NÚMEROS COMPLEJOS, C

Transcripción

1 NÚMEROS COMPLEJOS, C CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón En determinadas ocasiones pueden aparecer en el desarrollo de una expresión algebraica ó en la solución de una ecuación, raíces cuadradas ó de índice par con el radicando negativo, que en el campo de los números reales no tienen sentido o solución. Para solucionar este inconveniente, se denomina i= 1 y se denomina unidad imaginaria, de forma que cualquier raíz de índice par tenga ahora sentido, pudiéndose escribir a 1. a 1. a a. i i i Se verifica: i= i i = i.i= i 3 = i.i= -1.i= -i i 4 = i.i = (-1).(-1)= 1. i n = i 4.c + r = i 4.c. i r = (i 4 ) c.i r = 1 c.i r = 1.i r = i r siendo ésta una de las potencias anteriores. n 4 por la prueba de la división: n= 4.c + r r c r, resto de la división. Como el divisor es, 4, puede tomar los valores, r= 0, 1,, 3 Se hace necesario ampliar el conjunto de los números conocidos ó números reales, R, con un nuevo conjunto denominado de los números complejos, C, en el que los números reales sean un caso particular de ellos y las raíces de índice par y radicando negativo tengan existencia. Se llama número complejo a una expresión de la forma: z= a+b. 1 = a+bi ar Parte real del número complejo br Parte imaginaria del número complejo Los números reales, ar, se representan sobre la recta real en la que se ha fijado un origen y una unidad. De este modo cualquier punto de la misma tiene asociado su número real, y viceversa. números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 87

2 Los números complejos, zc, no pueden representarse sobre la recta real, sin embargo es posible hacer una representación geométrica de los mismos sobre un plano, denominado plano complejo. A cada número complejo le corresponde un punto de este plano y viceversa. Así dado un sistema de coordenadas rectangular, O,X,Y, sobre su eje de abscisas, X, se representa la parte real, a, del número complejo y sobre su eje de ordenadas, Y, se representa la parte imaginaria, b, del número complejo. El número complejo, z= a+bi, queda asociado con el punto, P(a,b), del plano de coordenadas. A cada número complejo, z= a+bi, le corresponde un punto, P(a,b), del plano cartesiano que se llama su afijo, y recíprocamente, a cada punto del plano cartesiano le corresponde un número complejo. De este modo queda establecida una aplicación biyectiva entre los puntos del plano cartesiano y los números complejos. El punto afijo, P, del número complejo, z, determina con el origen de, O, del sistema de coordenadas, O,X,Y, un único vector, OP, que representa al número complejo. Se establece pues el isomorfismo b C RxR a+bi (a,b) O z de forma que para un número complejo, z, no nulo se define: P a z= a+bi Módulo del complejo, z Es el módulo del vector, OP, o distancia desde el punto, P, o punto afijo del número complejo al origen de coordenadas, O. z= a+bi= = a b = OP expresión que puede ser desarrollada a través de la expresión z= z. z ( a bi).( a bi) a b. i a b.( 1) a b El módulo de un número complejo, z, tiene las propiedades: z= 0 z= 0 -z=z z z z 1 + z z 1 +z z 1 = (z 1 - z ) + z z 1 - z +z pasando, z, al primer término de esta desigualdad números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 88

3 z 1 -z z 1 - z z 1. z =z 1.z c.z=c.z cr z 1 -z z 1 - z Argumento del complejo, z Es el ángulo medido en el sentido contrario a las agujas del reloj que forma el semieje positivo, X, del sistema de coordenadas rectangular, O,X,Y, con el vector, OP, asociado al complejo, z. = arco tg b a El módulo y el argumento del número complejo no nulo, z, definen las coordenadas polares de su afijo. Se verifica: a=.cos b=.sen expresiones que permiten escribir para el número complejo z= a+bi=.cos +.sen i=.(cos +i.sen )= binómica Trigonométrica Polar Formas del número complejo, z pudiéndose establecer la equivalencia (a,b) (,) (,+k) Se deduce: Si, b= 0, el número complejo, z, se transforma en un número real, de lo que se deduce que los números reales, R, son un subconjunto de los números complejos, C. z= a+0i= a RC Los números reales son números complejos con la parte imaginaria nula. Si, a= 0, el número complejo, z, se transforma en un número imaginario puro. z= 0+bi= bi C Si, a= 0, y, b= 0, se tiene el número complejo cero, 0. z= 0= 0+0i C números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 89

