ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

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1 I.E.S. Federico Mayor Zaragoza 2º BACHILLERATO SEMIPRESENCIAL MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN NOMBRE: Fecha de entrega: 01/09/2014 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1) Si en un curso el 65% de los alumnos han aprobado Matemáticas y el 80% Lengua, es posible que el 30% haya aprobado ambas asignaturas? 2) A un congreso de científicos asisten 100 congresistas. De ellos, 80 hablan francés y 40 inglés. Cuál es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no puedan entenderse sin intérpretes? 3) Se ha comprobado que en una ciudad 60% de los ciudadanos usan transporte público, el 50% transporte privado y el 20% con ambas medios de transporte. elegido al azar un ciudadano calcule: a) la probabilidad de que use algún tipo de transporte. b) la probabilidad de que use sólo un tipo de transporte. 4) Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=0 375, P(B)=0 625 y P(A B)=0 75. Calcule P(A/B) y P(B/A). 5) Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(A)=0 6 y P(B)=0 3. Calcule P(A B). 6) De una baraja de 48 cartas se extraen dos simultáneamente. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos sean copas. b) Al menos una sea copas. c) Una sea copas y la otra espadas. 7) Para un examen, un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno. Cuál es la probabilidad de que el alumno pueda escoger uno de los temas estudiado? 8) Una caja contiene tres monedas. Una normal, otra con dos caras y otra trucada de manera que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire. Halle la probabilidad de que salga cara. 9) Los alumnos de secundaria de cierto instituto se reparten de la siguiente manera: 40% en primero, 25% en segundo, 15% en tercero y el resto en cuarto. El porcentaje de aprobados en cada nivel es: 30% en primero, 40% en segundo, 60% en tercero y 70% en cuarto. Si se elige un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que: a) Haya aprobado. b) Sea de tercero y haya suspendido. 10) En un instituto de bachillerato hay matriculados 200 alumnos, repartidos en 2 niveles. En primero hay 125 alumnos y en segundo 75 alumnos. Se sabe que el 5% de los alumnos del primer curso y que el 10% de los alumnos del segundo curso son fumadores. Se elige un alumno al azar, calcule la probabilidad de que: a) Sea fumador. b) Sea de segundo y fumador. c) Sea de segundo sabiendo que es fumador. d) Sea fumador o sea de segundo

2 ( ) = 0.6, P( B C ) = 0.75 y P A B ( ) = ) Sean A y B dos sucesos tales que P A C a) Calcule P( A B). b) Calcule P( A C B C ) (Recordar las Leyes de Morgan) 12) El 40% de las declaraciones son positivas. Un 10% de las que resultaron positivas fue como consecuencia de errores aritméticos. Si hay un 5% de declaraciones con errores aritméticos, qué porcentaje de éstas resultaron positivas? 13) Una empresa de electrodomésticos tiene tres talleres que fabrican el 50%, el 25% y el 25% de su producción total. La probabilidad de que un electrodoméstico sea defectuoso es, para las distintas fábricas, la siguiente: 0 05, 0 02 y a) Cuál es la probabilidad de que un electrodoméstico sea defectuoso? b) Si compramos un electrodoméstico y es defectuoso, cuál es la probabilidad de que proceda del segundo taller? 14) En una manzana hay 10 aparcamientos. Cada aparcamiento puede encontrarse libre o no, con independencia de lo que ocurra en los otros. La probabilidad de que un aparcamiento esté libre es 0.4. Se pide: a) Identificar y describir este modelo de probabilidad. b) Calcular la probabilidad de que cierto día se encuentren 8 automóviles aparcados. 15) Una encuesta revela que el 20% de la población es favorable a un político y el resto es desfavorable. Elegidas 6 personas al azar, se desea saber: a) La probabilidad de que las 6 personas sean desfavorables. b) La probabilidad de que las 6 personas sean favorables. 16) Las tallas de 800 recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 66 cm y una desviación típica de 5 cm. Calcule cuántos recién nacidos cabe esperar con tallas comprendidas entre los 65 y 70 cm. 17) Los ingresos diarios de una empresa tienen una distribución normal de media y desviación típica Justifique si es razonable o no esperar obtener un día unas ventas superiores a ) El peso de los toros de determinada ganadería se distribuye como una normal de media 500 kg y desviación típica 45g. Si la ganadería tiene 200 toros, cuántos se esperan que: a) Pesen más de 540 kg b) Pesen menos de 480 kg c) Pesen entre 490 y 510 kg. 19) Un saco contiene 400 monedas y es vaciado sobre una mesa. Halle la probabilidad de que: a) Aparezcan más de 210 caras. b) El número de cruces esté comprendido entre 190 y ) La probabilidad de que un golfista haga hoyo en cierto tipo de lanzamiento es 0.2. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que: a) No acierte ninguna vez. b) Acierte, por lo menos, dos veces. c) Supongamos que lanzara veces y su capacidad de acierto se mantuviese, cuál es la probabilidad de que acierte más de 2080 veces? 21) Se desea hacer un estudio de mercado sobre el nivel de aceptación de un tipo de detergente. Para ello se ha tomado una muestra aleatoria formada por 60 personas, de las cuales 45 son asiduas al citado detergente. Halle un intervalo de confianza al nivel del 99% para la proporción de usuarios de dicho detergente. 22) Un psicólogo ha estudiado que el tiempo de reacción de un alumno se distribuye normalmente. Con una muestra de 100 alumnos, la media de tiempo de reacción fue de 45 segundos y la desviación típica de 0.04 segundos. Halle un intervalo de confianza para la media de los tiempos de reacción con un nivel de confianza del 92%.

