TEMA 3: DETERMINANTES
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- Adrián Giménez Aguirre
- hace 7 años
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1 TEMA Ejercicios / TEMA : DETERMINANTES. Calcula los determinantes de las siguientes matrices: A B C d. D e. E f. F SOL: A 0 SOL: B SOL: C 5 SOL: D 0 SOL: E 0 SOL: F 0. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular los determinantes de las siguientes matrices A B SOL: A SOL: B 4
2 TEMA Ejercicios / C SOL: C 0. Resuelve la siguiente ecuación, sin desarrollar el determinante, e indicando las propiedades que utilizas: x a y x c a b c x b c a b x 0 4. Demuestra que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal (utiliza el método de inducción y desarrolla sucesivamente el determinante de la matriz por los elementos de cada columna). a a a... a n Sea la matriz triangular de orden n a a a... a n 0 a a... a n 0 a a... a n 0 0 a... a n a nn vamos a ver que 0 0 a... a n a a a...a nn a nn Para n: a a 0 a a a a a a Para n 0 a a a a a 0 0 a Supongamos que se verifica para n y veamos que también es cierto para n
3 TEMA Ejercicios / a a a... a n a n 0 a a... a n a n 0 0 a... a n a n a nn a nn a nn a a a... a n 0 a a... a n n a nn 0 0 a... a n a a a...a nn a nn a nn Luego para todo valor de n se verifica que: a a a... a n 0 a a... a n 0 0 a... a n a a a...a nn a nn 5. Si el valor del determinante a b c p q r u v w es 5 calcula razonadamente el valor de: a b c p q r u v w p q r a b c u v w q p r b a c v u w a b c p q r u v w 5
4 TEMA Ejercicios / 4 p q r a b c a b c p q r 5 u v w u v w q p r p q r a b c b a c a b c p q r 5 v u w u v w u v w 6. Demuestra sin desarrollar que el siguiente determinante vale 0: a b c b a c c a b A la tercera columna le sumo la segunda: a b c a a b c b a c b a b c 0 c a b c a b c Como la primera y la tercera columna son proporcionales el determinante vale cero. 7. Si 0 5, calcula sin desarrollar, los siguientes determinantes: x y z 0 x y z x y z x y z 4
5 TEMA Ejercicios / 5 x y z x y z x y z x y z x y z 0 x y z 0 0 x y z x y z Calcula por reducción los siguientes determinantes: x x x
6 TEMA Ejercicios / 6 x x x 0 x 0 0 x x x 9. Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro 0 0 m 0 8 t t t t 0 Como el determinante 0 4 0, luego independientemente del valor del 0 parámetro m el rango de la matriz es 8 t t. Luego si t, el rango de la matriz es, y si t, el rango de la matriz es. t t t 0 t 4t t t. Luego: Si t,, entonces el rango de la matriz es t Si t, entonces t t , por tanto el rango es, como el menor
7 TEMA Ejercicios / 7 Si t, entonces t t t 0 0, como el menor 0 0, por tanto el rango es 0. Calcula a y b para que el rango de la siguiente matriz sea menor de 4 a b 0 4 Para que el rango sea menor de, si partimos del menor x 0, y lo orlamos con la tercera fila y la tercera columna, y luego con la tercera fila y cuarta columna, tendremos los menores x siguientes: 4 a a 0 4 b 4 b 0 Para que el rango sea menor de, ambos menores deben tener determinante nulo, luego: a 0 4 b 0, Luego : a, b 4. Halla, si es posible, la matriz inversa de. Halla la matriz x y tal que 8 x y 5
8 TEMA Ejercicios / 8 4. Calcula utilizando determinantes las matrices inversas de: A B A B Resuelve la ecuación matricial A X B I, siendo: A 0 0, B 5, 5 X 5. Calcula, para los valores del parámetro para los que sea posible, la matriz inversa de a la siguiente matriz: 0.
9 TEMA Ejercicios / 9 Como el determinante de la matriz es a 0 a, sia 0 la matriz inversa será: a a a a a a 0 a a. a 6. Para qué valores del parámetro la matriz 0 a matriz inversa en los casos en que sea posible. no tiene inversa?. Calcula la a Como 0 a 0 a 0 a 0 Si a 0 entonces la matriz inversa será: 4 0a a 0a a 0a a 0a 0a a4 0a 5 0a 0a 0a. 7. Calcula utilizando determinantes el rango de las siguientes matrices: A B C 0 d. D 0 0
10 TEMA Ejercicios / 0 rana ranb ranc d. rand 4 8. Calcula el siguiente determinante de Vandermonde: a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a ba ca db cb dc d a b c d 9. Calcula el determinante a b c d b a d c c d a b d c b a (Observación: Calcula A A t ). a b c d A A t b a d c c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d Luego AA t a b c d 4 Como el determinante del producto es el producto de los determinantes, y además el determinante de la matriz A coincide con el determinante de su traspuesta, tenemos: AA t A A t A
11 TEMA Ejercicios / Luego A a b c d 4 y por tanto A a b c d 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: x 6 4 x 4 0 x x x x x 4x x 4x 6x 0 0 x 0 0 x x
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