4 Dos números complejos son iguales si lo son sus partes reales y sus partes imaginarias. z= a+bi z=z a+bi= a +b i a= a b= b z = a +b i El conjugado, z, de un número complejo no nulo, z= a+bi, es otro número complejo que tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginara. z = a-bi El conjugado del conjugado de un número complejo, z, es el propio número complejo, z z z z= a+bi z = a-bi z = a-(-b)i= a+bi El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de los conjugados de dichos números complejos. z z ' z z ' z= a+bi z = c+di z = a-bi z ' = c-di z+z = (a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i z z ' = (a+c)-(b+d)i z z ' = (a-bi)+(c-di)= (a+c)+(-b-d)i= (a+c)-(b+d)i El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números complejos. z. z ' z. z ' z= a+bi z = c+di z = a-bi z ' = c-di z.z = (a+bi).(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i z. z ' = (ac-bd)-(ad+bc)i z. z ' = (a-bi).(c-di)= (ac-bd)+(-ad-bc)i= (ac-bd)-(ad+bd)i Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales. z= z zr z= a+bi z = a-bi z= z a+bi= a-bi a= a z= a+0i= a b= -b b= 0 b= 0 La suma y el producto de un complejo y su conjugado da como resultado un número real. z+ z = xr z. z = yr números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 90

5 (a+bi)+(a-bi)= a+0i= a= xr (a+bi).(a-bi)= a -b i = a +b = yr El afijo que representa al conjugado de un número complejo es simétrico con respecto al eje de abscisas, X,del sitema de coordenadas, O,X,Y, del afijo del número complejo, z. Escribir en forma modulo-argumento los complejos: 3+i 3 i º 41'4" tg 3 13º 41'4" se escribe entonces: 3+i= 1333º41' 4" 1-i 1 i 1 ( 1) 1 135º tg 1 315º se escribe entonces: 1-i= 135º --5i 5 i ( ) ( 5) º11'54" tg 48º11'54" se escribe entonces: --5i= 9 68º11'54" números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 91

6 Representar en forma binómico los complejos: 3 50º 3 50 = 3.(cos 50 + i.sen 50 ) = 3( i)= i 180º 180 =.(cos i.sen 180 ) = ( i) = - 1 0º 1 0 = 1.(cos 0 + i.sen 0 ) = i Las operaciones que se definan con los números complejos han de ser tales que incluyan en su definición a esas mismas operaciones definidas sobre los números reales, de forma que estas últimas sean un caso particular de las primeras. Sumar, restar La suma o resta de números complejos da como resultado otro número complejo cuya parte real sea la suma o resta de las partes reales de dichos complejos y cuya parte imaginaria sea la suma o resta de las partes imaginarias de dichos complejos. (a+bi) (c+di)= (a c) + (b d)i La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades: Conmutativa z,z C z+z = z +z= z C (a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i= (c+a)+(d+b)i= (c+di)+(a+bi) (-3i)+(-3+i)= (-3)+(-3+1)i= -1-i (-3+i)+(-3i)= (-3+)+(1-3)i= -1-i Asociativa z,z,z C z+(z +z )= (z+z )+z = C (a+bi)+[(c+di)+(e+fi)]= (a+bi)+[(c+e)+(d+f)i]= (a+c+e)+(b+d+f)i= [(a+c)+(b+d)i]+(e+fi)= [(a+bi)+(c+di)]+(e+fi) (5+i)+(3-4i)]+(-9+8i)= (8-i)+(-9+8i)= -1+6i (5+i)+[(3-4i)+(-9+8i)]= (5+i)+(-6+4i)= -1+6i Elemento neutro zc, e=0+0i C z+e= e+z= zc (a+bi)+(0+0i)= (a+0)+(b+0)i= a+bi= (0+a)+(0+b)i= (0+0i)+(a+bi) Elemento simétrico zc, -zc z+(-z)= (-z)+z= e= 0+0i C (a+bi)+[-a+(-b)i]= [(a+(-a)]+[(b+(-b)]i= 0+0i= (-a+a)+(-b+b)i= [-a+(-b)i]+(a+bi) números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 9

