MATEMÁTICAS UNIDAD 4 GRADO 8º. Números complejos, Inecuaciones y desigualdades

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1 1 Franklin Eduardo Pérez Quintero MATEMÁTICAS UNIDAD 4 GRADO 8º Números complejos, Inecuaciones y desigualdades 1

2 2 Franklin Eduardo Pérez Quintero LOGRO: Identifica los conjuntos de números que pertenecen a los números Reales y realiza operaciones básicas con estos y con los números complejos. INDICADORES DE LOGRO: Reconoce los componentes de un número complejo. Representa números complejos en el plano cartesiano. Suma y resta números complejos. Multiplica y divide números complejos. Identifica los diferentes símbolos de las desigualdades y el intervalo que resulta de cada uno de ellos. Resuelve inecuaciones de primer grado con una incógnita Resuelve inecuaciones con denominadores POR QUÉ COMPLEJOS?, SON MÁS ENREDADOS QUE LOS OTROS? 2

3 3 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Qué es para ti algo imaginario? Cuál es la diferencia entre algo real y algo imaginario? En qué momentos de tu vida utilizas más tu imaginación? Cómo crees que puede escribirse un número imaginario? Para qué crees que sirven los números imaginarios? 3

4 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero Historia Números Complejos Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una simple ecuación como x 2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos. Para poder obtener una solución de la ecuación x = 0, utilizamos el número i, tal que i 2 =-1. Este número i no es un número real y se llama la unidad imaginaria, pero i 2 si es un número real. Así pues, se hace la invención de unos números que pasan por la mente de alguien y por lo tanto se llaman números imaginarios. Definición.Un número complejo z es una combinación lineal de la forma (a,b), en donde a y b son números reales. Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número b la parte imaginaria de z, b = Im(z). A la expresión a + bi de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z. Ejemplos: Z Re(z) Im(z) i i = -4 + (-3) i i = 0 + (-9) i = i 4 0 4

5 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO Números Complejos Unidad imaginaria: Se llama así al número y se designa por la letra i. Ejemplo: Aquí reemplazamos por i por lo tanto 2, es lo mismo que 2i Números imaginarios: Un número imaginario se denota por bi, donde b es un número real,e i es la unidad imaginaria.con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. x = 0 5

6 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero Potencias de la unidad imaginaria i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. Ejemplo 1 i 22 i 22 = (i 4 ) 5 i 2 = 1 ( 1) = - 1 Ejemplo 2 i i 72 = (i 4 ) 18 i = 1 i = i 6

7 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero ACTIVIDAD TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE Encontrar el valor de cada una de las siguientes potencias de i: a) i 23 b) i 27 c) i 32 d) i 45 e) i 72 f) i 47 g) i 13 h) i 19 i) i 52 SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO Números complejos en forma binómica Al número a + bile llamamos número complejo en forma binómica. El número ase llama parte real del número complejo. El número bse llama parte imaginaria del número complejo. Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a. Si a = 0 el número complejo se reduce abi, y se dice que es un número imaginario puro. 7

8 8 Franklin Eduardo Pérez Quintero El conjunto de todos números complejos se designa por. Los números complejosa + bi y a bi se llaman opuestos. Los números complejosz = a + bi y z = a bi se llaman conjugados. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria. SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO Representación gráfica de números complejos Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa por el punto (a,b), lo que se conoce como afijodel numero complejo. 8

9 9 Franklin Eduardo Pérez Quintero Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X, ylos imaginarios sobre el eje imaginario, Y. 9

10 10 Franklin Eduardo Pérez Quintero ACTIVIDAD TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE En tu cuaderno representa gráficamente o en el plano cartesiano los siguientes números complejos. a) 4+6i b) 7+8i c) 3+5i d)6+6i e) 11+3i f) 4+4i g) 7+4i h) 9+8i i) 2+3i SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO Operaciones con números complejos en la forma binómica Suma y diferencia de números complejos La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i 10

11 11 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ejemplo: (5 + 2i) + ( 8 + 3i) (4 2i) = (5 8 4) + ( )i = 7 + 7i ACTIVIDAD Suma y resta los siguientes números complejos a) (8+3i), (4-6i) TRABAJEMOS EN NUESTRO b) (5+7i), (3-2i) c) (3+9i), (2 + i) d) (5-3i), (8 2i) e) (3-4i), (9 4i) 11

12 12 Franklin Eduardo Pérez Quintero f) (4 2i), (-7-3i) g) (9 + 9i), (3 + 3i) SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i 2 = 1. (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Ejemplo: (5 + 2i) (2 3i) (5 + 2i) (2 3i) =10 15i + 4i 6 i 2 = 10 11i + 6 = 16 11i 12

