Los números complejos

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1 7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0 b) x = 0 a) Tiene dos soluciones: 5 y 5 b) No tiene solución real. Aplica la teoría 1. Completa con equis las casillas a las que pertenecen los siguientes números. Números 3/ i 4 π 5 23 Números 3/ i 4 π Halla mentalmente las siguientes raíces: a) 16 b) 25 a) ± 4 b) ± 5i 5. Calcula mentalmente x e y para que los siguientes números complejos sean iguales: x = 3, y = 4 = x 4i = 3 yi 2. Escribe cinco números complejos que no sean reales i, 5i, 4, 3 4i, Escribe cinco números imaginarios puros. i, 3i, 3i, 5i, 5i 6. Halla los números complejos representados en el siguiente plano de Gauss por sus afijos: z 8 z7 z6 z SOLUCIONARIO

2 = 3 3i = 3i = 3 = 0 = 4 + 5i z 7 = 2i z 9 = 5 z 8 = 1 + 5i = 3 = 3 3i = 3 4i z 8 = 1 + 5i = 4 + 5i = 3i = 0 z 9 = 5 z 7 = 2i = 3 4i 7. Representa los afijos de los siguientes números complejos en el plano de Gauss. a) = 2 3i b) = 4 c) = 4 + 5i d) = 3i e) = 3 4i f) = 2 g) z 7 = 5 + 3i h) z 8 = 5i z 9 = 4 + 5i = 3 4i = 4 = 3i = 2 z 8 = 5i z 7 = 5 + 3i = 2 3i 2. Operaciones en forma binómica Piensa y calcula Las raíces de la ecuación de 2º grado x 2 4x + 13 = 0 son x 1 = 2 + 3i,x 2 = 2 3i.Represéntalas en el plano de Gauss. Respecto de qué recta son simétricas? = 2 + 3i = 2 3i Son simétricas respecto del eje de abscisas, Aplica la teoría 8. Sean = 3 4i, = 2 + 5i a) + b) c) 2 5 d) a) 1 + i b) 5 9i c) 16 33i d) i 9. Sean = 3 + 5i, = 4 2i, = 1 + 6i a) b) c) a) i b) i c) i TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 221

3 10. a) (3 + 2i) 2 b) ( 4 + 7i) 2 c) (2 i) 2 d) (1 + i) 2 a) i b) 33 56i c) 3 4i d) 2i 11. Sea z = 4 3i. a) el opuesto de z b) el conjugado de z c) el inverso de z d) el producto z z a) z = 4 + 3i b) z = 4 + 3i 4 3 c) z 1 = + i d) z z = Sea = 2 + 6i, = 3 i, = 4 + 5i a) / b) / c) / 13. Calcula las siguientes potencias: a) i 259 b) i 342 c) i 372 d) i 109 a) i b) 1 c) 1 d) i 14. Dado el número complejo z = 3 + 5i,calcula: z z z 1 3 5i 15. Dibuja un rectángulo de centro el origen de coordenadas y lados paralelos a los ejes, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del número complejo z = 5 + 3i. Halla las coordenadas de los otros tres vértices en función del opuesto y/o del conjugado de z z = 5 + 3i z = 5 + 3i a) 2i b) i c) i z = 5 3i z = 5 3i 3. Forma polar del número complejo Piensa y calcula Dado el número complejo z = 3 + 4i,halla mentalmente la longitud de la hipotenusa,r, del triángulo rectángulo siguiente, la tangente del ángulo α y, utilizando la calculadora, el ángulo α z = 3 + 4i r = 5 tg α = 4/3 α= r α SOLUCIONARIO

4 Aplica la teoría 16. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los siguientes números complejos y pásalos a forma polar. a) = 5i b) = 6 c) = 3i d) = 4 d) α 2 r 5 = 2 5i a) 5 90 b) c) d) 4 0 = ( 29) 291º 48 5 = 17. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma polar y trigonométrica. a) = 3 + 5i b) = 4 6i c) = 3 + 2i d) = 2 5i a) = 3 + 5i = 29(cos 291º i sen 291º 48 5 ) 18. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma trigonométrica y binómica. a) = 3 60 b) = c) = d) = a) r α 3 5 = º = ( 34) 59º 2 10 = = 34(cos i sen ) b) = 3(cos 60º + i sen 60º) = = 3 ( + i ) = + i b) 4 α 6 r = 4 6i = (2 13) 236º = = 2 13(cos i sen ) c) = 4(cos 225º + i sen 225º) = 2 2 = 4 ( i ) = i 2 2 c) = = 3 + 2i r 2 α 3 = ( 13) 146º = = 13(cos i sen ) 330º = 5(cos 330º + i sen 330º) = = 5 ( i ) = i = TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 223

