, entre qué horas debemos hacerlo? c) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70 y, además, queremos que durante nuestra estancia disminuya el número de clientes, entre qué horas debemos hacerlo? d) A qué hora cierra? a) 160 b) 10 y 1 ó y 4 c) y 4 d) a las 5 Ejercicio 5 1 Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x x 1 tangente a la curva en algún otro punto? Solución 1 f () 1; f '(x) (x 1) 1 x 3 x x 1 cortar a la curva. f '() 1 r : y 1 (x ) y x 3 4x 3 1 x 4x 4 0 x (doble) No vuelve a. Corta Ejercicio 6 x Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x 1. 1 x Solución (1 x) x f ( 1) ; f '(x) f '( 1) r : y (x 1) 1 (1 x) (1 x) r : y x 4. Ejercicio 7 Determinar los coeficientes a y b de la parábola y=ax+bx+, sabiendo que la recta tangente en el punto en que x =1 es la recta y = -x. la Solución Hallamos la ordenada que corresponde al punto de abscisa x=1, para x=1 : y(1)=a+b+. Ahora calculamos la pendiente de la recta tangente en ese punto, y (x)=ax+b : y (1)=a+b. Escribimos la ecuación tangente a la parábola en el punto (1, a+b+): y-(a+b+)=(a+b)(x-1) ; y=(a+b)x-a+ Si esta ecuación ha de coincidir con la ecuación y=-x, se ha de verificar a b a ; b 6. a 0

6 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Representar las siguientes funciones, indicando su Dominio, sus puntos de corte con los ejes, sus asíntotas verticales y horizontales. Indicar si son (o no) continuas. x a) x Continua, AH => y=1 1 b) x 1 Dom = R {0} AV => x=0 AH => y=1 x c) 1 x 1 Dom = R {1} AV => x=1 AH => y=-1 x

7 d) x x Dom = R {-1, 1} AV => x=-1 x=1 AH => y = 1 1 e) x Continua, AH y =0 1 f) 1 Dom = R {0} AV => x=0 AH => y=0 x

8 x 3 g) x Dom = R {1} AV => x=1 AH => y=1 1