3 23) Con el fin de investigar el cociente de inteligencia media de cierta población estudiantil, se pasó una prueba a 200 estudiantes. La media de la muestra fue 64 puntos. Por otra parte, se sabe que el cociente de inteligencia en la población se distribuye normalmente con desviación típica 9.3 puntos. Halle un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 97%. 24) Deseamos estimar la edad media de los alumnos de determinada academia en el curso Sabemos, por un estudio, que la edad media durante el curso era 22.5 años, con una desviación típica de tres años. Qué tamaño de muestra se debe elegir para cometer, en esta estimación, un error máximo de 0.5 años con un nivel de confianza del 99%? 25) Para realizar un estudio sobre la antigüedad de los vehículos cuando son dados de baja con un nivel de confianza del 95.45% y un error máximo de medio año, qué tamaño mínimo de muestra se debe elegir si sabemos que la desviación típica es de 4.3 años? 26) El nivel de desarrollo cognitivo de niños de 5 años se distribuye según una normal con varianza poblacional Se ha elegido una muestra aleatoria formada por 60 niños de 5 años y se ha determinado que la media es de 13 puntos. a) Halle un intervalo de confianza para la media poblacional al nivel de 95%. b) Cuántos niños se debería haber tomado en la muestra para estar seguro, al nivel del 95%, de que el error máximo es 0.1? 27) Se supone que el peso de las sandías de cierta variedad sigue una distribución normal con desviación típica de 1 kg. Se toma una muestra aleatoria de 100 sandías y se observa que el peso medio es de 6 kg. a) Calcúlese un intervalo de confianza al 95% para el peso medio de esa variedad de sandía. b) Puede aceptarse la hipótesis de que el verdadero peso medio de las sandías es de 5kg, frente a que sea diferente, con un nivel de significación de 0.05? 28) En una comunidad autónoma se estudia el número medio de hijos por mujer a partir de los datos disponibles en cada municipio. Se supone que este número sigue una distribución normal con desviación típica igual a El valor medio de estos datos para 36 municipios resulta se igual a 1.17 hijos por mujer. Se desea contrastar, con un nivel de significación de 0.01, si el número medio de hijos por mujer en la comunidad es de ) Una determinada fábrica de legumbres lanza al mercado paquetes de un kilo. Para comprobar que el peso medio de estos paquetes es de un kilo, se toma una muestra de 100 paquetes y se obtiene el peso medio es con una desviación típica de kilos. Se puede afirmar que el peso medio es efectivamente un kilo, con un nivel de confianza del 99%? 30) Una empresa de teléfonos asegura que, por termino medio, realiza una instalación estándar en una casa en menos de 15 días. Se seleccionan un total de 20 instalaciones realizadas por dicha empresa, resultando un tiempo medio de 14.2 días. Si se sabe que la desviación típica es de dos días, contraste con un nivel de significación de 0.05 si el tiempo medio de una instalación es inferior a los 15 días. 31) Un hospital sostiene que el número de infectados en intervenciones quirúrgicas en sus quirófanos no sobrepasa el 12%. Se realiza un control sobre 300 enfermos intervenidos en dicho hospital de los cuales 45 si fueron infectados. Es coherente la afirmación del hospital con 1% de significación? 32) El responsable de una campaña electoral piensa que su candidato está en desventaja frente a su rival político, por lo que decide hacer una encuesta a 1500 electores, resultando que 720 votarían a su candidato y el resto al otro. Existen razones para pensar que este candidato está en desventaja frente a su oponente con un nivel de significación del 1%?