5 d) c) = º z º = 6(cos 150º + i sen 150º) = 3 1 = 6 ( + i ) = i Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma polar y binómica. a) = 3 (cos i sen 225 ) b) = 2 (cos i sen 300 ) c) = 4 (cos 30 + i sen 30 ) d) = 5 (cos i sen 135 ) a) 3 1 = 4 30º = 4( + i ) = i 2 2 d) = 5 135º = 5( + i ) = + i º 225º = 3 225º = 3( i ) = i b) Define y representa el lugar geométrico definido por: z = 5 z = 5 300º = 2 300º = 2 ( i ) =1 3i 2 2 Es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio SOLUCIONARIO

6 4. Operaciones en forma polar Piensa y calcula Dado el número complejo z = 4 + 4i,multiplica reiteradamente tres veces por i. Representa en el plano de Gauss el número complejo z = 4 + 4i y los tres números complejos que has obtenido. Une mediante un segmento cada afijo con el siguiente, y el último con el primero. Qué figura se obtiene? = 4 + 4i = 4 + 4i = 4 4i = 4 4i Se obtiene un cuadrado. Aplica la teoría 21. Sean = 2 120, = 3 210, = a) b) c) a) b) 8 75 c) a) b) c) Un triángulo equilátero de centro el origen de coordenadas tiene un vértice en el punto A(0, 5). Halla las coordenadas de los otros dos vértices y dibuja dicho triángulo. 22. Sean = 6 225, = 3 150, = = 5i = 5 90 = = a) / b) / c) / = = a) 2 75 b) c) 1, Sean = 5 150, = 3 225, = 2 45 a) 1 b) 2 c) 3 = = 5 90 = TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 225

7 5. Radicación de números complejos Piensa y calcula a) Calcula mentalmente 1. Cuántas raíces tiene? 4 b) Observando que 1 = 1, calcula mentalmente 1. Cuántas raíces tiene? a) 1 y 1, tiene dos raíces. b) 1, 1, i y i, tiene cuatro raíces. 4 Aplica la teoría 25. Halla las raíces cúbicas de z = 8i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = Halla las raíces quintas de z = 3 + 4i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = = 2 30 = = = ( 5 5) 25º = ( 5 5) 97º = ( 5 5) 169º = ( 5 5) 241º = = 2 30 = Se obtiene un triángulo equilátero. 26. Halla las raíces cuartas de z = 81; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = ( 5 5) 313º = ( 5 5) 169º 22' 26'' z ( 5 4 = 5) 241º 22' 26'' Se obtiene un pentágono regular. ( 2 = 5) 97º 22' 26' = ( 5 5) 25º 22' 26'' z ( 5 5 = 5) 313º 22' 26'' z = = 3 45 = = = = = Resuelve las ecuaciones siguientes; representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) + 16 = 0 b) 16i = 0 Se obtiene un cuadrado. = = a) + 16 = 0 z = 4 16 = = 2 45 = = = SOLUCIONARIO

8 31. Halla una ecuación de 2º grado que tenga las raíces: 6± 5i = = 2 45 (x 6) 2 + ( 5 ) 2 = 0 x 2 12x + 41 = 0 = = Se obtiene un cuadrado. b) 16i = 0 z = 4 16i = = = = = Se obtiene un cuadrado. 29. Resuelve la ecuación: x 2 + 6x + 10 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 3 + i x 2 = 3 i a) Las raíces son complejas conjugadas. b) V( 3, 1) c) x = 3 d) = 2 112º 30' = ' = ' z4 = ' y = x 2 + 6x Resuelve la ecuación: x 2 2x + 3 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = i x 2 = 1 2i a) Las raíces son complejas conjugadas. b) V(1, 2) c) x = 1 d) y = x 2 2x + 3 V(1, 2) x = Dado el dibujo de la parábola siguiente, halla: a) el vértice. b) las raíces. c) la ecuación de la parábola. V( 3, 1) x = Halla una ecuación de 2º grado que tenga las raíces: 2±3i (x 2) = 0 x 2 4x + 13 = 0 a) V(2, 3) b) x 1 = 2 + 3i,x 2 = 2 3i c) (x 2) = 0 y = x 2 4x + 7 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 227

