Unidad 4. Números complejos. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

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1 Unidad 4 Números complejos Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Comprenderá el concepto y las propiedades de los números complejos. Manejará las distintas notaciones para los números complejos. Realizará operaciones con los números complejos en sus distintas notaciones. Aplicará las propiedades de los números complejos en la resolución de ecuaciones.

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3 números complejos Introducción E n cursos anteriores aprendimos a resolver ecuaciones del tipo x2 a0, lo cual es muy sencillo, sólo se deben seguir unos pasos muy simples del álgebra: Ecuación inicial: 2 x a 0 Sumando a en ambos términos: Aplicando raíz cuadrada: x 2 x Con anterioridad resolvimos cuando a>0, el problema es qué pasa si a es negativo? En la unidad 3 quedó pendiente encontrar la solución de x Siguiendo los pasos del álgebra tendríamos que resolver la raíz cuadrada de 1. Existe tal número? Un número que al multiplicarse por sí mismo su producto sea 1 no existe en los reales, pero eso no es problema, se puede definir. Y ésta es la definición de un número muy especial, i. En este capítulo estudiaremos estos números que complementan a los reales para encontrar las soluciones de ecuaciones como x Estos números se llaman imaginarios y cuando se utilizan junto con números reales se llaman números complejos. En este capítulo estudiaremos las operaciones y propiedades de los números imaginarios y de los números complejos, así como su aplicación en la resolución de ecuaciones. a a 4.1. Números imaginarios: operaciones fundamentales y potenciación Debido a que no existe un número a en los reales tal que (a)(a) 1, fue necesario definir a los números imaginarios. 143

4 Álgebra superior La unidad de los números imaginarios es 1 y se representa por la letra i. De modo que: 2 2 ( 1)( 1) ( 1) 1 i. Por ejemplo: 4 ( 4)( 1) 4 1 2i Todas las propiedades de los números reales son también propiedades de los números imaginarios, sólo hay que tener cuidado para manejar i a partir de su definición. Para sumar números imaginarios sólo es necesario sumar los números que los acompañan, así: 3i+5i(3+5)i8i Otro ejemplo: 7i 9i + 4i ( ) i 2i Para multiplicar números imaginarios se multiplican los números reales que los acompañan y se resuelven las potencias de i teniendo en cuenta que i 2 1. Así, (3i)(2i)6i 2 6 Y si multiplicamos los números imaginarios: 7i, 5i y 4i se tiene: 3 2 ( 7i)( 5i)( 4i) 140i ( 140) i i ( 140i)( 1) 140i Por convención, no se permite que los números imaginarios estén en el denominador de ninguna expresión matemática. Por ejemplo, si se tiene: 2, 3 i entonces se debe cambiar la expresión a la forma ai con a real. Para este fin, recordemos que i 2 1, entonces: i i i ( ) i( 1) i después, multiplicando el numerador y el denominador por i, se tiene: Por lo tanto: 2 2( i) 2i 2i ( 2i) 2i 2 i i( i) i ( 1) 2 3 i 2i 144

5 números complejos Ejercicio 1 1. Suma los siguientes números imaginarios: i, 4i, 7i y 9i. 2. Multiplica 4i por 5i y el resultado multiplícalo por 3i. 3. Si i 2 1, entonces cuánto valdrá i 3 y cuánto i 4? 4.2. Definición de número complejo, forma binómica, igualdad, conjugado y forma cartesiana (pareja ordenada) Ahora tenemos dos conjuntos importantes de números: los números reales y los imaginarios. Qué tipo de número resultaría de la suma de un número real, a, con uno imaginario, bi? Al sumar un número real con un número imaginario se obtiene un número complejo. El conjunto de los números complejos se representa con la letra C. Los números complejos tienen la forma binómica: za+bi, donde a y b son números reales e i cumple con i 2 1. El número a es llamado parte real y se denota are(z), y el b parte imaginaria, denotada por bim(z). Basándose en el hecho de que cada número complejo a+bi está completamente determinado por dos reales a y b, la representación geométrica 14