7 (5+i)+[(-5)+(-)i]= [(5+(-5)]+[(+(-)i]=(0+0i)= (-5+5)+(-+)i= [-5+(-)i]+(5+i) Anticonmutativa para la resta z,z C z-z = -(z -z)= z C (a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i= -(c-a)-(d-b)i= -[(c-a)+(d-b)i]= -[(c+di)-(a+bi)] (-3i)-(-3+i)= [(-(-3)]+[(-3)-1]i= 5-4i (-3+i)-(-3i)= (-3-)+[(1-(-3)]i= -5+4i -[(-3+i)-(-3i)]= -(-5+4i)= 5-4i Multiplicar El producto de dos números complejos da como resultado otro número complejo obtenido aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o resta y teniendo en cuenta el valor de las potencias de la unidad imaginaria, i. (a+bi).(c+di)= ac + adi + bci + bdi = (ac - bd) + (ad + bc)i si los números complejos están escritos en su forma trigonométrica: a+bi= 1.(cos 1 +i.sen 1 ) c+di=.(cos +i.sen ) entonces (a+bi).(c+di)= 1.(cos 1 +i.sen 1 )..(cos +i.sen )= 1..(cos 1. cos + i.cos 1. sen + i.sen 1. cos + i.sen 1. sen )= 1..(cos 1. cos + i.cos 1. sen + i.sen 1. cos -sen 1. sen )= 1..(cos 1. cos - sen 1. sen + i.cos 1. sen + i.sen 1. cos )= 1..[(cos 1. cos - sen 1. sen ) + i.(cos 1. sen + sen 1. cos )]= 1. [cos( 1 + )+i sen( 1 + )]= 1. 1 La multiplicación de números complejos tiene las siguientes propiedades: Conmutativa z,z C z.z = z.z= z C (a+bi).(c+di)= a.c+a.di+b.ci+b.di = (a.c-b.d)+(a.d+b.c)i= (c.a-d.b)+(d.a+c.b)i= c.a+d.ai+c.bi+d.bi = (c+di).(a+bi) (7 - i).(5 +.i) = i - 5.i -.i ² = i -.(-1) = i (5 +.i).(7 - i) = 35-5.i + 14.i -.i ² = i -.(-1) = i números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 93

8 Asociativa z,z,z C z.(z.z )= (z.z ).z = C (a+bi).[(c+di).(e+fi)]= [(a+bi).(c+di)].(e+fi) [(-3i).(5+i)].(4-7i)= (10+i-15i-3i²).(4-7i)= (13-13i).(4-7i)= 5-91i-5i+ 91i²= i (-3i).[(5+i).(4-7i)]= (-3i).(0-35i+4i-7i²)= (-3i).(7-31i)= 54-6i-81i+93i²= i Elemento neutro zc, e=1+0i C z.e= e.z= zc (a+bi).(1+0i)= a.1+a.0i+b.1i+b.0i = (a+0)+(0+b)i= a+bi= 1.a+0.ai+1.bi+0.bi = (1+0i).(a+bi) Distributiva del producto con respecto a la suma de números complejos z,z,z C z.(z +z )= z.z +z.z = C (a+bi).[(c+di)+(e+fi)]= (a+bi).(c+di)+(a+bi).(e+fi) (1-i).[3i+(-7i)]= (1-i).(-4i)= -4i-4i+8i²= -6-8i (1-i).3i+(1-i).(-7i)= (3i-6i²)+(-7i-4i+14i²)= (3i+6)+(-1-11i)= -6-8i El conjunto de los números complejos, C, con las propiedades vistas hasta aquí para la suma y el producto tiene estructura de Anillo Conmutativo, (C,+,.). Elemento simétrico z 0C, z -1 C z.z -1 = z -1.z= e= 1+0i C z=a+bi z -1 = x+yi se verifica (a+bi).(x+yi)= 1+0i (ax-by)+(ay+bx)i= 1+0i Igualando las partes reales y las partes imaginarias de los dos miembros de esta ecuación ax-by= 1 a x-aby= a bx+ay= 0 b x+aby= 0 x.(a +b )= a x= a a b despejando la variable, y, en la segunda ecuación del sistema anterior números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 94

