EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

Transcripción

1 MATRICES Y DETERMINANTES 0 - Considera las matrices 0 y. Determina, si existe, la 2 3 matriz X que verifica AX+B=A 2. Andalucía - Junio 204 Opción B - Oficial 2- Sabiendo que el determinante de la matriz es 2, calcula los siguientes 2 3 determinantes: a) det(3a). b) det(a - ). 3 0 c) d) Andalucía - Septiembre 204 Opción B - Oficial 3- Se sabe que el determinante de la matriz es -3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) Det(-2A) y det(a - ). 2 5 b) y Andalucía - Junio 204 Opción A Reserva Considera las matrices y a) Calcula A -. b) Halla la matriz X que verifica A t X+B=I, siendo I la matriz identidad y A t la matriz traspuesta de A. Andalucía - Junio 204 Opción B Reserva 5- Considera las matrices, y. a) Para qué valores de m se verifica que 2? (I denota la matriz identidad) b) Para m =, calcula A - y la matriz X que satisface AX B = AB. Andalucía - Junio 204 Opción B Reserva 2 2

2 6- Sea 0 a) Determina los valores de M para los que los vectores fila de M son linealmente independientes. b) Estudia el rango de M según los valores de m. c) Para m =, calcula la inversa de M. Andalucía - Septiembre 204 Opción A Reserva 2 7- Sea a) Comprueba que 2 y Calcula A -. b) Calcula A 203 y su inversa. Andalucía - Junio 203 Opción B Oficial 8- Considera las matrices y a) Halla, si es posible, A - y B -. b) Halla el determinante de AB 203 A t siendo A t la matriz traspuesta de A. c) Calcula la matriz X que satisface AX-B=AB. Andalucía - Septiembre 203 Opción B Oficial 9- Considera las matrices 2 0 0, " 2 6 a) Halla A -. b) Calcula la matriz X que satisface AX=B t C (B t es la matriz traspuesta de B). c) Halla el determinante de A 203 B t B(A - ) 203. Andalucía - Junio 203 Opción A Reserva # $ 0- Sabiendo que el determinante de una matriz % & ' es 4, calcula los siguientes ( ) * determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas: a) det(-2a) y det(a - ). # $ 3% 3& 3' b) 2% 2& 2' y # $. ( ) * ( ) * Andalucía - Junio 203 Opción B Reserva 3

3 - Considera las matrices 2 y 0. a) Calcula X e Y tales que X-Y = A t y 2X Y = B (A t es la matriz traspuesta de A). b) Calcula Z tal que AZ = BZ +A. Andalucía Junio 203 Opción B Reserva 2 2- Sean 2 3 2, a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m. b) Discute el sistema AX=B según los valores del parámetro m. c) Resuelve el sistema AX=B para m=. Andalucía Septiembre 203 Opción A Reserva 3 3- Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(m) = 2. Calcula: a) El rango de M 3. b) El determinante de 2M t (M t es la matriz traspuesta de M). c) El determinante de (M - ) 2. d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M. Andalucía Septiembre 203 Opción B Reserva 4 4- Sea la matriz 2 2, a) Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X+I)A=A t, donde I denota la matriz identidad y A t la matriz traspuesta de A. Andalucía Junio 202 Opción A Oficial 5- Considera las matrices " Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB=C t la matriz traspuesta de C. Andalucía Junio 202 Opción A Reserva 6- Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA+A 3 B=A, siendo Andalucía Junio 202 Opción B Reserva 2 4