6 Álgebra superior consiste en asociarle a cada número de éstos la pareja ordenada (a,b), la cual tiene asociado un punto en el plano complejo. El número imaginario i tendrá asociada la pareja (0,1). Los puntos sobre el eje de las abcisas, que llamaremos eje real, corresponde a los números reales de la forma x+0i, y los puntos sobre el eje de las ordenadas, que llamaremos eje imaginario, corresponde a los números imaginarios que son de la forma 0+yi. Ahora definiremos la manera como se van a sumar y a multiplicar los números complejos. Dados za+bi y wc+di que pertenecen a C, la manera de sumarlos es: z+w(a+bi)+(c+di)(a+c)+(b+d)i La interpretación geométrica de la suma de z+w se obtiene mediante el uso de la regla del paralelogramo: 14

7 números complejos Donde la suma de z y w es el punto que indica la diagonal del paralelogramo. Por ejemplo, sumemos los complejos (3+8i) y (7+2i): La suma de (4 11i) y (3+5i) es: (3+8i)+(7+2i)10+10i (4 11i)+(3+5i)(7 6i) La manera algebraica de multiplicar un número real, e, y un complejo, za+bi, es: e(a+bi)(ea+ebi) La interpretación geométrica de esta multiplicación es: Por ejemplo, el número 5 multiplicado por el complejo z7 2i tiene como producto: 5z5(7 2i)(5)(7) (5)(2)i35 10i, mientras que el número 3 y el complejo w7+3i tienen como producto: 3w 3(7+3i)( 3)(7)+( 3)(3)i 21 9i La manera algebraica de multiplicar dos números imaginarios z y w es: (a+bi)(c+di)ac+adi+bci+bdi 2 ac+(ad+bc)i bdac bd+(ad+bc)i por lo que: (a+bi)(c+di)(ac bd)+(ad+bc)i 14

8 Álgebra superior 5.4. La interpretación geométrica de la multiplicación se expondrá en el apartado Por ejemplo, la multiplicación entre los complejos (3+5i) y (1+2i) es: (3+5i)(1+2i)( )+( )i(3 10)+(6+5)i 7+11i y la multiplicación de (4 3i) y ( 2+i) es: (4 3i)( 2+i)[4 ( 2) ( 3) 1]+[4 1+( 3) ( 2)]i ( 8+3)+(4+6)i 5+10i La igualdad entre los números complejos se establece de la siguiente manera: a+bic+di ac y bd. Por ejemplo, para que un número complejo (a+bi) sea igual a 9+4i es necesario que a9 y b4. Al complejo a bi se le llama conjugado del complejo de za+bi, y se obtiene cambiándole el signo a la parte imaginaria de z, y se escribe como: z a bi La interpretación geométrica del complejo conjugado z es la reflexión del complejo z con respecto al eje real, así: Por ejemplo, el conjugado del número complejo (7+4i) es (7 4i), y el conjugado de ( 9 5i) es [ 9 ( 5i)]( 9+5i). 148

9 números complejos El producto de dos números conjugados za+bi y z a bi es un número real: 2 2 zz ( a + bi)( a bi) a + b Ahora, si multiplicamos al complejo (6+7i) por su conjugado (6 7i) se tiene, aplicando la definición de multiplicación entre números complejos: (6+7i)(6 7i) Los números reales coinciden con sus conjugados y un número que es igual a su conjugado es real. En efecto si a+iba ib entonces b b y esto sólo sucede si b0. Unos cuantos ejemplos muestran la sencillez con la que se operan los complejos. Por ejemplo, encontremos (1+i) 3. Como entonces: (1+i) 2 (1+i)(1+i)0+2i2i, (1+i) 3 (1+i) (1+i) 2 (1+i)(2i) 2+2i Los números complejos también pueden aparecer en cocientes, por ejemplo, calculemos: (2 + i)( 1 2i) 3 i Al igual que los números imaginarios, por convención, no se permite que los números complejos estén dividiendo una expresión, ya que nosotros conocemos números de la forma a+ib con a y b en los reales pero no de la forma a/ib. La manera de resolver este problema es recordar que un complejo multiplicado por su conjugado nos da un número real, entonces multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, (3+i) se tiene: (2 + i)( 1 2i)( 3 + i) (2 + i)( 1 2i)( 3 + i), ( 3 i)( 3 + i) 10 14

