Módulo 1 NÚMEROS COMPLEJOS

Transcripción

1 2015 Módulo 1 NÚMEROS COMPLEJOS Concepto de números complejos Representación gráfica Formas de expresar un complejo Operaciones - Ejercicios Ing. Rodríguez, Diego 01/01/2015

2 HISTORIA Y DEFINICIONES Los matemáticos han venido utilizando números complejos mucho antes de que se definieran con propiedad. Por lo tanto, no es fácil determinar su origen con exactitud. Una de las primeras referencias a los números complejos data de 1545, cuando Cardan realizaba investigaciones sobre las raíces de los polinomios. En efecto, se vio cómo ecuaciones del tipo x = 7 no tenían solución en la realidad, pero sí numéricamente si se aceptaba la existencia de un número ficticio que por entonces se expresó como 1. Esta expresión se utilizaba para estudiar el comportamiento de las raíces de un polinomio (número, orden, simetría, etc.), y así caracterizarlos, a pesar de que dichas raíces a veces no existieran en el dominio real. 1 era más bien un elemento notacional que una entidad matemática como tal y este hecho daba lugar a una serie de problemas (falacias matemáticas). Más tarde, en 1777, Leonhard Euler resolvió parte de estos problemas con la introducción de la notación i y i para la raíz cuadrada positiva y negativa de 1 respectivamente.(en este módulo designaremos a la unidad imaginaria la letra j en lugar de i para que no se confunda con la corriente eléctrica que usualmente se designa con i) Con él se originó la notación o forma binómica según la cual un número complejo, Z, se puede expresar como una pareja de números reales: Siendo: : se denomina parte real del número complejo Z b : se denomina parte imaginaria del número complejo Z Analíticamente: a = Re[ Z ] y b = Im[ Z ] En estas expresiones, Re significa parte real de e Im significa parte imaginaria de. Es importante darse cuenta que la parte imaginaria de Z es b y no jb. Wessel en 1797 y Gauss en 1799 introdujeron la interpretación geométrica de los números complejos como puntos de un plano con dos ejes reales, algo que los hacía más comprensibles. Esta forma de representar un número complejo, denominada forma cartesiana o binómica, asume que cada número complejo, Z= a+ jb, puede representarse en el plano por un punto A Z fijo de coordenadas (a,b), de modo que el eje horizontal representa la parte real, y el vertical la parte imaginaria (Fig. 1). Página 1

3 Fig. 1 Representación gráfica de un número complejo Formas de expresar un nu mero complejo En la figura 1, Con lo que el número complejo es, Donde, ( ) es el módulo de Z ( ) recibe el nombre de argumento de Z La fórmula de Euler Permite expresar en otra forma a un número complejo, que se llama exponencial: En electricidad es muy común utilizar la forma polar o de Steinmetz de un número complejo Z y se escribe así: Página 2

4 Resumiendo, las cuatro formas de expresar un número complejo son: Forma binómica Forma polar Forma exponencial ( ) Forma trigonométrica Operaciones con nu meros complejos SUMA Para sumar o restar números complejos es conveniente que estén expresados en forma binómica (canónica) Dados dos números complejos, expresados en forma binómica, la suma de ambos se calcula sumando respectivamente y por separado partes reales e imaginarias: z 1 = a1 + jb1 z 2 = a2 + jb2 z = z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + j(b 1 + b 2 ) Esta operación da una idea del significado geométrico de la suma de números complejos: sumar un número complejo a otro significa trasladar este último en el plano complejo (ver Figura). Página 3

5 Si los números complejos están expresados en forma exponencial, antes de realizar la suma es conveniente expresarlos en forma canónica a través de la forma trigonométrica. MULTIPLICACIÓN: Dados dos números complejos expresados en forma canónica, el producto de ambos es el resultado de multiplicar los dos binomios: z = z1 z2 = (a1 + jb1)(a2 + jb2 ) = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 ) Esta operación no ofrece una idea clara del significado geométrico del producto. Si los números complejos vienen dados en forma exponencial, su producto será un número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de los factores y su argumento la suma de argumentos de los factores: ( ) El significado geométrico queda en este caso mucho más claro: multiplicar un número complejo por otro supone un escalado y un giro, en sentido antihorario si el segundo tiene fase positiva. Un caso particular del producto de dos números complejos es el giro. Efectivamente, el resultado de multiplicar un número complejo por otro de módulo unidad y un determinado argumento, supone girar el primero un ángulo igual al argumento del segundo. DIVISIÓN: La división de dos números complejos es el resultado de multiplicar uno por el inverso del otro. Si un número complejo viene expresado en forma exponencial, el cálculo de su inverso es inmediato: Página 4

6 La división de dos números complejos se calcularía entonces: Sin embargo, si un número complejo está expresado en forma canónica, para obtener su inverso hay que racionalizarlo (es decir, evitar que el denominador sea complejo), multiplicándolo y dividiéndolo por su conjugado*: Análogamente al caso del producto, esta operación no ofrece una idea clara del significado geométrico de la operación. Si los números complejos vienen dados en forma exponencial, su división será un número complejo cuyo módulo es la división de los módulos de los factores y su argumento la resta de argumentos de los factores: El significado geométrico resulta hora mucho más claro: la división de un número complejo por otro supone un escalado y un giro, en sentido horario si éste último tiene fase positiva. * El conjugado de un número complejo es otro número complejo con igual parte real pero con la parte imaginaria cambiada de signo. La notación es Página 5

7 Trabajo Pra ctico Nº 1 1) Escribir en forma polar 2) Escribir en forma binómica 3) Efectuar las siguientes operaciones: a) j j = b) j j - (3-2.j) = c) 2 + j j - (2 + 3.j j) = 4) Dados los siguientes complejos: a) z 1 = j b) z 2 = j c) z 3 = 1-2.j d) z 4 = j e) z 5 = -3-3.j Resolver: Página 6