9 a b. a b + ay= 0 ay= ba a b y= b a b se tiene entonces para el inverso del número complejo, z= a+bi z -1 = a a b b a b + i El conjunto de los números complejos, C, con las propiedades que tiene para la suma y el producto tiene estructura de Cuerpo Conmutativo, (C,+,.). Multiplicar por dos métodos distintos los complejos 3i.(-i) multiplicando directamente en forma binómico los números complejos, se tiene 3i. (-i) = 6i - 6i²= 6i 6(-1)= 6+6i otro método sería pasando dichos complejos primero a su forma módulo-argumento, para posteriormente multiplicarlos. 3i º tg = 90º 70º se escribe entonces: 3i= 3 90º i ( ) 8 135º tg = 135º 315º se escribe entonces: -i= 8135º porque la gráfica de este complejo se haya en el cuarto cuadrante. Multiplicando en forma módulo-argumental 3i. (-i) = 3 90º. 8135º = (3. 8 ) 90º + 315º = (3. 8 ) 405 transformando este resultado a la forma binómica, se escribe (3 8) 45º 3 8cos 45 i. sen i i. 6 6i números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 95

10 Dividir La división de dos números complejos se hace multiplicando el número complejo numerador o dividendo de la expresión por el complejo conjugado del denominador o divisor de la expresión. a bi ( a bi).( c di) ac adi bci bdi ( ac bd) ( bc ad) i ( ac bd) ( bc ad) i c di ( c di).( c di) c d i c d c d c d La división también puede considerarse como el producto de un número complejo por el inverso del número complejo del denominador o divisor. si los números complejos están escritos en su forma trigonométrica: a+bi= 1.(cos 1 +i.sen 1 ) c+di=.(cos +i.sen ) entonces su conjugado c-di=.[cos (- )+i.sen (- )]=.(cos - i.sen ) 1.(cos 1 i. sen 1..(cos i. sen a bi ( a bi).( c di) c di ( c di).( c di).(cos i. sen..(cos i. sen 1.. cos 1.cos i.cos 1. sen i. sen 1.cos i. sen 1. sen.. cos.cos i.cos. sen i. sen.cos i. sen. sen. cos.cos i.cos. sen i. sen.cos sen. sen cos.cos i.cos. sen i. sen.cos sen. sen. (cos.cos sen. sen ) i.( sen.cos cos. sen ) cos.cos i.cos. sen i. sen.cos sen. sen i sen i sen. cos sen. 1. cos( ). ( ). cos( ). ( ) cos( ) i. sen( ) números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 96

11 Efectuar la operación: (5 3 i).(1 i) (1 i) 3i (5 3 ).(1 ) i i i i i i i (1 i) 3i 1 i 1 i 1 i 8 i (8 i).(1 i) 8 16i i 4i 1 14i 1 14i i (1 i).(1 i) 1 i i 1 1 i 1 1.(1 i) 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i (1 i).(1 i) 1 i i 4 5i 3 i ( 3 i).(4 5 i) 8 10i 1i 15i 3 i 3 i i (4 5 i).(4 5 i) 4 5 i i ki Hallar, k, de forma que el cociente:, sea: k i Un número real. Un número imaginario puro. Tenga la parte real igual a la parte imaginaria. el cociente viene dado por la expresión ki ( ki).( k i) k i k i ki 3 k ( k ) i 3k k k i ( k i).( k i) k i k 1 k 1 k 1 para que este cociente sea un número real i k k 0 ; 1 k 0 ; k ; k para que este cociente sea un número imaginario puro 3k 0 ; 3k 0 ; k 0 k 1 para que este cociente tenga la parte real igual a la parte imaginaria números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 97