10 Álgebra superior Ahora, resolviendo para el numerador: (2 + i)( 1 2i)( 3 + i) ( 4 3i)( 3 + i) 15 5i Otro ejemplo, calculemos: ( 7 + 3i) ( 8 + 5i) ( i) ( 5 + 4i) Empezamos por multiplicar, en el numerador y en el denominador por el complejo conjugado de (5+4i), es decir, por (5 4i), para no tener un número complejo en el denominador: ( 7 + 3i) ( 8 + 5i) ( i) ( 5 + 4i) ( 7 + 3i) ( 8 + 5i) ( i) ( 5 4i) ( 5 + 4i)( 5 4i) ( 7 + 3i) ( 8 + 5i) ( i) ( 5 4i) 41 Y resolviendo para el numerador se tiene: ( 7 + 3i) ( 8 + 5i) ( i) ( 5 4i) ( 7 + 3i)( 3 + 3i)( 5 4i) ( i)( 5 4i) ( ) i Por tanto el resultado es el número complejo: i i Ejercicio 2 1. Reduce los siguientes complejos a la forma a +bi a) (7 i)+( 6+3i) (4+3i) b) (2+i)(1+3i) 10

11 números complejos ( 4 + 3i)( 1 2i) c) 7 i d) ( i )( i ) 3i 4.3. Forma polar, módulo y argumento, conversiones de la forma binómica a la polar y viceversa Observemos que el número complejo za+bi también puede determinarse por la distancia que hay del origen al punto (a,b), que llamaremos magnitud de z o módulo de z, y el ángulo θ, que va del eje real positivo al segmento que une al origen con (a,b), que llamaremos argumento de z. Antes de determinar la forma del complejo a+bi en términos de su módulo y argumento identifiquemos bien estas definiciones. Llamamos módulo del número complejo za+ib, denotado por z, 2 al número real positivo z a + b 2 y al argumento de z lo denotaremos como Arg(z) θ, teniendo como fórmulas para calcularlo: b a θ tan, θ cos ó θ a z F H G I K J F H G I KJ sen b z 11

12 Álgebra superior Ahora escribamos al complejo za+ib en términos de su módulo y su argumento: Dado za+bi, de la siguiente figura, tenemos que cos θ a z senθ b donde θarg(z). Por lo que: z a z cosθ y obtenemos: b z senθ za+bi z cosθ+i z senθ por lo que se tiene la expresión conocida como forma polar del complejo z: z z (cosθ+isenθ) La representación geométrica del complejo z en su forma polar es: y La forma polar de los complejos nos va a ser muy útil para calcular potencias y sacar raíces de números complejos, como veremos en el siguiente apartado. Ilustremos mediante algunos ejemplos la manera de encontrar la forma polar de algunos complejos. a) Para encontrar la forma polar de z 4 se tiene que z 4 y 1F 4 1 Arg(z) cos cos ( 1) Por lo que: HG I K J z4(cos180º+isen180º) 12

13 números complejos 2 2 b) Para encontrar la forma polar de z 1+i se tiene que z d y Arg(z)cos 1 1 / Por lo que: i z 2(cos isen135 ) Ejercicio 3 Encontrar la forma polar de los siguientes números complejos: 1. z6i 2. w 4 3i 3. v 2+i 4.4. Multiplicación y división en forma polar: teorema de De Moivre, potencias y raíces Así como se tiene una manera de multiplicar a los números complejos en su forma binómica, ahora definiremos la forma de multiplicar a los números complejos en su forma polar. Sea za+bi y wc+di y supongamos que la forma polar de estos complejos es: zr(cosθ+isenθ) y w r' (cos θ' +isen θ' ), donde r es el módulo de z, r' es el módulo de w, θ es el argumento de z y θ' es el argumento de w. Si multiplicamos los números complejos z y w, en su forma polar, y agrupamos factores tenemos: 13

14 Álgebra superior zwr r' (cosθ+isenθ)(cos θ' +isen θ' ) zwr r' [(cosθcos θ' senθsen θ' )+i(senθcos θ' +sen θ' cosθ)] y usando las identidades trigonométricas: se llega al resultado: cosθcos θ' senθsen θ' cos(θ+ θ' ) senθcos θ' +sen θ' cosθsen(θ+ θ' ) zwrr[cos(θ+ θ' )+isen(θ+ θ' )] Ahora podemos dar la interpretación geométrica de la multiplicación. El producto de la multiplicación de dos complejos, w y z, es la multiplicación de sus módulos y la suma de sus argumentos de la siguiente manera: Podemos generalizar esta regla para cualquier número de factores: z 1 z 2 z n r 1 r 2 r n [cos(θ 1 +θ 2 + +θ n )+isen(θ 1 +θ 2 + +θ n )] Si se tratara del mismo número complejo multiplicado por sí mismo n veces entonces obtenemos: z n r n [cosθ+isenθ] n r n [cos(nθ)+isen(nθ)] conocida como la fórmula de De Moivre. Donde n es un entero positivo. Por ejemplo, para calcular (1+i) 16 convertimos (1+i) a su forma polar: y después todo es muy sencillo: ( 1 + i) 2(cos 45 + isen45 ) ( 1 + i) 2 (cos isen16 45 ) 14