4 ÁLGEBRA 33) Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1.5 kg de plátanos y otra necesita 0.5 kg de manzanas, 2.5 de ciruelas y 3 de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1.8 euros/kg, los de las ciruelas 2.1 y los de los plátanos 1.9 y en la frutería B son 1.7, 2.3 y 1.75 respectivamente. Se escriben las matrices: M = N = a) Determine M N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra? 34) Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos; leche, queso y nata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y, en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos: Efectúe el producto A B t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. 35) Calcule, en cada caso, la matriz X: a) A X B + C = θ A = 4 1, B = , C = b) X A 2B + 3C = D A = 2 3, B = 2 0, C = 0 3, D = c) A X = B A = B = d) X A = B A = B = ) Calcule, si es posible, una matriz X que verifique X A = B C, donde: A = 2 3 B = C =

5 37) Resuelva los siguientes sistema por el método de Gauss : x 2y + 3z = 2 x 2y 3z =1 a) x + y z = 1 c) x + 2y + z = 1 y + 2z =1 x 2y 5z =1 3x 2y 2z = 3 2x + 3y + 4z = 9 b) x z =1 d) x + 2y 3z = 2 2y z = 0 3x + 8y + 5z =16 38) Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcule cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo. 39) En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A y B. Como máximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B. Indique todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas ventas superiores a 60 euros, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son de 30 y 10 euros, respectivamente. 40) Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 41) Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. Calcule los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2 euros y uno de B 10 euros.

6 ANÁLISIS 42) Estudie la continuidad de las siguientes funciones: a) d) b) e) c) f) 43) Defina, si es posible, la siguiente función de manera que sea continua en todo IR 44) Se considera la función. Se pide: a) Hallar su dominio. b) Razonar si es posible definir de forma que sea continua en IR. 45) Determine, si es posible, el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas: a) b) 46) Calcule la derivada de las siguientes funciones, simplificando la expresión obtenida: a) f (x) = (2x 4x 2 ) 5 b) f (x) = 1 3 x 4 c) f (x) = 1 x 2 1+ x 2 1+ e2x d) f (x) = 1 e 2x 1 e) f (x) = ( 2x 3) 3 4 f) f (x) = 3x +1 g) f (x) = x 2 1 x 2 h) f (x) = e x 2 x 2 i) f (x) = x +1 x Ln x

7 47) Calcule los siguientes límites aplicando la regla de L Hôpital: a) lím x 0 e x + x 1 x 2 b) lím x 1 x 3 +1 x 2 3x 4 c) lím x 0 Ln(e x + x 3 ) x 48) Sea la función f definida mediante f ( x) = x 1 2x 1. a) Determine los puntos de corte con los ejes. b) Estudie su curvatura. c) Determine sus asíntotas. d) Represente la función. a x b x d) lím x 0 x e) lím x 0 Ln(1+ x) 49) Dada la función f ( x) = 2x 2 3x + a si x 0, halle a y b para que la función sea x 2 + bx +1 si x > 0 continua y derivable en todo su dominio de definición. 50) Determine dónde se alcanza el mínimo de la función f ( x) = 3x 2 6x + a. Calcule el valor de a para que el valor mínimo de la función sea 5. 51) Dada g( x) = 2x e 3x 1, calcule g' ( 3). ( ) = x 2 4 x + 6 y g( x) = 2x x 2 : 52) Dadas las funciones f x a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de cortes con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente. b) Determine el valor de x para el que se hace mínima la función h( x) = f ( x) g( x). 4 x 3