MATRICES Octubre 2015

Transcripción

1 MATRICES Octubre Sea la matriz a) Prueba que 0 donde I es la matriz identidad y 0 es una matriz con todos sus elementos igual a 0. b) Calcula A 3. (J 007) Sean las matrices 0, 1,, 6 1 a) Consideramos x e y dos variables y a un parámetro. Obtén el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que resulta de plantear AB C = D b) Estudia el sistema para los distintos valores de a. c) Encuentra la solución para a =. 3. Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que y que (J 005)Sea a) Calcula A y expresa el resultado en función de la matriz identidad. b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A Sean las matrices 1 0, y 1 donde x e y son desconocidos a) Calcula las matrices ABC y A t C b) Halla x e y para que se verifique ABC = A t C 1 6. (J004) Sea 1 a) Calcula A b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que Encuentra, si existen, matrices cuadradas A, de orden, distintas de la matriz identidad, tales que conmuten con la matriz 1 0 Cuántas matrices A existen con esa 1 1 condición? Razona la respuesta. 8. Sea a) Demuestra que donde I es la matriz identidad. b) Halla las matrices A 3 y A 4 expresándolas en función de A y de I.

2 9. Calcula los valores de x para que la matriz 0 verifique la ecuación 0 6 9, donde I y O son, respectivamente, las matrices identidad y nula de orden. 10. En una acería se fabrican tres tipos de productos: aceros en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla siguiente, por cada unidad de producto fabricado: Acero en láminas Acero en rollos Aceros especiales Chatarra Carbón Aleaciones 1 3 a) Si durante el próximo mes se desean fabricar 6 unidades de acero en láminas, 4 unidades de acero en rollos y 3 unidades de aceros especiales, obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán necesarias. b) Si se dispone de 34 unidades de chatarra, 8 de carbón y 9 de aleaciones, cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales? 11. Un almacén surte de frutas a las tiendas A,B y C. A la tienda A le venden 50 kg de manzanas, 60 kg de peras y 40 kg de plátanos. A la tienda B 38 kg de manzanas, 80 kg de peras y 35 kg de plátanos. A la tienda C 50 kg de peras, 35 kg de manzanas y 50 kg de plátanos. Sabiendo que el precio por kg es : 0,70 las manzanas, 1,0 las peras y 0, 85 los plátanos, expresar en forma matricial las ventas de este almacén por tiendas y calcular lo que tiene que cobrar a cada tienda. 1. Sean A una matriz de dimensión 5 4, B una matriz de dimensión m n y C de dimensión 3 7. Si se sabe que se puede obtener la matriz producto ABC, cuál es la dimensión de la matriz B? Y la de la matriz ABC? b) Si A es una matriz, existe siempre el producto A t A? Razone la respuesta 13. Sean las matrices A = B = C = a) Hallar la matriz inversa de A. b) Calcular la matriz X que satisfaga la ecuación: AX + B = C 14. Calcular la matriz X tal que AX = B siendo A y B las matrices A = 3 1 y B = Se cumple que XA = B? 15. Sea la matriz A = Hállese una matriz B tal que A-1 B = A Sean las matrices: A = B =. 3 3

3 a) Compruébese que B es la inversa de A. b) Calcúlese la matriz ( A I ). c) Calcúlese la matriz X tal que AX = B Sean las matrices A = B = a) Determínese si A y B son invertibles y en su caso, calcúlese la matriz inversa. b) Resuélvase la ecuación matricial XA B = I, siendo I la matriz identidad de orden 3. c) Calcúlese A a Calcular los valores de a para los cuales la inversa de la matriz A = coincide 5 4 a con su traspuesta Hallar los valores de a para los que no existe la inversa de la matriz (J 010) Dadas las matrices Halla una matriz X que verifique 1. (J 011) Resuelve: (S 014) Dada la matriz: a) Determina los valores de t para los que existe la matriz inversa de A. b) Calcula la matriz inversa para t =. 3. (S 015) 1A- Calcula todos los valores, si existen, de los parámetros reales a y b que hacen que 0 siendo 1, SOLUCIONES: ) ) ) 1 ) 1 ) 1..., 6 ) )...,1)

4 3) ) ) ) 5) ) 0 ) 6) ) 1 1 ), 0 7) 0 8) ) ) x = ) ) cantidades de chatarra, carbón y aleación b) unidades de chatarra, 4 unidades de carbón y 1 unidad de aleación 11) ) ) , ) 4 3, ) 13) ) ) / 7/ 14) ) 4 5 ) ) ) a) Comprobar que AB = I b) ) ) ) ) ) ) 18) 3 19) b) a = 6 3/ 3 0) 17/ 13/ 1/ 3/ 15/ 6

5 1) ) a) para t = y t = 1 b) ) Se cumple para todos los valores de a y b que cumplan la relación 8, es decir la matriz X será de la forma 3 8