15 números complejos 256(cos isen720 ) Pero, qué pasa si el exponente n es un número entero negativo? n n n z r (cos θ + isenθ) Para resolver el caso general, primero notemos que: 1 1 (cos θ + isenθ) cos θ + isenθ Pero multiplicando por el conjugado de (cosθ+isenθ), se tiene: 1 cos θ + isenθ cos θ isenθ cos θ isenθ 2 2 cos θ + sen θ en tanto que cos 2 θ+sen 2 θ1. Ahora, como cosθcos( θ) y (senθ)sen( θ), entonces la última expresión se puede escribir: cos( θ) + isen( θ) De lo que: Generalizando se obtiene: 1 (cos θ + isenθ) cos( θ) + isen( θ) z n r n [cos( nθ)+isen( nθ)] que es la fórmula de De Moivre para exponentes enteros negativos. Con ayuda de las fórmulas de De Moivre podemos encontrar una manera sencilla de dividir números complejos. Sea zr(cosθ+isenθ) y w r' (cos θ' +isen θ' ), su cociente lo podemos representar como: z w a f 1 r(cos θ + isenθ) r cos θ + isenθ r'(cos θ' + isenθ') r'(cos θ' + isenθ') 1 r' [ r(cos θ + isen θ )] [ cos( θ ') + isen( θ ')] [ cos( θ θ ') + isen( θ θ ')] ya que se utilizaron las identidades trigonométricas: r r' cosθcos senθsenbcos +b senθcos sen θ' cosbsen +b 1

16 Álgebra superior Podemos elevar un número complejo a cualquier potencia, pero se podrá encontrar la raíz n ésima de un complejo? La respuesta es sí, y para esto veamos la siguiente definición: Se les llama raíces n ésimas de un número complejo z a los números complejos, w, que cumplen con la ecuación: w n z Para encontrarlas escribamos a z y w en su forma polar: zr(cosθ+isenθ) y w r' (cos θ' +isen θ' ) entonces, utilizando la fórmula de De Moivre, w n z, se escribe como: w n r' n (cos(n θ' )+isen(n θ' ))r(cosθ+isenθ)z Como los números complejos iguales tienen igual módulo, tenemos: r' n r donde r' está determinada sin ambigüedad como: n r' r Los argumentos de números complejos iguales pueden diferir sólo por múltiplos de 360º teniendo así que: n θ' θ+k360º, o θ' (θ+k360º)/n donde k es un entero. Obtener la expresión para las raíces w: w n r F HG θ k θ k cos + isen, n n donde k es un entero, pero el número de raíces distintas es sólo n. Para obtener todas las raíces distintas es suficiente con tomar en la fórmula k0,1,2,...,n 1. Por ejemplo, encontremos las raíces de la ecuación w i. Dado que 3+4i5(cos53º+isen53º) la fórmula para la raíz es: w 4 5 L NM cos F ki HG K J + 4 F HG isen I K J + k I K JO QP 1

17 números complejos Las cuatro raíces se obtienen sustituyendo en la ecuación anterior k0, 1, 2 y 3, teniendo como resultado: w 1 1.5(cos isen13.25 ) w 2 1.5(cos isen ) w 3 1.5(cos isen ) w 4 1.5(cos isen ) Geométricamente las raíces son: que: Otro ejemplo: encontremos las raíces de la ecuación v 3 2+2i. Como 2+2i 8 (cos135º+isen135º), entonces, tomando en cuenta La fórmula para la raíz es: v 6 8 L NM cos , F ki HG K J + 3 i sen F HG k 3 I K JO QP Las tres raíces son: v 1 2(cos 45 + i sen45 ) v2 2(cos isen165 ) v3 2(cos isen285 ) Geométricamente las raíces se representan: 1

