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Victoria Valverde Ortiz de Zárate
hace 6 años
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Represente en una tabla la función de probabilidad P(X=x), y la función de distribución de probabilidad, F( x) = P( X x), y determine las siguientes probabilidades. 1. P( X 5). P( X ³ 60) 3.

1 1. Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40, 50 y 60 con probabilidades 0.4, 0., 0.1 y 0.3. Represente en una tabla la función de probabilidad P(X=x), y la función de distribución de probabilidad, F( x) = P( X x), y determine las siguientes probabilidades. 1. P( X 5). P( X ³ 60) 3. P( X < 40) 4. P( X > 40) 5. P(30 X 60) 6. P(30 X < 60) 7 P(30 < X 60) 8. P(30 < X < 60) Obtenga la esperanza y varianza de X. Se lanzan dos monedas y contamos el número de caras. Indica la función de probabilidad y la función de distribución. 3. Se lanzan dos dados. Por cada 5 que aparezca ganas 0 euros y pierdes 10 euros en caso contrario. Te conviene ese juego? 4. Con la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada en la tabla siguiente a. Determine la esperanza y varianza X P(X) 10 0,1 1 0,3 14 0,5 15 0, ,15 b. Determine la función de distribución de probabilidad c. Determine F(33), F(14,5), F(3), P(10,5 < X 17,5) 5. Un tratamiento contra el cáncer produce mejoría en el 80% de los enfermos a los que se les aplica. Se suministra a 5 enfermos. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que los 5 pacientes mejoren. b) Calcular la probabilidad de que, al menos tres no experimenten mejoría. c) Cuántos pacientes se espera que mejoren? Ejercicios de probabilidad-1

2 6. Una caja contiene 10 tornillos de los cuales 3 son defectuosos. Se extraen, de una forma sucesiva y sin devolverlos a la caja, 4 tornillos. Calcular la probabilidad de que : a) Los 4 tornillos extraídos no sean defectuosos. b) Al menos un tornillo, de los 4 extraídos, sea defectuoso. 7. Si la probabilidad de que ocurra un suceso A es 1/5, cuál es el número mínimo de veces que hay que repetir el experimento para que la probabilidad de que ocurra al menos una vez el suceso A sea mayor que 1/? Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos dos veces A al realizar 5 veces el experimento? 8. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas. 9. El 5% de los clientes de una entidad bancaria son morosos. Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un moroso entre 10 clientes elegidos al azar? 10.. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es: X p(x=x i ) 0,01 0,0 m n 0,10 0,09 Calcula m y n si la media de X es,45 ì x + kx, si 0 x f ( x) = 11. Dada í 0,, puede ser f(x) función de densidad de una variable î en otro caso aleatoria continua para algún valor de k? ì kx + x, si 0 x f ( x) = 1. Dada í, puede ser f(x) función de densidad de una variable î 0, en otro caso aleatoria continua para algún valor de k? Si fuese una función de densidad calcula p(0<x<1) 13. La variable aleatoria que mide el tiempo de espera, en minutos, para ser atendido en una 3 empresa de telefonía móvil tiene función de densidad f ( x) = x, con 0 x 8. (Si x > 8 la 51 llamada se corta automáticamente). Halla: a) La probabilidad de ser atendido en menos de minutos. b) La probabilidad de ser atendido después de 5 minutos de espera Ejercicios de probabilidad-