9 Ejercicios y problemas 1. Forma binómica del número complejo 34. Completa con equis las casillas a las que pertenecen los siguientes números. 35. Escribe cinco números complejos que no sean reales. 36. Escribe cinco números imaginarios puros. 37. Halla mentalmente las siguientes raíces: a) 36 b) 64 a) ± 6 b) ± 8i Números / i 28 e 4 + 5i, 7i, 5, 2 3i, i, 2i, 4i, 9i, 9i Números / i 28 e 39. Halla los números complejos representados en el siguiente plano de Gauss por sus afijos: = 2 5i = 5i = 2 = 0 = 5 + 3i = 5 5i z 7 = 4i z 8 = 5 + 4i z 9 = Representa los afijos de los siguientes números complejos en el plano de Gauss. a) = 3 + 5i b) = 6 c) = 4 6i d) = 2i e) = 2 + 5i f) = 4 g) z 7 = 1 4i h) z 8 = 2i 2. Operaciones en forma binómica z 8 z 8 = 5 + 4i z 9 z 7 = 2 = 2 5i = = 6 z 7 = l 4i = 5i = 5 + 3i = 0 z 9 = 3 z 7 = 4i = 5 5i = 3 + 5i = 2i = 4 z 8 = 2i = 4 6i 38. Calcula mentalmente x e y para que los siguientes números complejos sean iguales: x = 5, y = 8 = 8 xi = y 5i 41. Sean = 2 3i, = 5 4i a) + b) c) 3 4 d) a) 7 7i b) 3 + i c) i d) 7i 228 SOLUCIONARIO

10 42. Sean = 5 2i, = 3 + i, = 6 4i a) b) c) a) i b) 22 32i c) i 43. a) (4 + i) 2 b) ( 5 + 2i) 2 c) (3 3i) 2 d) (6 + i) 2 a) i b) 21 20i c) 18i d) i 44. Sea z = 5 + 2i a) el opuesto de z b) el conjugado de z c) el inverso de z d) el producto z z a) z = 5 2i b) z = 5 2i 5 2 c) z 1 = i d) z z = Sean = 3 5i, = 2 + i, = 6 + 4i 3. Forma polar del número complejo 48. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar. a) = 4 b) = 5i c) = 2i d) = 3 a) b) 5 90 c) d) Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar y trigonométrica. a) = 4 + 5i b) = 3 2i c) = 6 i d) = 1 + 5i a) = ( 41) 128º = b) = 4 + 5i 5 4 = 41(cos i sen ) r α a) / b) / c) / 1 13 a) i b) + i c) i Calcula las siguientes potencias: a) i 159 b) i 242 c) i 272 d) i 209 a) i b) 1 c) 1 d) i 47. Dado el número complejo z = 4 5i,calcula:z z z i = ( 13) 326º = c) = 13(cos i sen ) = ( 37) 189º = 3 r 2 = 3 2i = 37(cos i sen ) α 6 1 r = 6 i α TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 229

11 Ejercicios y problemas d) = l + 5i r 5 α l d) 315º 3 = = ( 26) 78º = 50. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma trigonométrica y binómica. a) = b) = c) = 6 30 d) = a) = 26(cos i sen ) = 3(cos i sen 315 ) = = 3( i ) = i Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar y binómica. a) = 4(cos i sen 150 ) b) = 3(cos i sen 330 ) c) = 2(cos 45 + i sen 45 ) d) = 5(cos i sen 240 ) 210º 4 a) = º = 4(cos i sen 210 ) = b) 3 1 = 4 ( i ) = 2 3 2i 2 2 = º 3 1 = = 4 ( + i ) = i 2 2 b) 330º 3 = 5(cos i sen 135 ) = c) = 5 ( + i ) = + i = 6(cos 30 + i sen 30 ) = 3 1 = 6( + i ) = i 2 2 = º = = 3( i ) = i c) 2 2 = 2 45 = 2( + i ) = i º 230 SOLUCIONARIO

