2. [2014] [JUN] Sean x e y dos números reales tal que x+y = 10. Cuál es el máximo valor posible para el producto (x+1)(y-1)?

Transcripción

1 [04] [ET] Supongamos que queremos construir un gallinero rectangular (como el que se muestra en la figura de la derecha) apoyado sobre dos muros formando un ángulo recto de longitudes y metros, respectivamente (en rojo en la figura) Si disponemos de metros de valla de alambre, cuál es el área del mayor gallinero que podemos construir? [04] [JUN] Sean x e y dos números reales tal que x+y = 0 Cuál es el máximo valor posible para el producto (x+)(y-)? [0] [ET] Sea la función f(x) = ax +b Calcular los valores de a y b para que f(x) pase por el punto (,) y, además, la recta tangente a f(x) en dicho punto tenga pendiente - 4 [0] [ET-B] Sea la función f(x) = x - x + a) Determinar los cortes con los ejes de la función y, en caso de haberlas, sus asíntotas b) Estudiar los intevalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determinar sus extremos relativos c) Usando la información de los apartados anteriores, hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función [0] [JUN] Sea f(x) una cierta función definida en el intervalo (-,) Si su función derivada f'(x) tiene la representación gráfica que aparece a la derecha, determinar, razonadamente, los extremos relativos de la función en el intervalo (-,) 6 [0] [ET] Calcula los puntos en los que la tangente a la función f(x) = es paralela a la recta x+4y = 0 x- 7 [0] [ET] Consideramos la función f(x) = x +x x-4 Calcula su dominio y su derivada Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento Encuentra sus extremos (máximos y mínimos) relativos 7 de julio de 0 Página de

2 8 [0] [JUN] Consideramos la función f(x) = definida solamente en (-,) 9-x, Estudia el crecimiento y decrecimiento en el intervalo considerado Encuentra máximos y mínimos en dicho intervalo Calcula la tangente a la función en el punto con x = 0 9 [0] [ET] Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x) = 8-x-x en el intervalo [-,] 0 [0] [JUN] El precio en euros de un producto, durante los cinco años que estuvo en el mercado, vino dado por la función P(t) = 8t-t +, 0 t Se pide: a) Precio máximo alcanzado y momento en el que se alcanzó b) Precio mínimo alcanzado y momento en el que se alcanzó [00] [ET] Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x) = 8-x-x en el intervalo [-,] [00] [JUN] Calcula los puntos de la gráfica de f(x) = -x y = x en que la tangente a la función es paralela a la recta de ecuación [00] [JUN] El balance mensual (diferencia en miles de euros entre ingresos y gastos) de una conservera viene estimado por la función B(x) = -x +0x-8, donde la variable x representa las toneladas de producto fabricadas a) Calcula el dinero que pierde si un mes no fabrica producto b) Dibuja la función B(x), para x 0 c) Calcula las toneladas mensuales que debe producir para maximizar el beneficio d) Calcula el margen de producción para no tener pérdidas (toneladas mínimas y máximas para que el balance sea positivo) x 4 [009] [ET] Considera la función f(x) = x- a) Calcula su derivada y simplifica el resultado b) Calcula su dominio y sus asíntotas (horizontales y verticales) [009] [ET] Hallar los valores de a, b, c para que la función f(x) = x +ax +bx+c pase por el origen de coordenadas, su derivadase anule en x = - y la tangente en el punto x = sea paralela al eje de abscisas (eje O) 6 [009] [JUN] Calcula un punto en el que la tangente a la función f(x) = x +0x sea paralela a la recta y = 4x 0-(t-),0 t 4 7 [009] [JUN] La velocidad de un artefacto viene dada por la siguiente función: v(t) = 9, donde la velocidad, t > 4 t- v(t) viene dada en metros por segundo y el tiempo t en horas a) Estudia la continuidad de la función b) Calcula los intervalos en los que la función crece y decrece Usa lo anterior para calcular la máxima velocidad alcanzada por el artefacto y el momento en que se alcanza c) Si dejamos que el tiempo crezca ilimitadamente, a qué velocidad tiende a moverse el artefacto? Interpreta el resultado que has obtenido 8 [008] [ET] Encuentra el valor de b para que la función f(x) = x + b tenga un mínimo cuando x = x 7 de julio de 0 Página de

3 9 [008] [ET] Dada la función f(x) = x -4x+, se pide: a) Estudia su dominio, sus asíntotas y sus puntos de corte con los ejes coordenados b) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus posibles máximos y mínimos c) Con la información obtenida, y sin calcular los puntos de inflexión ni analizar la concavidad-convexidad, obtén de forma razonada su representación gráfica 0 [008] [JUN] La función f(t) = t -t+ representa la concentración de oxígeno en un estanque contaminado por residuos orgánicos t + en un tiempo t (medido en semanas) a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(t) para t 0 así como los instantes donde la concentración de oxígeno es máxima y mínima b) De forma razonada, y conforme a los datos anteriores, representa gráficamente la función para t 0, estudiando con detalle sus asíntotas [007] [ET] De todos los rectángulos de perímetro 0 metros, halla las dimensiones del que tiene la diagonal mínima [007] [ET] Dada la función f(x) = x +x : a) Calcula sus puntos de corte con los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento [007] [JUN] Dada la función f(x) = 4x +x+ : +4x a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x), así como sus posibles máximos, mínimos y puntos de inflexión b) Representa la gráfica de la función y = f(x), indicando con todo detalle cuál es su dominio y cuáles sus asíntotas 4 [007] [JUN] Determina cómo tienen que ser tres numeros reales positivos para que su suma valga 00, la suma del primero más dos veces el segundo más tres veces el tercero valga 00 y su producto sea lo mayor posible [006] [ET] Dada la función f(x) = 0x : x +4 a) Determina sus asíntotas, máximos, mínimos y puntos de inflexión b) Halla sus intervalos de crecimiento y decrecimiento 6 [006] [JUN] Determina el polinomio p(x) = ax +bx+c que pasa por el punto (,) y tiene un mínimo en el punto (-,-6) 7 [006] [JUN] Dada la función f(x) = x - x : a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos b) Calcula su dominio, asíntotas y puntos de inflexión 8 [00] [ET] Qué se puede decir de la gráfica de una función f(x) si se sabe que f'() = 0, f''() < 0, f'() = 0 y f''() > 0? 9 [00] [ET] La suma de tres números positivos es 60 El primero, el doble del segundo y el triple del tercero suman 0 Halla los números que cumplen estas condiciones de manera que su producto sea máximo 7 de julio de 0 Página de