12 3k k k 1 k 1 ; 3k k ; k 3k 0 ecuación de segundo grado que tiene por soluciones k.1 1 Potencia de exponente natural de un número complejo Atendiendo a la multiplicación de números complejos se escribe z n = (a+bi) n = [(cos +i.sen )] n = n (cos n+i.sen n)= n n si el número complejo tiene de módulo la unidad, se obtiene una expresión conocida como la Fórmula de Moure. Esta fórmula combinada con el desarrollo del binomio de Newton, permite obtener fácilmente las razones trigonométricas del seno y del coseno, de ángulo, n, múltiplo del ángulo,, conocidas las razones trigonométricas del seno y del coseno de dicho ángulo,. z n = [1.(cos +i.sen )] n = 1 n.(cos n+i.sen n)= cos n+i.sen n= n n a nk k. b k 0 k Hallar la expresión de, sen 4x, y de, cos 4x, en función de las razones trigonométricas del ángulo, x. se considera el complejo en forma módulo argumento, 1 x. Su cuarta potencia viene dada por: (1 x ) 4 = x= 1 4x = 1.(cos 4x+i.sen 4x)= cos 4x + i.sen 4x por otro lado se tiene: 1 x = 1.(cos x+i.sen x)= cos x+i.sen x Por lo que: (1 x ) 4 = (cos x + i.sen x) 4 aplicando el binomio de Newton a esta expresión: (cos x+i.sen x) 4 = cos 4 x+ 4i.cos³ x.sen x+6cos ² x.(i.sen x)²+4cos x (i.sen x)³+(i.sen x) 4 = cos 4 x+4i.cos³ x.sen x-6cos ² x sen ² x-4cos x sen³ x i+sen 4 x igualando las partes reales y las partes imaginarias en ambos resultados obtenidos: cos 4x= cos 4 x-6cos² x sen² x+sen 4 x sen 4x= 4cos³ x.sen x-4cos x sen³ x números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 98

13 Raíz de un número complejo Raíz cuadrada de un número complejo, z= a+bi, es en general otro número complejo tal que z a bi = x+yi se verifica entonces a bi = (x+yi) a+bi= x + xyi + y i = (x -y )+xyi igualando las partes reales y las partes imaginarias en ambos miembros de esta ecuación resulta una sistema de ecuaciones no lineales. a= x -y b= xy resolviendo este sistema se tiene calculada la raíz cuadrada del número complejo, z. Raíz n-ésima de un número complejo, z, es en general otro número complejo,, tal que n z = / n = z = 1.(cos +i.sen )= 1 n n = 1.(cos n+i.sen n) z=.(cos +i.sen )= teniendo en cuenta la última igualdad n = [ 1.(cos +i.sen )] n =.(cos n+i.sen n)=.(cos +i.sen )= z 1 n dado que los dos complejos han de ser iguales, han de tener iguales sus módulos, y sus argumentos han de diferenciarse en un múltiplo de, = 1 n 1 n n= k n se escribe entonces para la raíz n-ésima del número complejo, z k k z. cos i. sen. cos i. sen n n n n n 1 1 k n kz, k= 0,,n-1 números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 99

14 Todo número complejo, z, distinto de cero tiene n-raíces distintas verificándose: Todas las n-raíces tienen el mismo módulo, n Los afijos de estas n-raíces están situadas sobre una circunferencia de centro el origen del sistema de coordenadas cartesiano, O,X,Y, y radio, n A la primera de estas n-raíces le corresponde un afijo que forma un ángulo con el eje positivo, X, del sistema de coordenadas, O,X,Y, de,. A la segunda de las n-raíces le n corresponde un afijo que está girado un ángulo,, con respecto al primer afijo, y así n sucesivamente con el resto de las n-raíces. Hallar las raíces cúbicas de 8. se escribe el número complejo en su forma módulo-argumental. De esta forma: º tg = 0º 8 180º calculando los valores precisos: 3 8 ; 0º 0º 3 ; 360º 10º 3 ; 70º 40º 3 las raíces cúbicas son las que tienen módulo igual a,, y argumento, k, donde, k, puede tomar los valores, 0, 1, y,. Se tienen pues las tres raíces: 0 = (cos 0 +i.sen 0 ) = (1+0i)= º.(cos10 i. sen10). i 1 3i º.(cos 40 i. sen40). i 1 3i Hallar las raíces cuartas de +i. se escribe el número complejo en su forma módulo-argumental. De esta forma: +i = 8 45º tg = 45º la gráfica de este complejo se halla en el primer cuadrante. 5º números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 300