12 d) 55. Sean = 8 45, = 4 210, = º 5 a) / b) / c) / a) b) 4 75 c) = = 5( i ) = i Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de argumento Define y representa el lugar geométrico definido por: Es una semirrecta, que nace en el origen de coordenadas O(0, 0), y el ángulo formado por el semieje positivo de l as y dicha semirrecta tiene una amplitud de 45 ; es decir, es la bisectriz del primer cuadrante. z = 4 Es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4 45º 56. Sean = 6 120, = 5 315, = a) 3 b) 4 c) 5 a) b) c) Un cuadrado de centro el origen de coordenadas tiene un vértice en el punto A(4, 0). Halla las coordenadas de los otros vértices y dibuja dicho cuadrado. = 4 = 4 0 = = 4 90 = 4i = = = 4 = = = 4i = 4 = 4i 5. Radicación de números complejos = 4i = 4 z = Halla las raíces cúbicas de z = 27i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = = 3 90 = Operaciones en forma polar 54. Sean = 4 60, = 5 240, = a) b) c) a) b) 24 0 c) = = 3 90 = = Se obtiene un triángulo equilátero. TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 231

13 Ejercicios y problemas 59. Halla las raíces cuartas de z = 16; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = 3 = 3i = 3i z = 16 0 = 2 0 = 2 90 = = 3 = 3 = = 2 90 Se obtiene un cuadrado. = 3i = = = 2 0 b) + 16i = 0 z = 4 16i = = = = Se obtiene un cuadrado. = Halla las raíces quintas de z = 3 + 5i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = ' = ' z = ( 34) 59º 2 10 = ( 10 34) 11º = ( 10 34) 83º Se obtiene un cuadrado. = ' = ' = ( 10 34) 155º = ( 10 34) 227º = ( 10 34) 299º Se obtiene un pentágono regular. 61. Resuelve las ecuaciones siguientes; representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) 81 = 0 b) + 16i = 0 a) 81 = 0 = 81 z = 4 81 = 3 = 3i 10 = ( 34) 155º 48' 26'' 10 =( 34) 227º 48' 26'' 10 =( 34) 10 =( 34) 10 =( 34) 83º 48' 26'' 11º 48' 26'' 299º 48' 26'' 62. Resuelve la ecuación: x 2 4x + 5 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 2 + i x 2 = 2 i a) Son complejas conjugadas. b) V(2, 1) c) x = 2 d) y = x 2 4x + 5 V(2, 1) x = SOLUCIONARIO

14 63. Resuelve la ecuación: x 2 + 4x + 7 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 2 + 3i x 2 = 2 3i a) Son complejas conjugadas. b) V( 2, 3) c) x = 2 d) 64. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces: 3 ± 5i (x 3) = 0 x 2 6x + 34 = Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces: 2 ± 3i V( 2, 3) x = 2 (x + 2) 2 + ( 3 ) 2 = 0 x 2 + 4x + 7 = 0 y = x 2 + 4x + 7 Para ampliar 66. Las raíces cuadradas de los números reales negativos, qué clase de números son? Pon un ejemplo. Son números imaginarios puros. Ejemplo: 9 = ± 3i 67. La suma de un número complejo y su conjugado, qué clase de número es? Pon un ejemplo. Es un número real. Ejemplo: z = 2 + 3i, z = 2 3i z + z = El producto de un número complejo y su conjugado, qué clase de número es? Pon un ejemplo. Es un número real. z = 4 + 5i, z = 4 5i z z = Dado el número complejo: z = 3 + 5i a) el conjugado del opuesto. b) el opuesto del conjugado. c) qué relación hay entre los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores? a) z = 3 + 5i b) z = 3 + 5i c) Que son iguales. 70. Calcula x e y para que: a) x + 2i + 5 3i = 7 + yi b) 3 5i 7 + yi = x + 2i a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = 7 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 233

15 Ejercicios y problemas 71. Halla los números complejos representados en forma polar: z 7 z4 = = 3 90 = = 4 40 = = z Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos cuya parte imaginaria está comprendida entre 2 y 3 Es una franja horizontal, los números complejos que están comprendidos entre las rectas y = 2 e y = 3, incluidas las rectas. 2 Imaginaria (z) 3 y = 3 y = 2 z 7 = z 8 = Representa los siguientes números complejos en el eje polar. a) = b) = c) = d) = 5 90 e) = f) = Si el producto de dos números complejos no reales es un número real, qué relación hay entre sus argumentos? Pon un ejemplo. La suma de los argumentos tiene que ser 180 o = = 6 g) z 7 = 6 60 h) z 8 = z Resuelve las ecuaciones siguientes. Representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) 1 = 0 b) + i = 0 z 8 a) 1 = 0 z = 6 1 = = 1 0 = Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: = = = = = l 120 = l 60 Que la parte real esté comprendida entre 2 y 5 2 Real (z) 5 = l 180 = l 0 = l 240 = l 300 Se obtiene un hexágono regular. 234 SOLUCIONARIO