4 7- Dada la matriz 3 2, sea B la matriz que verifica que a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) Resuelve la ecuación matricial A - X-B=BA. Andalucía Junio 202 Opción B Reserva 3 8- Dadas las matrices a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α. b) Para α=2, resuelve la ecuación matricial AX=B. Andalucía Septiembre 20 Opción A Oficial 9- Sean las matrices y a) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es. b) Para α=-3, determina la matriz X que verifica la ecuación A t X=B, siendo A t la matriz traspuesta de A. Andalucía Septiembre 20 Opción B Oficial 20- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son y 2. a) b) / c) 2 d) 0, siendo B t la matriz traspuesta de B. e) El rango de B. Andalucía Junio 20 Opción A Reserva 2- Dada la matriz a) Demuestra que se verifica la igualdad A 3 = -I, siendo la matriz identidad de orden 3. b) Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) Calcula razonadamente A 00. Andalucía Junio 20 Opción B Reserva 5

5 22- Considera las matrices a) Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa? b) Para λ=, resuelve la ecuación matricial A - XA=B. Andalucía Junio 20 Opción A Reserva Sean A y B dos matrices que verifican: y a) Halla las matrices (A+B)(A-B) y A 2 B 2. b) Resuelve la ecuación matricial XA-XB-(A+b) t =2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A+B) t la matriz traspuesta de A+B. Andalucía Septiembre 20 Opción A Reserva Sea la matriz a) Determina los valores de λ para los que la matriz A-2I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) Para λ=-2, resuelve la ecuación matricial AX=2X+I. Andalucía Septiembre 20 Opción B Reserva Dada la matriz 2 a) Demuestra que A 2 +2ª=I y que A - =A+2I, siendo I la matriz identidad de orden 2. b) Calcula la matriz que verifica la ecuación A 2 +XA+5ª=4I. Andalucía Septiembre 20 Opción B Reserva Sean las matrices 0 3, 3 2, " a) Indica los valores de m para los que A es invertible. b) Resuelve la ecuación matricial XA-B t =C para m=0 (B t es la matriz traspuesta de B) Andalucía Junio 200 Opción A Oficial 6

6 27- Sean las matrices 0, 0 " Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB=C. Andalucía Septiembre 200 Opción B Oficial 28- Sea la matriz a) Comprueba que se verifica 2A-A 2 =I. b) Calcula A -. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). Andalucía Junio 200 Opción A Reserva 29- Sean las matrices a) Determina los valores de α para los que A tiene inversa. b) Calcula la inversa de A para α =. c) Resuelve, para α =, el sistema de ecuaciones AX=B. Andalucía Junio 200 Opción B Reserva Considera las siguientes matrices a) Calcula A -. b) Resuelve la ecuación matricial AXA t -B=2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y A t es la matriz traspuesta de A. Andalucía Septiembre 200 Opción A Reserva 3 3- Obtén un vector no nulo v=(a,b,c) de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango # 0 # $ 3 $ Andalucía Septiembre 200 Opción B Reserva 3 7

7 32- De la matriz # se sabe que det(a)=4. Se pide: $ % a) Halla det(-3a t 2# 2 ) y %&2 3% 3$. Indica las propiedades que utilizas. (At es la matriz traspuesta de A). b) Calcula det(a - ª t ). c) Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 =I, siendo I la matriz identidad, halla det(b). Andalucía Septiembre 200 Opción B Reserva Sean F, F 2, F 3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de B -. b) El determinante de (B t ) 4 (B t denota la matriz traspuesta de B). c) El determinante de 2B d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente. 5F -F 3 3F 3, F 2. Andalucía Junio 2009 Opción A Oficial 34- Sean las matrices 2 2, " Determina la matriz X que verifica AX-B t = 2C (B t es la matriz traspuesta de B). Andalucía Septiembre 2009 Opción B Oficial 35- Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican AXB=C. a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es - y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X. b) Si 2, " 0 3 calcula la matriz X. 4 2 Andalucía Junio 2009 Opción B Reserva 36- Dadas las matrices y a) Calcula, si existe, la matriz inversa de A. b) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA=A+2B y AY = A + 2B. Andalucía Junio 2009 Opción A Reserva 2 8