13 13 Franklin Eduardo Pérez Quintero ACTIVIDAD Multiplica los siguientes números complejos a) (8+3i), (4-6i) TRABAJEMOS EN NUESTRO b) (5+7i), (3-2i) c) (3+9i), (2 + i) d) (5-3i), (8 2i) e) (3-4i), (9 4i) f) (4 2i), (-7-3i) g) (9 + 9i), (3 + 3i) 13

14 14 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO División de números complejos El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste. Recordemos que la conjugada de un polinomio es otro polinomio que al multiplicarlo dará como resultado una diferencia de cuadrados. = = (ac adi + bci bdi 2 )/(c 2 cdi + cdi d 2 i 2 ) = (ac ( adi + bci) bdi 2 )/(c 2 d 2 i 2 ) = (ac bdi 2 ) + (bc ad)i/(c 2 d 2 i 2 ) = ((ac - bd 2 ) + (bc ad)i) / (c 2 d 2 2 ) = ((ac + bd) + (bc ad)i) / (c 2 d 2 ) = (ac + bd) + (bc ad)i (c 2 d 2 ) (c 2 d 2 ) Ejemplo: 14

15 15 Franklin Eduardo Pérez Quintero ACTIVIDAD Divide los siguientes números complejos a) (8+3i), (4-6i) TRABAJEMOS EN NUESTRO b) (5+7i), (3-2i) c) (3+9i), (2 + i) d) (5-3i), (8 2i) e) (3-4i), (9 4i) f) (4 2i), (-7-3i) 15

16 16 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO DESIGUALDADES: Expresiones en las que aparece un signo de desigualdad; también se les dice así a las relaciones que se establecen entre magnitudes que no son iguales y los símbolos que se utilizan para expresar dichas relaciones son: SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD < > MENOR QUE MAYOR QUE MENOR O IGUAL QUE MAYOR O IGUAL QUE Dichas expresiones establecen relaciones entre números o letras (que representan números) facilitando la ubicación de los números uno respecto del otro. Ejemplos: 4<5, -7<-3, 77>3, 13>-13, 4 7, 11 3,x 2 16

17 17 Franklin Eduardo Pérez Quintero x-3 y Las desigualdades pareciera algo muy fácil de aprender pero la utilización de este tema es fundamental en temas avanzados y complicados de la matemática. ACTIVIDAD Establece la relación adecuada entre los siguientes términos poniendo entre ellos el símbolo de desigualdad adecuado. a. 8 3 b c. (71-3) (3-71) d. 11x (-5) 5x (-11) e. 3x9 (-3)x(-9) f. 12x12 12x(-12) g. 13x2x4 13x (-2)x(-4) TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE 17

18 18 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO INECUACIONES: Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Las letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones. Ejemplos de inecuaciones: x 2, x-3 y x 2-5x 4 xy-3> 0 CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican dependiendo del número de incógnitas y del grado de la expresión algebraica que aparece en ellas. 18

19 19 Franklin Eduardo Pérez Quintero INECUACIÓN TIPO 2x-3 > x-5 1º grado; 1 incóg. x-3 y 1º grado; 2 incóg x 2-5x 4 xy-3 > 0 2º grado; 1 incóg. 2º grado; 2 incóg. El grado de la inecuación depende del exponente que tenga la variable. ACTIVIDAD TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE 1. Copia en tu cuaderno las siguientes desigualdades, y di cuáles son inecuaciones indicando su grado y número de incógnitas: a) 2x -2 b) -3 2 c) x 2 y>1 d) x 2-5y 0 e) 2x-2y 2(x-y) f) 4(x-3) -2 <2(x-1) g) x-y 2 < 2x-y h) 3x 3 +2y x 2 2. En la siguiente actividad escribe en frente de cada expresión en los espacios en blanco si es o no una desigualdad, el grado y el número de incógnitas que tiene dicha expresión: 19

20 20 Franklin Eduardo Pérez Quintero 20

21 21 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, resulta otra del mismo sentido. Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido. Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, resulta otra del sentido contrario. Ejemplos 21

22 22 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD a) Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala escribiendo en la columna derecha el resultado de aplicarle a los dos miembros de la desigualdad de la 1ª columna la operación indicada en la segunda. x-3 > 5 Sumar 3 x+7 > 8 Restar 7 4x < 12 Dividir entre 4-2x 8 Dividir entre (-2) x-9 > -2 Sumar 9-3x 9 Dividir entre -3 22