18 Álgebra superior Encontremos las raíces de la ecuación z 4 5+i. Como la forma polar de 5+i es: 4 z 26(cos i sen ) Entonces: , La fórmula para la raíz queda: z 8 26 L NM Las cuatro raíces son: F I HG K J k k cos isen 4 4 F HG z (cos isen ) I K JO QP z (cos isen ) z (cos isen ) z (cos isen ) Geométricamente estas raíces se representan así: Ejercicio 4 Encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones: 1. w 4 16i 2. z 3 1 i 3. v 5 4+5i 18

19 números complejos 4.5. Forma exponencial o de Euler: equivalencia entre la forma polar y exponencial. Multiplicación y división; potenciación y radicación En el siglo xviii el matemático Euler descubrió una manera abreviada de escribir los números complejos que facilitó las operaciones entre ellos. Su notación está basada en una relación del número e con las funciones trigonométricas coseno y el seno. La relación es: e iθ cosθ+isenθ Gracias a esta relación la notación para los números complejos se simplifica, de ser: Sea: zr(cosθ+isenθ) Se convierte en la forma de Euler: zre iθ Donde r es el módulo de z y θ es su argumento. Ahora, la multiplicación entre complejos toma una notación más sencilla. w re iθ y z r' e i θ' la multiplicación de estos dos complejos es: wzr r' e i(θ+ θ' ) Por ejemplo, si w5e i30 y z7e i45, entonces: wz(5e i30 )(7e i45 )(5)(7)e i( ) 35e i(75 ) El cociente entre los complejos w y z es: w z r r e i ' ( θ θ') Por ejemplo, si w28e i57 y z7e i35, entonces el cociente de w entre z es: w z i57 28e 28 i( ) e 4e i35 7e i22 1

20 Álgebra superior Elevar un número a una potencia dada n también es más sencillo de escribir: n n inθ w r e Por ejemplo el cuadrado del número complejo w9e i25 es: w 2 (9e i25 ) 2 (9) 2 e i2(25 ) 81e i50 Obtener la raíz de un número complejo también se facilita: n w F i r e HG n d i θ 360 k + n n I K J Con k0,1,2,..., n 1. La notación de Euler es de gran ayuda para denotar a los números complejos y para hacer operaciones con ellos. Por ejemplo, si w8e i60, entonces las raíces cúbicas de w son: F w e i k I HG K J para k0 para k1 para k2 d i 2e i(20 +0 ) 2e i20 2e i( ) 2e i140 2e i( ) 2e i280 Ahora daremos otros ejemplos. Multiplicamos los números (3+7i) y (4+i). Como: 3+7i7.62(cos isen66.80 ) y 4+i4.12(cos isen14.04 ) Entonces: Por lo tanto: 3+7i7.62e i66.80 y 4+i4.12e i14.04 (3+7i)(4+i)(7.62e i66.80 )(4.12e i14.04 )[(7.62)(4.12)]e i( ) (3+7i)(4+i)31.39e i

21 números complejos En el siguiente ejemplo, obtengamos las raíces de z 4 4+9i. Como: Entonces: 4+9i9.84(cos isen66.04 ) 4+9i9.84e i66.04 Las raíces están dadas por la ecuación: F z e i k + I 4 HG K J Donde k0,1,2 y 3. Por último las raíces son: z e i16.51 z e i z e i z e i Último ejemplo, realicemos la operación: 3 zv w Donde z5e i90, v67e i35 y w85e i54. Sustituyendo los valores se tiene: i90 i35 3 c5e hc67e h i54 85e desarrollando la expresión al cubo: i90 i35 c5e hc67e h i54 85e c h 3 c c h a f c h i90 3 i3( 35 ) 5e 67 e i54 85e ahora, haciendo la multiplicación: i90 i105 i c5e hc300763e h ( 5)( ) e ( ) i54 i54 85e 85e c h c h h i90 i105 c5e hc300763e h i54 85e c c h e c 85e i54 i195 h h 11

22 Álgebra superior y después la división: c e c 85e i54 i195 h h F H G I K J e e i( ) i141 Notemos que cuando es necesario hacer varias operaciones de multiplicación y división con los números complejos resulta más sencillo utilizar la notación de Euler. Ejercicio 5 1. Convierte los siguientes números complejos a notación de Euler: a) 3+5i b) 5i a) 34(cos15º+i sen15º) 2. Sea z3+4i, v1+2i y wi. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones usando la notación de Euler. a) z/v b) (zv)/w c) z 3 d) v 1/4 12