8 Considera las matrices 2 2 y a) Cálcula, si existe, A -. b) Resuelve el sistema AX=3X e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones. Andalucía Septiembre 2009 Opción B Reserva Se consideran las matrices 3 y B=A-kI, donde k es una constante e I es la 2 matriz identidad de orden 2. a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) Calcula B - para k = -. c) Determina las constantes α y β para las que se cumple A 2 + αa=βi Andalucía Septiembre 2009 Opción A Reserva Dadas las matrices 2 0 0, 0 " Calcula la matriz P que verifica AP-B=C T (C T es la matriz traspuesta de C) Andalucía Junio 2008 Opción B Reserva Sea I la matriz identidad de orden 3 y 2. Calcula, si existe, el valor de 3 k para el cual 3,4 es la matriz nula. Andalucía Septiembre 2008 Opción A Reserva Dadas las matrices a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuación matricial AX+B=A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3. Andalucía Septiembre 2008 Opción B Reserva 3 3, 42- Dada la matriz, 3 7, a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A. Andalucía Septiembre 2008 Opción B Reserva 4 9

9 43- Considera la matriz a) Determina la matriz B = A 2-2A. b) Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. c) Calcula B - para λ=. Andalucía Junio 2007 Opción A Oficial 44- Sean I la matriz identidad de orden 2 y. a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A-I) 2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2. b) Para m = 2, halla la matriz X tal que AX-2A T = O, donde A T denota la matriz traspuesta de A. Andalucía Septiembre 2007 Opción A Oficial 45- Considera las matrices a) Determina los valores de α para los que la matriz A tiene inversa. b) Para α=, calcula A - y resuelve la ecuación matricial AX=B. Andalucía Junio 2007 Opción A Reserva 46- a) Calcula el valor de m para el que la matriz verifica la relación 2A2 A = I y determina A - para dicho valor de m. b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M 2 M = I, determina la expresión de M - en función de M y de I. Andalucía Septiembre 2007 Opción A Reserva Sea A la matriz 5 5 e I la matriz identidad de orden 3. 3 a) Calcula los valores de λ para los que el determinante de A 2I es cero. b) Calcula la matriz inversa de A 2I para λ=-2. Andalucía Septiembre 2007 Opción A Reserva Se considera, siendo a un número real. 0 a) Calcula el valor de a para que b) Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y A t, siendo A t la traspuesta de A. c) Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta. Andalucía Junio 2006 Opción A Oficial 0

10 49- Resuelve Andalucía Junio 2006 Opción B Oficial 50- Resuelve AB t X=-2C, siendo B t la matriz traspuesta de B y 3 2, " 4 0 Andalucía Septiembre 2006 Opción B Oficial 5- Sea a) Determina los valores de 6 para los que la matriz A tiene inversa. b) Para m=0 y siendo X=(x y z), resuelve XA=(3 ). Andalucía Junio 2006 Opción A Reserva Sea 4 2 y sea I la matriz identidad de orden dos. 3 a) Calcula los valores 6 tales que 0. b) Calcula 7 0. Andalucía Junio 2006 Opción B Reserva Considera las matrices 3, " a) Halla, si existe, la matriz inversa de AB+C. b) Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican: " 3. Andalucía Septiembre 2006 Opción A Reserva Sean las matrices 2 3 2, " a) Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala. b) Determina la matriz X que cumple que AX+CB t = BB t, siendo B t la matriz traspuesta de B. Andalucía Junio 2005 Opción A Oficial