23 23 Franklin Eduardo Pérez Quintero b) Completa la siguiente tabla con la respuesta correcta en cada caso trasladando cada solución del recuadro a su correspondiente circulo: SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO RESOLVER UNA INECUACIÓN Consiste en buscar el valor o valores de la(s) incógnita(s) para que la desigualdad sea verdadera. SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN Las soluciones de una inecuación son todos los valores de la (s) variable (s) para los que se cumple la desigualdad. 23

24 24 Franklin Eduardo Pérez Quintero Normalmente estos valores se dan en intervalos de números que pueden ser de las siguientes formas: a) Un intervalo abierto: es aquel que empieza en un número real y termina en otro número real o en el infinito pero que no incluye como posible solución a los números que delimitan el intervalo; estos intervalos se encuentran representados por desigualdades relacionadas con el signo mayor que (>) o por el signo menor que (<). Ejemplo: 3<x<9 Solución x (3, 9) pero no son soluciones del intervalo ni 3 ni 9 sino todos los números reales que se encuentran entre ellos. La representación se da con paréntesis. b) Un intervalo cerrado: es aquel que empieza en un número real y termina en otro número real pero que incluye como posible solución a los números que delimitan el intervalo; estos intervalos se encuentran representados por desigualdades relacionadas con el signo mayor o igual que ( ) o por el signo menor o igual que ( ). Ejemplo:-3 x 7 Solución x [3, 9] son soluciones del intervalo 3, 9 y todos los números reales que se encuentran entre ellos. La representación se da con corchetes. c) Un intervalo abierto - cerrado o cerrado abierto es aquel que empieza en un número real y que incluye como posible solución al 24

25 25 Franklin Eduardo Pérez Quintero número que empieza el intervalo pero no al que lo termina, o incluye como posible solución al número que termina el intervalo pero no al que lo empieza. Se representa siempre con un paréntesis el lado del número que delimita la inecuación pero no está incluido en las soluciones y se representa siempre con un corchete el número que si va incluido en las soluciones de la inecuación. Ejemplo: 9 x> 2 Soluciones: los número que se encuentran en el intervalo entre 2 y 9 pero en este caso el 9 está incluido en las soluciones pero el 2 no. x (2, 9] d) Un intervalo al infinito es aquel en el que al menos uno de los extremos es infinito ( ) o menos infinito (- ) y el otro es un número real o el infinito. Ejemplo: 3<x Soluciones: los números que son mayores que 3 pero el 3 no está en el conjunto de soluciones. x (3, ) INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Las inecuaciones de 1 er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b 0 ax + b 0 25

26 26 Franklin Eduardo Pérez Quintero Donde a y b son números reales. ACTIVIDAD TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE 1. Resuelve las siguientes inecuaciones en tu cuaderno hallando el intervalo solución para x. a)2x + 6 < 0 b) 3x 2 0 c) 5x + 8 0d) 7x < 0 e) x + 4 < 0 f) 2x 5 0 g) 4x 0 h)15x En el siguiente cuadro une con una flecha la inecuación con la solución correcta, realiza el procedimiento en tu cuaderno. 26

27 27 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES Al igual que en las ecuaciones, también pueden presentársenos inecuaciones con paréntesis y denominadores. Para resolverlas obtendremos inecuaciones equivalentes a la dada pero con expresión cada vez más sencilla, hasta llegar a una de las formas conocidas. El proceso a seguir es el mismo que para las ecuaciones: 1. Quitar paréntesis. 2. Quitar denominadores. 3. Reducir términos semejantes (hasta obtener una inecuación de una de las formas básicas). 4. Reducir términos semejantes (hasta obtener una inecuación de una de las formas básicas). Ejemplo: Resolvamos la inecuación: 1. Quitar paréntesis. 27

28 28 Franklin Eduardo Pérez Quintero 2. Quitar denominadores 3. Reducir términos semejantes 4. Resolver la inecuación: X < 3 ACTIVIDAD Resuelve las siguientes inecuaciones de 1 er grado: a) 6x 3 > 5x 7 b) (x - 9) 2 (x 3) + 5 c) 2 (x 2) (2x 7) 3 d) 6 (2x 1) 7 2 (5x 2) + 5x TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE 28

29 29 Franklin Eduardo Pérez Quintero e) 10x 9 (2x + 1) 3x > 5 (x 5) f) (x 2) (x + 3) x (x 1) 8 g) < h) > - i) > x+4 < 29