4 0 [00] [ET] Dada la función g(x) = x -x 4, a) Obtén la ecuación de la recta tangente en el punto (,0) b) Calcula sus extremos (máximos y mínimos), puntos de inflexión e intervalos de crecimiento y decrecimiento [00] [JUN] Calcula y simplifica la derivada de la función f(x) = x+ x + [00] [JUN] Sea la función f(x) = + x a) Determina sus asíntotas, máximos, mínimos y puntos de inflexión b) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = [004] [ET] Calcula la derivada de la función f(x) = x+ x 4 [004] [ET] Sea la función f(x) = - 4x a) Determina sus asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento b) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes en x = y x = - [004] [JUN] Qué se puede decir acerca de la gráfica de una función g(x) si se sabe que g(0) = 0 y g'(0) = 0? 6 [004] [JUN] Sea la función f(x) = (x-)(x-) x a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en x = - b) Calcula sus asíntotas, máximos, mínimos y puntos de inflexión 7 [00] [ET] Sean las funciones f (x) = ln x, f (x) = x Calcula y simplifica las derivadas de: f (x) f (x) y f (x)/f (x) 8 [00] [ET] Sea la función f(x) = x 4 -x a) Halla la ecuación de la recta tangente en x = b) Calcula los cortes en los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión c) Representarla gráficamente 9 [00] [ET] Una empresa petrolera dispone de un stock de 0000 barriles que podría vender a 0 euros/barril Sin embargo, el mercado del petróleo se encuentra en fase alcista, estimándose que el precio del barril aumentará 0' euros cada semana que transcurra Los costes de almacenamiento ascienden a 000 euros/semana, y además cada semana se pierden pedidos de 000 barriles debido a los clientes que acuden a otros proveedores Calcula cuándo interesa vender el stock para obtener el máximo beneficio posible, y a cuánto asciende dicho beneficio 40 [00] [JUN] Sea la función f(x) = x -4x a) Obtener sus cortes con los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión b) Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos de corte con los ejes c) Representarla gráficamente 7 de julio de 0 Página 4 de

5 4 [00] [JUN] El encargado del alquiler de hamacas de una playa ha comprobado que, cobrando la hora a euros, vende diariamente 00 horas Por cada 0 céntimos que aumenta el precio, vende horas menos al día El ayuntamiento de la ciudad le cobra un canon de 4 euros por hora de hamaca a) A qué precio será máximo el beneficio diario del encargado? b) Para dicho precio, cuántas horas venderá? A cuánto ascenderá el beneficio obtenido? Soluciones 6 0, -, 4, 7 D(f) = -{4}; f0(x) = x -8x-0 ; crec: (-,-) (0,+ ); max: -; min: 0 8 crec: (0,); min: 0, (x-4) 9 ; y = 9 9 (-,9), (,0) 0 (4,4) (0,) max: (-,9); min: (,0) -, 9,,- 9 a) 8000 b) - 46 max: (,0) c) se detiene 8 9 a) ; y = 0; (0,) b) crec: (-,); max: c) a) (0,0), (-,0); max: -; min: 0; pi: - b) crec: (-,-) (0,+ ) c) x c) ' c) (,4) 4 a) b) x = ; y = 4 0, -, a) b) crec: (0,); (x-) crec: (,+ ); max: 0; min: ; 4 'x' a) crec: -, ; max: ; min: - ; pi: 0, b) , 00, 00 a) asin: x = 0; min: -; max: ; pi: 0, b) crec: (-,) c) p(x) = x +4x-4 7 a) crec: (-,+ ); min: - b) dom: -{0}; asín: x = 0; pi: c) - 8 max: ; min: 9 0, 0, 0 0 a) y = -x+ b) max: 6 ; min: 0; pi: 6 ; crec: -,- 0, f'(x) = -x -x+ a) x=0, y=; min: -; pi: - x + b) y = - 4 x+ 4 c) c) c) - f'(x) = -4x-8 4 a) x = 0; y = 0; crec: (0,+ ) b) y = x x- 4 ; y = - x- 4 pasa por el origen, teniendo un extremo o pi 6 a) y = x+ 7 b) asíntotas: x = 0, y = ; min: x = 4 ; pi: c) xlnx+x; -lnx 8 a) y = -x+ b) (0,0), (,0); min: -4 ; pi: 0, c) 9 hoy, a) (-,0), (0,0), (,0); max: x, min: 4 ; pi: 0 b) y = 8x+6; y = -4x; y = 8x-6 c) a) 9' b) 0; 60 7 de julio de 0 Página de