3 14. La función de distribución asociada a la producción de una máquina, en miles de unidades, es del tipo: ì0 si x < 0 ï F( x) = íx ( - x) si 0 x k ï î1 si x > k Encontrar k para que la función F(x) sea una función de distribución. Calcule la función de densidad de la variable producción. Obtenga media y varianza de la producción. Cuál es la probabilidad de que la producción sea inferior a 500 unidades? Y la de que sea superior a 50 unidades? Si el beneficio de la máquina viene dado, en función de la producción, por B=6X-3, calcule la función de densidad y de distribución del beneficio. ( )( ) 15. Definimos la función de densidad f ( x) = -1 / 36 x - 9 en el intervalo [-3,3]. Prueba que verifica las condiciones de una función de densidad y calcula la media y la varianza. 16. Utiliza la tabla de la distribución N(0,1) para calcular: a) P( Z 1); b) P( Z,46); c) P( Z ³ 1); d) P( Z - 1); e) P(0,5 < Z < 1) 17. El consumo familiar diario de electricidad (en kw) en cierta ciudad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 5,7 kw y desviación típica 1,1 kw.calcula la probabilidad de que al tomar una persona al azar su consumo esté comprendido entre 5kW y 6kW. 18. Utilizando la tabla normal N(0, 1) calcula interpolando: a) P( Z < 1,35); b) P( Z < 1,645); c) P( Z < 0,666); d) P( Z < 1,863); e) P( Z > 1, 45) f ) P( Z > -1,4) 19. Utilizando la tabla normal N(0, 1), determina el valor de k que cumple: a) P( Z < k) = 0,9115; b) P( Z < k) = 0,945; c) P( Z < k) = 0,1587; d) P( Z < k) = 0,95 0. Para una distribución normal N(50, 5), halla: a) P( X < 56); b) P( X > 58); c) P( X < 48); d) P(48 < X < 56) Ejercicios de probabilidad-3

4 1. Supongamos que la estatura media de las alumnas de bachillerato se distribuye normalmente con media µ = 166 cm y desviación típica 9 cm. Si se elige una alumna al azar halla la probabilidad de que su estatura sea: a) Superior a 175 cm. b) Inferior a 155 cm. c) Esté entre 155 cm y 175 cm.. Para una distribución normal N(60, 5), determina el valor de k que cumple: a) P( X < k) = 0,90; b) P( X > k) = 0,95; c) P(60 - k < X < 60 + k) = 0, Supongamos que los chicos de 15 años de un determinado país tienen una estatura que se distribuye según una normal de media 168 cm y desviación típica 1 cm. Si se quieren seleccionar al 5% de los chicos más altos, a partir de qué altura debe hacerse? 4.El diámetro de las ciruelas de una determina variedad se distribuye normalmente con media 4,5 cm y desviación típica 0,3 cm. Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10% de las más grandes, a partir de qué tamaño hay que cogerlas? 5. La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de 40 años. Se sabe además que el,8 % de los habitantes tiene más de 60 años. a) Cuál es la desviación típica? b) Cuál es el porcentaje de habitantes con menos de 35 años? 6. La duración de una determinada marca de lavadoras se ajusta a una normal de media 8,4 años y desviación típica 6 meses. El fabricante asegura que sus lavadoras duran más de 7 años, comprometiéndose a: si una lavadora se estropea antes de 7 años le damos otra nueva. Cuántas lavadoras nuevas tendrá que reponer por cada vendidas? 7. Los envases de cartón de una determinada marca de leche contienen 1 litro de media, siendo la desviación típica de 5 ml. a) Qué porcentaje de envases sobrepasan los 1005 ml. b) Si el control de calidad rechaza los envases que contengan menos de 990 ml y más de 1010 ml, qué porcentaje de envases habrá que rechazar? Ejercicios de probabilidad-4

5 8. Mediante la aproximación normal de la binomial B(50, 0,1) calcula: a) P( X = 6); b) P( X = 1); c) P(6 < X 1) 9. El 4% de los habitantes de un pueblo pasa cada día por la calle mayor. Elegidos 60 habitantes al azar, qué probabilidad hay de que más de 30 de ellos pasen ese día por la calle mayor? 30. Un examen de respuesta múltiple consta de 80 preguntas, cada una con 4 opciones, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al azar, cuál es la probabilidad de que acierte 5 o más preguntas? Y menos de 10? Ejercicios de probabilidad-5

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