15 el módulo de todas las raíces cuartas será: para hallar los argumentos hay que calcular 45º 4 = º 4 = 90 dando a, k, los valores, 0, 1,, y, 3, se obtienen las cuatro raíces cuartas de, +i, que son: 8 8.(cos i.sen ) = 1,97.( i)= i 8 8.(cos i.sen ) = 1 97.( i) = i 8 8.(cos i.sen ) = 1 97.( i) = i 8 8.(cos i.sen ) = 1 97.( i) = i 7 4i 7 4i a bi verificándose que: 7+4i= (a+bi) = a +abi+b i = a -b +abi igualando las partes reales y las partes imaginarias de cada miembro de esta ecuación resulta el sistema de ecuaciones no lineales: 7= a -b 4= ab b= 4 1 a a sustituyendo este resultado en la primera ecuación de este sistema de ecuaciones no lineales a a a a eliminando los denominadores de esta expresión se escribe 4 7a a 144 pasando finalmente todos los términos al primer miembro, números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 301

16 a 7a resulta una ecuación bicuadrada, que tiene por soluciones: ( 144) a de la primera de las soluciones se: a= 16 4 b= 3 la segunda solución al ser negativa no da permite calcular ninguna solución real para, a. Las soluciones de la raíz cuadrada son pues: 7 4i = 43i= (4+3i) Resolver la ecuación: z +(+i)z-(13-13i)= 0 ( i) ( i) 4.1.( (13 13 i)) ( i) (4 1 4 i) 5 5 i ( i) 55 48i z.1 como resulta una raíz de un número complejo, ésta se hace a parte: 55 48i a bi verificándose que 55-48i= (a+bi) = a +abi+b i = a -b +abi igualando las partes reales y las partes imaginarias de cada miembro de esta ecuación resulta el sistema de ecuaciones no lineales: 55= a -b -48= ab b= 48 4 a a sustituyendo este resultado en la primera ecuación de este sistema de ecuaciones no lineales a a a a 4 eliminando los denominadores de esta expresión, 55a a 576 y pasando finalmente todos los términos al primer miembro, a 55a resulta una ecuación bicuadrada que tiene por soluciones: a.1 55 ( 55) 4.1.( 576) números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia

17 de la primera de las soluciones se: a= 64 8 a=8 b= -3 a= -8 b= 3 la segunda solución al ser negativa no da permite calcular ninguna solución real para, a. Las soluciones de la raíz cuadrada son pues: 55 48i 8-3i -8+3i si se lleva este resultado a la expresión de la solución, z, se tiene: ( i) (8 3 i) 6 4i 3 i z= ( i) (8 3 i) 10 i 5 i ( i) (8 3 i) 10 i 5 i ( i) (8 3 i) 6 4i 3 i Exponenciación de un número complejo Se define así a una expresión del tipo: e z = e a.(cos b + i.sen b) z= a+bi De ésta se deduce la: Fórmula de Euler z= iy e z = e iy = e 0.(cos y + i.sen y)= 1.(cos y + i.sen y)= cos y + i.sen y z= -iy e z = e -iy = e 0.(cos (-y) + i.sen (-y))= 1.[cos (-y) + i.sen (-y)]= cos y i.sen y sumando ambos resultados e iy + e -iy = cos y de donde números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 303

18 e cos y iy e iy restando ambos resultados e iy - e -iy = i sen y de donde e cos y iy e i iy Forma exponencial de un número complejo Si se tiene en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo z= a+bi=.(cos +i.sen ) y la fórmula de Euler para le expresión, e i e i = cos +i.sen se deduce z=.(cos +i.sen )=.e i Logaritmo neperiano de un número complejo El logaritmo neperiano de un número complejo, z, es en general otro número complejo,, que verifica por la definición de logaritmo. Ln z= e = z teniendo en cuenta que z=a+bi=.(cos +i.sen ) = x+yi se escribe e x+iy = z=.(cos +i.sen ) e x.(cos y + i.sen y)=.(cos +i.sen ) que escrito en forma polar se tiene e x = y= de esta igualdad se deduce números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 304

19 e x = x= ln = lnz y= = arg z+k de donde se escribe finalmente ln z= = x+yi= ln z+(arg z+k)i kz Potencia de exponente complejo de un número complejo Sean los números complejos z= a+bi distinto de cero, = x+yi se define la potencia de un número complejo con exponente complejo de la forma z = e.ln z números complejos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 305