1.- Concepto de matriz

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1 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 1.- MATRICES Y DETERMINANTES. PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Página Concepto de matriz 2 Resuelva los siguientes apartados: a) Compruebe que se cumplen las siguientes afirmaciones poniendo un ejemplo en cada caso: 1) La traspuesta de una matriz fila es una matriz columna 3A=314 A=14t2) La traspuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior A=034 A= t3) Si A es una matriz cualquiera (At)t = A A= A=15 (A)==A ttt4) Si A es una matriz de orden m x n entonces At es de orden n x m 3x2 2x A= A= t

2 b) Construya la matriz A de orden 3 x 2 cuyos elementos son a 11 = 4 a 31 = 0 a 22 = 3 a 12 = 5 a 32 = 7 y a 21 = 1 5A= a b 9 b a 17 2b a 7 Calcule a, b para que sean iguales las matrices A = 11 7c) a b 2 B = a 3b 3 3 a 9 Resuelva los siguientes apartados: a) Dadas las matrices S:S: a = 5 b= Operaciones con matrices 0 2 a b A B Calcule los valores a y b para que AB = BA (Propuesto para Selectividad 2015) S: a = 1 b= 4 b) Sean A una matriz de dimensión 5 x 4, B de dimensión m x n y C de dimensión 3 x 7. Se sabe que se puede obtener la matriz producto ABC. 1) Cuál es la dimensión de B? 2) Y la del producto ABC? S: 4x3 S: 5x7 Página 2

3 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 1.- MATRICES Y DETERMINANTES. PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ a c) Se consideran las matrices A B Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (BA) t = A B t d) Se considera la matriz 1 a A 0 1 (Propuesto para Selectividad 2014) S: a = 0 siendo a un número real cualquiera. Obtenga la matriz A 2014 (Selectividad 1Junio ) aa014= 0 1e) Se consideran las matrices A B ) Efectúe la operación AB t 2) Determine la matriz X tal que A + 2X = B (Propuesto para Selectividad 2014) 461AB= X= tf) Sea la matriz A Calcule A 2 y A 2013 A2=2 Página 3 I A 2=(Propuesto para Selectividad 2013) 013A

4 2-7/2-1X=2521g) Sean las matrices A B 1 C Resuelva, si es posible, la ecuación matricial BA + 2X = C -1 h) Sea la matriz A (Propuesto para Selectividad 2013) 94Calcule A Junio 2013) 3(Selectividad i) Sean las matrices A B C Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: CD + A, C t DC, DC t, CDC t : 1) 3x2 2) 2x2 3) mx3 4) 3x3 (Selectividad Septiembre 2013) j) Determine las matrices X e Y, sabiendo que 3X 5Y X 3Y Y= X=Página 4

5 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 1.- MATRICES Y DETERMINANTES. PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Aplicaciones de las matrices a la vida real 14 Resuelva los siguientes apartados: a) Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1.5 kg de plátanos y otra necesita 0.5 kg de manzanas, 2.5 de ciruelas y 3 de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1.8 euros/kg, los de las ciruelas 2.1 y los de los plátanos 1.9 y en la frutería B son 1.7, 2.3 y 1.75 respectivamente. Se escriben las matrices 1) Determine M N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. Frutería A Frutería B 8,58,325=Persona 1 : 1,851,8 Persona 2 MN5Representa el gasto de cada persona en cada frutería 2) En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra? : A la primera persona, en la frutería B y a la segunda persona le conviene por igual Página 5

6 Página 6 b) Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y, en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos Efectúe el producto A.B t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante S :AB=H Loselementosdeladiagonalprincipal,1550 y1435 representanlasgananciastotalesencadasupermercadot