11 # $ 55- Sabiendo que % & ' 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) 3 /. $ # b) ' & % # $ c) % & % ' Andalucía Junio 2005 Opción B Oficial 56- Halla la matriz X que cumple que Siendo Andalucía Junio 2005 Opción B Reserva 57- Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea. # a) Determina el valor de b para el que 2 :. b) Para b=2 halla la matriz X que cumple que AX-2ª t = O, donde A t denota la matriz transpuesta de A. Andalucía Junio 2005 Opción B Reserva Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea 2 2. a) Halla los valores de x para los que la matriz A-xI no tiene inversa. b) Halla los valores de a y b para los que A 2 +aa+bi=o. Andalucía Junio 2005 Opción A Reserva Considera las matrices 0 2, 0 " a) Calcula AB, AC, A t B t y C t A t, siendo A t, B t y C t las matrices traspuestas de A, B y C, respectivamente. b) Razona cuáles de las matrices A, B, C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente inversa. Andalucía - Junio 2004 Opción B Oficial 2

12 60- Denotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M. a) Sabiendo que # y que det(a)=4, calcula los siguientes determinantes: $ % det > 2# 2 3% 3$ > b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B 3 =I. Calcula det(b). c) Sea C una matriz cuadrada tal que C - =C t. Puede ser det =3? Razona la respuesta. Andalucía - Junio 2004 Opción A Reserva 2 6- Se sabe que 2. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) b) c) Andalucía - Septiembre 2004 Opción B Reserva Sabiendo que? A? 6 # $ Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: 3 a) A 3 2 # $ b) 2@ 2 A 2# $ c) A 2 2 # 2 $ Andalucía - Septiembre 2004 Opción B Reserva 4 3

13 63- Sean C, C 2 y C 3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de A 3. b) El determinante de A -. c) El determinante de 2ª. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C -C 3, 2C 3 y C 2. Andalucía - Junio 2003 Opción A Oficial 64- Considera las matrices 0 0, 0 " a) Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial AX+2B=3C? b) Resuelve la ecuación matricial dada para m=. Andalucía - Septiembre 2003 Opción A Oficial 65- Considera las matrices 0 3, a) Para qué valores de m existe la matriz A -? b) Siendo m=2, calcula A - y resuelve el sistema AX=B. c) Resuelve el sistema AX=B para m=. Andalucía - Junio 2003 Opción A Reserva 66- Dadas las matrices Halla la matriz X que cumple AX=(BA t ) t. Andalucía - Junio 2003 Opción A Reserva Dada la matriz, se pide: 0 a) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2. Andalucía - Junio 2003 Opción B Reserva 2 4

14 68- a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 Cuánto vale el determinante de la matriz 4A? 2 0 b) Dada la matriz, para qué valores de λ la matriz 3B+B 2 no tiene 0 2 inversa? Andalucía - Septiembre 2003 Opción B Reserva Considera la matriz 2 B donde x es un número real. a) Para qué valores de x existe (M(x)) -? Para los valores de x obtenidos calcula (M(x)) -. b) Resuelve, si es posible, la ecuación M(3)M(x)=M(5). Andalucía - Septiembre 2003 Opción B Reserva Determina una matriz simétrica A (A coincide con su traspuesta) sabiendo que det Andalucía - Junio 2002 Opción A Oficial 7- Determina la matriz X que verifica la ecuación AX=X-B siendo Andalucía - Junio 2002 Opción B Oficial Considera la matriz Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante. Andalucía - Septiembre 2002 Opción A Oficial 73- Considera las matrices 0, 0 a) Calcula la matriz inversa de A. b) Calcula A 27 y A 28. c) Determina x e y tal que AB=BA- 0 0 Andalucía - Junio 2002 Opción B Reserva 5

15 74- Considera la matriz 0 2 a) Halla los valores de a para los que la matriz 3ª tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz A 2 para A=0. Andalucía - Junio 2002 Opción B Reserva Sin desarrollarlo calcula el valor del determinante de la matriz, 2, 2 3, 3 Y enuncia las propiedades que hayas usado. Andalucía - Septiembre 2002 Opción B Reserva Denotamos por M t a la matriz traspuesta de una matriz M. Considera , " a) Calcula (AB) t y (BA) t. b) Determina una matriz X que verifique la relación ". Andalucía - Septiembre 2002 Opción B Reserva 4 6