23 números complejos Problemas resueltos 1. A la suma de 2+3i y 6+4i, multiplíquela por 5+i. Respuesta: (2 + 3i) + (6 + 4i) La suma es: (2 + 6) + ( 3 + 4) i 8 + 7i La multiplicación es: ( 8 + 7i)( 5 + i) ( 8)( 5 + i) + 7i( 5 + i) ( 8 5) + ( 8 i) + ( 7i 5) + ( 7i i) ( 40) + ( 8i) + ( 35i) + ( 7i 2 ) ( 40) + ( 8i) + ( 35i) + ( 7) ( i) 2. Encuentra: a) (3+2i) 2 b) (3+2i) 3 Respuestas: a) ( 3 + 2i) 2 ( 3 + 2i)( 3 + 2i) ( 3)( 3 + 2i) + (2 i)( 3 + 2i) ( 3 3) + ( 3 2i) + (2 i 3) + (2 i 2i) (9) + (6 i) + (6 i) + ( i ) (9) + ( 12i) + ( 4) ( i)

24 Álgebra superior b) ( 3 + 2i) 3 ( 3 + 2i)( 3 + 2i) 2 ( 3 + 2i)( i) ( 3)( i) + (2 i)( i) ( 3 5) + ( 3 12i) + (2 i 5) + (2 12i) ( 15) + ( 36i) + ( 10i) + (24 i ) ( 15) + ( 46i) + ( 24) ( i) 2 3. Reduce la expresión ( i ) + (2 7 i ) 5 9 i 3 + 8i Respuesta: ( 4 + 3i) + (2 7i) 5 9i 3 + 8i La suma incluida es: ( 4 + 3i) + (2 7i) ( 4 + 2) + ( 3i 7i) (6 4i) realizando la multiplicación del numerador y aplicando el conjugado: (6 4i)( 5 9i ) (6 4i)( 5 + 9i) multiplicando el numerador: (6)( 5 + 9i) + ( 4i)( 5 + 9i) (6 5) + (6 9i) + ( 4i 5) + ( 4i 9i) ( 30) + ( 54i) (20 i) ( 36i 2 ) ( 30) + ( 34i) ( 36) ( i) d i d i 14

25 números complejos desarrollar la división: ( i) 3 + 8i multiplicar y dividir por el conjugado del denominador: ( i)( 3 8i) ( 3 + 8i)( 3 8i) multiplicar el numerador: ( i)( 3 8i) (66)( 3 8i) + ( 34i)( 3 8i) b g b g (66 3) + 66 ( 8i) + ( 34i 3) + 34i ( 8i) ( 198) ( 528i) + ( 102i) (272 i ) ( 198) ( 426i) + (272) (470) (426 i) en el denominador se tiene: ( 3 + 8i)( 3 8i) (9 + 64) 73 efectuar la división: (470) (426 i) i Encuentra la forma binomial de: a) 8(cos50 +isen50 ) b) 3(cos136 +isen136 ) Respuesta: a) 8(cos50 +isen50 )8cos50 +8sen50 i i b) 3(cos136 +isen136 )3cos136 +3sen136 i i 1

26 Álgebra superior 5. Encuentra las raíces de z 4 3 i Respuesta: ( ) isen ( ) 3 i 10 cos las raíces son de la forma: k k z 10 cos + isen 4 4 es decir: z1 1.33[cos isen85.39 ] z2 1.33[cos isen ] z3 1.33[cos isen ] z4 1.33[cos isen ] 6. Sea z4+7i y w5+2i, usando la notación de Euler encuentra Respuesta: w z z8.06(cos isen60.25 )8.06 e 60.25i y w5.39(cos21.8 +isen21.8 )5.39e 21.80i, entonces: 218. i 109. i w 539. e 232. e 029. e i i z 806. e 806. e i 7. Resuelve la ecuación (2+4i) 2 x+6ix7 Respuesta: 2 (2 + 4i) x + 6ix 7 a f ( )i x ix ( i) x + 6ix 7 ( i) x 7 1