16 b) + i = 0 z = 6 1 = = 1 45 = = = = l 75 = = l 135 = = l 15 = = l 195 = = l 315 = l 165 = l 105 = l 45 = l 255 Se obtiene un hexágono regular. 77. Resuelve las ecuaciones siguientes. Representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) + 1 = 0 b) i = 0 = l 225 = l 285 Se obtiene un hexágono regular. a) + 1 = 0 z = 6 1 = = 1 345º 78. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V(1, 4) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: 1 ± 2i (x 1) = x 2 2x + 5 y = x 2 2x + 5 y = x 2 2x + 5 V(1, 4) x = 1 = 1 30 = 1 90 = = = = = l 150 = l 90 = l Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 + 5x 2 36 = 0 b) x 4 + 5x = 0 a) x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = 3i, x 4 = 3i b) x 1 = i, x 2 = i, x 3 = 2i, x 4 = 2i = l 210 = l 330 = l 270 Se obtiene un hexágono regular. b) i = 0 z = 6 i = = 1 15 = 1 75 = = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x x = 0 b) x 4 3x 2 4 = 0 a) x 1 = 2i, x 2 = 2i, x 3 = 3i, x 4 = 3i b) x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = i, x 4 = i TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 235

17 Ejercicios y problemas Problemas 81. Halla un número que sumado con su inverso dé 1. Qué tipo de números son el resultado? 1 z + = 1 z + 1 = 0 z = + i, = i El resultado son dos números complejos conjugados, tal que la suma de sus partes reales es uno. 82. Dados los números complejos z 0 = 0, = 3 + 2i, =1+3i, halla + y representa los afijos de z 0,, y +. Únelos mediante segmentos en el siguiente orden: z 0,, +, y z 0. Qué polígono se obtiene? + = 4 + 5i = 1 + 3i z 0 + = 4 + 5i = 3 + 2i z = 3 2i 85. Dados los números complejos = 4 + xi, = x i,halla x para que sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. = 5x + (x 2 4) i a) x 2 4 = 0 x = ± 2 b) 5x = 0 x = Dados los números complejos = 2 6i, = x + 3i,halla x para que / sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. 2x 18 6x + 6 = i x x a) 6x + 6 = 0 x = 1 b) 2x 18 = 0 x = 9 Se obtiene un paralelogramo; es equivalente a la suma de vectores. 83. Dado el número complejo z = 5 + 3i,calcula el conjugado, z,el opuesto, z,y el opuesto del conjugado, z.representa los cuatro números complejos en el plano de Gauss y únelos en el siguiente orden: z, z, z, z,z. Qué polígono se obtiene? z = 5 3i z = 5 3i z = 5 + 3i = 5 + 3i Se obtiene un rectángulo. z z = 5 3i 84. Resuelve la siguiente ecuación sabiendo que z es un número complejo: 2z + 6 3i = 5z 3 + 3i z = 5 + 3i z = 5 + 3i 87. Dado el número complejo z = x 3i,halla x para que (x 3i) 2 sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. (x 3i) 2 = x 2 9 6xi a) 6x = 0 x = 0 b) x 2 9 = 0 x = ± Resuelve la siguiente ecuación: 3x + 5y + (xy 15)i = 22 7i Se transforma en el sistema: 3x + 5y = 22 xy 15 = 7 x 1 = 4, y 1 = 2 x 2 = 10/3, y 2 = 12/5 (x 5i)(3 + yi) = 22 7i 89. Dados los números complejos = x + i, = 2 + i,halla x para que el afijo de esté en la bisectriz del 1 er cuadrante. 236 SOLUCIONARIO

18 = 2x 1 + (x + 2)i 2x 1 = x + 2 x = 3 Comprobación: = 5 + 5i 93. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 90. Define y representa el lugar geométrico definido por: z = 3 Es una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 3 Que su módulo sea menor o igual que 2 z 2 z = Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 94. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de argumento 150 Es una semirrecta que nace en el origen de coordenadas, y el ángulo que forma el semieje positivo de las con dicha semirrecta tiene de amplitud º Que su módulo sea 4 z = Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de parte real Define y representa el lugar geométrico definido por: z 5 Es el círculo de centro el origen de coordenadas y radio 5, es decir, la circunferencia y su interior. Es una recta vertical de abscisa 4 x = Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de parte imaginaria 3 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 237

