Dado que, al multiplicar números complejos a menudo resulta en términos imaginarios convirtiéndose en términos reales.

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Gonzalo Castillo Coronel
hace 6 años
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1 Materia: Matemáticas de 4to año Tema: Multiplicación y división de números complejos Marco teórico En esta lección, vamos a explorar la multiplicación y división de números complejos. En general, las operaciones con números complejos se comportan igual que las operaciones en polinomios regulares: combinar términos semejantes, binomios FOIL, distribuir, y así sucesivamente. Las diferencias son generalmente evidentes cuando los productos y cocientes de números complejos se simplifican. Recordemos el caso inusual de: Dado que, al multiplicar números complejos a menudo resulta en términos imaginarios convirtiéndose en términos reales. Multiplicación de números complejos Al multiplicar números complejos en forma rectangular, recordar el método para multiplicar dos binomios (a veces llamados FOIL): ( m + n ) ( x + y ) = mx + mi + nx + ny. Usamos el mismo procedimiento para la multiplicación de números complejos: ( a + bi ) + ( c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 Pero, a diferencia de la expresión algebraica, la expresión anterior contiene el número, i. Recordemos que i 2 = -1, por lo bdi 2 = bd (-1) = - bd y adi + bci se puede combinar y luego factorizar como ( ad + bc ) i. Así tenemos que el resultado general, ( a + bi ) + ( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i Dividir números complejos Para dividir dos números complejos es similar a la división de dos números irracionales. Recordemos que en ese problema, el procedimiento era encontrar lo irracional conjugado del denominador y luego multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado que, por ejemplo: Divide:

2 En primer lugar encontramos el conjugado del denominador irracional: luego multiplicar el numerador y el denominador por este valor:, y esto se reduce a o El proceso es muy similar a los números complejos. Con los números complejos, ya que usted está interesado en la eliminación de los números complejos del denominador, se encuentra el complejo conjugado del denominador y multiplica el numerador y el denominador por el mismo. Usted encuentra el complejo conjugado de la misma manera que encontró el conjugado de los números irracionales, cambiar el signo de la parte imaginaria. Por ejemplo, el conjugado complejo de 4 + 3i es 4-3i Un número complejo multiplicado por su conjugado complejo producirá un número real. Al recordar ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 simplificando un número complejo y su conjugado puede ser fácil, por ejemplo: Eso nos da: El conjugado de 4 + 3i se encuentra mediante la retención de la parte real (4) y de inversión sólo el signo de la parte imaginaria (es decir, se convierte en 3i-3i) (4 + 3 i ) (4-3 i ) = 16-12i + 12i - 9i 2. Observe que -12 i y 12 i cancelar. También recordar que i 2 = = 25 Por lo tanto: (4 + 3i) (4-3i) = 25 El producto de este número complejo y su conjugado es 25. Al multiplicar números complejos a veces la intuición acerca de la naturaleza del producto puede inducir a error. Por ejemplo, en (a + b) (a + b), donde todos los términos son números reales, no hay términos de cada uno de los cuatro productos se cancelarán. Algunos de los términos pueden combinarse. Sin embargo, en (1 + i) (1 - i), donde algunos

3 términos son números reales y algunos términos son números imaginarios, esto ya no es cierto. Dos de estos términos cancelar: el primer producto se obtiene 1, mientras que el último producto se obtiene i 2 o -1, y esos términos cancelar! Ejemplo A Multiplique: Solución (Nota al combinar términos semejantes: -9 i 2 reduce a -9 (-1) o 9) Ejemplo B Multiplique: Solución o Ejemplo C Encontrar el cociente: Solución En primer lugar, observar que el complejo conjugado del denominador es 4-3i Multiplique el numerador y el denominador por 4-3i: Palabras claves

4 Los conjugados son términos binomiales que son iguales a un lado de las operaciones inversas entre ellos, por ejemplo, (3 + 2x) y (3-2x). Conjugados complejos tales como: (3 + 2i) y (3-2i) se traducen en números reales cuando se multiplica. Ejercicios Resueltos 1) Multiplicar 2) Multiplicar 3) Divida 4) Divida Soluciones 1) Para multiplicar el tratamiento de cada número complejo como un binomio y aplicar el método FOIL para encontrar el producto. multiplicar los primeros términos multiplicar los términos Exteriores multiplicar los términos interiores multiplicar los últimos términos y simplificar el semejantes y simplificar Combina los términos 2) Para multiplicar el tratamiento de cada número complejo como un binomio y aplicar el método FOIL para encontrar el producto. multiplicar los primeros términos multiplicar los términos Exteriores multiplicar los términos interiores multiplicar los últimos términos y simplificar el semejantes y simplificar Combina los términos

5 3) Para Divide primero determinar el conjugado del denominador es el conjugado de los mismos dos términos con el signo opuesto entre ellos, en este caso Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado FOIL 4) Para dividir primero identificar el conjugado del denominador: Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado FOIL Ejercicios Multiplicar números complejos Dividir números complejos

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