27 números complejos 7 x i 7( i) x ( i)( i) i x i x x i

28 Álgebra superior Problemas propuestos 1. Obtén el resultado de ( i ) i 6 + 4i d i 2. Reduce a f 3 + 2i i + ( 4 + 6i) 5 + 3i 3. Encuentra la forma polar de: a) z6+7i b) w11+9i 4. Encuentra las raíces de w i 5. Usando la notación de Euler calcula z/wx, donde z3+7i, w4+9i y x5+i. 6. Resuelve la ecuación 5x+(4+6i)x+4i0 18

29 números complejos Autoevaluación 1. Cuál es el resultado de (9 3i)[( 3i)+(9+6i)]? a) 81+9i b) 72 c) 90 d) 9+81i 2. La reducción de ( 1 + 7i )(2 4i ) (2 + 4i)( 3i) 5 5i a) 3 b) c) d) 5 5i i i 3 3. La forma polar de 6+6 i es: es: a) 8.49(cos45 +i sen45 ) b) 6(cos0 +isen0 ) c) 6(cos45 +isen45 ) d) 8.49(cos0 +isen0 ) 4. La que no es raíz de w 3 3 3i es: a) 1.62(cos225 +i sen225 ) b) 1.62(cos65 +isen65 ) c) 1.62(cos105 +isen105 ) d) 1.62(cos345 +isen345 ) 1

30 Álgebra superior 5. 4e 45 i dividido entre 2e 20 i tiene como resultado: a) 0.5e 2.25 b) 2e 2.25 c) 0.5e 25 d) 2e La solución de (3i) 2 x+(4+i)x4 es: a) b) c) d) 10 20i i i i 13 10

31 números complejos Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. i+4i+7i+9i21i 2. (4i)(5i)20i 2 20 ( 20)(3i) 60i 3. i 3 (i 2 )(i) i i 4 (i 3 )(i)( i)(i) i 2 ( 1)1 Ejercicio 2 1. a) (7 6 4)+( 1+3 3)i 3 i b) (2 3)+(1+6)i 1+7i c) ( 4 + 6) + ( 3 8 ) i 10 5i ( 10 5i )( 7 + i ) 7 i 7 i ( 7 i)( 7 + i) (70 + 5)(10 35) i 75 25i 3 1 i d) (3 4 i)(5 + 2 i) (15 + 8) + (6 20) i 23 14i 3i 3i 3i (23 14i)( 3i) 42 69i 42 ( 3i)( 3i) 9 9 Ejercicio z y Arg( z) cos cos 0 90, z 6(cos 90 + i sen90 ) i

32 Álgebra superior w ( 4) + ( 3) 5 y Arg( w) tan w5(cos isen ) de lo que 2 3. v y Arg( v) cos v2.24(cos isen ) , por tanto Ejercicio i16(cos270 +isen270 ) las raíces son de la forma: w 4 16 L NM cos F kI HG K J + 4 i sen F HG k 4 para k1, k2, k3 y k0 se tiene, respectivamente: w1 2 cos i sen157.5 w2 2 cos i sen247.5 w3 2 cos i sen w4 2 cos i sen i 2 cos( 45 ) + isen ( 45 ) k k z 2 cos + isen 3 3 para k1, k2 y k0 se tiene: [ isen ] z cos [ i ] z cos345 + sen345 [ isen ] z cos , respectivamente. I K JO QP las raíces son de la forma: 12

33 números complejos i 41(cos i sen ) L NM 10 v 41 cos para k0, 1, 2, 3, 4 F I HG K J k k isen 5 5 v cos isen v cos v cos v cos v cos F HG a f a f a f isena82.26f b g isenb154.26g a f isena226.26f a f isena298.26f I K JO QP Ejercicio 5 1. a) 3+5i 34 (cos isen59.04 )5.83e i59.04 b) 5i5 (cos90 +isen90 )5e i90 c) 34(cos15 +isen15 )34e i15 2. Tomando en cuenta que: z5e i53.13, v 3 e i54.74 y we i90, entonces: a) 5 3 e i( ) i 2. 89e b gd i e b) c) 5 e 125e 8 i ) i ( )i i F I HG K J i 4 i d) 3e 1. 15e e 13

34 Álgebra superior Respuestas a los problemas propuestos i i 3. a ) 9.22(cos isen49.40 ) b) 14.21(cos isen39.29 ) 4. w (cos isen ) w (cos isen ) w (cos isen21.48 ) e 10.6i i 117 Respuestas a la autoevaluación 1. c) 2. b) 3. a) 4. b) 5. d) 6. c) 14