19 Ejercicios y problemas Es una recta horizontal de ordenada 3 y = Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V(3, 2) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: x 1 = 3 + 2i x 2 = 3 2i (x 3) = 0 x 2 6x + 11 = 0 y = x 2 6x Dado el número complejo: 2 2 z = + i 2 2 calcula 0. Da el resultado en forma binómica. y = x 2 6x + 11 V(3, 2) x = 3 z = = (1 45 ) 50 = º = 1 90 = i 98. Aplicando la fórmula de Moivre,expresa sen 2α y cos 2α en función del seno α y del cos α (cos α + i sen α) 2 = cos 2α + i sen 2α Desarrollando el cuadrado del primer miembro e igualando las partes reales e imaginarias, se obtiene: cos 2α = cos 2 α sen 2 α sen 2α = 2 sen α cos α 99. Halla los vértices de un hexágono regular, sabiendo que uno de ellos es el punto A(5, 0) 101. Halla las raíces cúbicas de i y de i,represéntalas gráficamente en los mismos ejes coordenados y forma el polígono que se obtiene uniendo los afijos de cada una de las raíces. z = i = 1 90º = 1 30º = 1 150º = 1 270º z = i = 1 270º = 1 90º = 1 210º = 1 330º A(5, 0) z = = = = = 1 90 = = = = = = = Para profundizar 102. En qué números complejos coincide su inverso con su conjugado? Representa gráficamente la solución. 238 SOLUCIONARIO

20 x y i = x yi x 2 + y 2 x 2 +y 2 Para que las partes reales e imaginarias sean iguales tiene que ser: x 2 + y 2 = 1 Son los números complejos que tienen de módulo uno, es decir, los números complejos que están sobre la circunferencia unidad. Es una franja vertical comprendida entre las rectas x = 1 y x = 4 1 Real(z) 4 x = 1 x = 4 x 2 + y 2 = Dado el número complejo: 2 2 z = i Define y representa el lugar geométrico determinado por: 3 z 5 Son los números complejos cuyo módulo está comprendido entre 3 y 5, es decir, una corona circular de radios 3 y 5, con el centro en el origen de coordenadas. 3 Ì z Ì 5 calcula 0. Da el resultado en forma binómica. z = = (1 315 ) 50 = = = i 107. Si el cociente de dos números complejos no reales es un número real, qué relación hay entre sus argumentos? Pon un ejemplo. La diferencia de sus argumentos tiene que ser 0 o :2 30 = 3 0 = :2 30 = = Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 108. Halla un número complejo cuyo cuadrado sea un número real negativo. z = 5i = Halla un número complejo cuyo cuadrado sea un número imaginario puro. 2 z Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos cuya parte real está comprendida entre 1 y 4 z = 3 45 = 9 90 = 9i 110. Aplicando la fórmula de Moivre,expresa sen 3α y cos 3α en función del seno α y del cos α.ten en cuenta que: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 239

21 Ejercicios y problemas (cos α + i sen α) 3 = cos 3α + i sen 3α Desarrollando el primer cubo e igualando las partes reales e imaginarias, se obtiene: sen 3α = 3 sen α cos 2 α sen 3 α cos 3α = cos 3 α 3 cos α sen 2 α 111. Halla los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto A(3, 4). Haz el dibujo. = 3 + 4i = i = 4 + 3i = i = 3 4i = i = 4 3i = 4 + 3i = 3 + 4i 113. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V( 3, 1) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: x 1 = 3 + i x 2 = 3 i (x + 3) = x 2 + 6x + 10 y = x 2 + 6x + 10 = = 4 90 = 4 18 = = y = x 2 + 6x + 10 = 3 4i = 4 3i V( 3, 1) 112. Halla los vértices de un pentágono regular sabiendo que uno de ellos es el punto A(0, 4) A(0, 4) z = = = = = 4 18 x = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 3 7x x 13 = 0 b) x 3 + 6x + 20 = 0 a) x 1 = 1, x 2 = 3 + 2i, x 3 = 3 2i b) x 1 = 2, x 2 = 1 + 3i, x 3 = 1 3i 240 SOLUCIONARIO