7 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 1.- MATRICES Y DETERMINANTES. PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Página 7 c) Los alumnos de 2º de Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno. 1) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño. GrandesPequeñosHuevos21M=Azúcar53Harina100802) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A (20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto. Grandes20Grandes30A=B=Pequeños30Pequeños203) Calcule los productos MA y MB e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. Y 30 grandes y 20 pequeños? (Propuesto para Selectividad 2012) 4400huevos70MA=azucar190harinaParahacer20pastelesgrandesy30pequeñoshacenfalta70huevos,190teronesdeazúcary4400gdeharinaPortanto,con8docenas(96huevos),200teronesdeazúcary5kg(5000g)deharinatenemosynossobra 4600huevos80MB=azucar210harinaParahacer30pastelesgrandesy20pequeñoshacenfalta80huevos,210teronesdeazúcary4600gdeharinaPortanto,con8docenas(96huevos),200teronesdeazúcary5kg(5000g)deharinaNOTENEMOSSUFICIENTE(nosfaltaazúcar)

8 Página 8 d) Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos, grande y normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato A B C A B C normal grande normal grande G F 1) Efectúe los productos. y t t G F G F tt fg= fg= ) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias. En la matriz F t G. Ganancias de A: 1400 Ganancias de B: 2450 Ganancias de C: 820 3) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total. (Propuesto para Selectividad 2012) En la matriz FG t. Ganancias de G: 2200 Ganancias de N: 2470

9 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 1.- MATRICES Y DETERMINANTES. PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Página 9 17 Resuelva los siguientes apartados: a) Escriba las matrices de adyacencia asociadas a los siguientes grafos AlicanteBarcelonaMadridSevilaValadolidAlicante01100Barcelona10100Madrid11011Sevila00100Valadolid b) Dadas las siguientes matrices de adyacencia que unen los nodos a, b y c, dibuje los grafos que representan A B

10 20 Resuelva los siguientes apartados: a) Calcule los siguientes determinantes: 1) b) Resuelva la ecuación 2) 4.- Determinante de una matriz cuadrada ) ) ) ) : 1) 27 2) 0 3) 2 4) 63 5) -35 6) x x = 0 : x = Calcule la matriz adjunta de cada matriz: a) b) c) d) e) f) Soluc. a) 2 1 b) c) d) e) f) Página 10

11 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 1.- MATRICES Y DETERMINANTES. PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Resuelva los siguientes apartados: 5.- Matriz inversa a) Calcule, si es posible, la inversa de las matrices: 1) ) ) ) ) ) ) ) : 1) 2) 3) No tiene inversa 4) 5) ) ) ) No tiene inversa Página 11

12 b) Una matriz cuadrada A cumple A 2 2A + I = 0 1) Demuestre que A es invertible e indique cuál es la inversa de A : A( A + 2I) = I, luego A 1 = A + 2I 2) Compruebe que la matriz A = cumple la igualdad anterior y calcule A : A k c) Estudie para qué valores de k la matriz A = 2 1 k 1 tiene inversa. 3 2 k 4 : A = 3k+9 = 0 k = 3. Luego, A tiene inversa para k 3 d) Dadas las matrices A 0 2 a b B Para a = 1, b = 0 resuelva la ecuación matricial XB A = I (Propuesto para Selectividad 2015) : X(A I) B, pues B Página 12

13 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 1.- MATRICES Y DETERMINANTES. PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ a e) Se consideran las matrices A B Para a = 2, resuelva la ecuación matricial XA = B f) Se considera la matriz 3 2 B 1 4 (Propuesto para Selectividad 2014) : X BA 1 3, pues A Calcule la matriz Y, sabiendo que BY = 6 9 (Propuesto para Selectividad 2014) : Y B 3, pues B g) Se consideran las matrices A B Determine la matriz X que verifica BX = 3A + A t (Propuesto para Selectividad 2013) 1 t : X B(3A A), pues B Página 13

14 h) Sean las matrices A B Resuelva la ecuación matricial AX + I 2 = 5B t A 2 (Propuesto para Selectividad 2013) 1 t : X A(5B A I), pues A i) Sean las matrices A B C 3 D Determine la matriz X para que AX + BC = D (Selectividad Junio 2013) : X A(D BC), pues A Página 14