Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.

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Gonzalo Vera Márquez
hace 6 años
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TEMA: INECUACIONES Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,, Por ejemplo: 6 0 ; 0 ; 8, etc.

1 TEMA: INECUACIONES Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,, Por ejemplo: 6 0 ; 0 ; 8, etc.... Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos: la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a, y la tercera es verdadera. Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecuaciones. Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas. Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables. Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma. Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la desigualdad es verdadera. Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones. Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia: Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o epresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada. Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resulta es equivalente a la dada. Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad negativa, la inecuación que resulta es de sentido contrario a la dada. Ejemplos:, es una inecuación equivalente a la primera. 6 6, operando nos queda, 9 6 8, que es equivalente a la dada, y por último , y de ahí pasaríamos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso, que es la solución, es decir, todos los valores de la variable menores que catorce tercios.

2 Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un eponente igual a la unidad. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por epresión general a b 0, y todas sus equivalentes. a b 0 ; a b 0 ; a b 0. Ejemplos: 0 99 E , 99, es decir, se cumple para todo valor de 09 la variable menor o igual que noventa y nueve cientonueveavos. E.- 7 0,, es decir, se cumple para todo valor de la 7 7 variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos. Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resolver ecuaciones. Método analítico: Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a obtener la epresión general de una inecuación de er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general: Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a común denominador. Reducir términos semejantes en ambos miembros. Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los principios de equivalencia de inecuaciones) Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la variable quede aislada en el er miembro y con coeficiente la unidad, ) IMPORTANTE: si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así: ya que hemos tenido que multiplicar por ambos miembros por ser éstos negativos, luego proseguiríamos de modo normal. Ejemplos: E ,, la solución son todos los valores de la variable menores estrictamente que E , como nos queda la variable 6 6 negativa debemos multiplicar ambos miembros por, así,, la solución son todos los valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios. Modo de dar las soluciones: Por intervalos, como en los ejemplos anteriores. Gráficamente, por su representación en la recta real. En los casos anteriores sería: E.- - E.- - /

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita: son aquellos en los que la única variable que interviene en todas las ecuaciones está elevada a un eponente igual a la unidad.

3 Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita: son aquellos en los que la única variable que interviene en todas las ecuaciones está elevada a un eponente igual a la unidad. Sistemas de dos ecuaciones, tienen por epresión general: a b, y todas sus equivalentes a b, a b, etc.... a b a b a b Técnicas de resolución: no eiste más que un modo de resolverlos, independientemente del número de inecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuación por separado, y al final se busca la solución en la intersección de todas ellas, es decir, el intervalo de solución común a todas. Ejemplos: ì + > ì > - E.- í Þ í î - + î 9, los intervalos de solución son (-, ) para la primera y (-,9] para la segunda. Luego la solución común a ambas está en la intersección de ambos, es decir, en (-,9 ], gráficamente tal vez se vea mejor. - 9 E.- Sea el largo de un rectángulo de cm. de ancho, el lado de un triángulo equilátero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el perímetro de rectángulo sea superior al del triángulo e inferior al del cuadrado. El planteamiento nos lleva a < + 6 <. Esta es una inecuación de primer grado que no podemos resolver directamente. Debemos pasar al sistema ì < + 6 ì < 6 í Þ í î + 6 < î >, la primera tiene por solución el intervalo (-,6), y la segunda (, ), luego la solución común es la intersección de ambos, es decir (,6 ). Ver la solución gráfica. 6

4 Nombre y Apellido:... Tema: Inecuaciones Trabajo Práctico N - Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado: a) b) c) 6 d) e) f) 8 g) 8 h) i) j) k) - Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita: a) 7 b) 9 8 c) 7 d) e) 0

5 Nombre y Apellido:... Tema: Inecuaciones Trabajo Práctico N - resolver las siguientes inecuaciones 7) - > 0 8) + 9 > 6 9) - < 0) < ) + > ) + < 8 ) - > 7 ) + > ) - < 0 6) - > - 7) + > - 8) 7 - > 7 9) + < 0) - > + ) + < ) - + < + ) - + < ) + < - + ) - + > + 6) - > + 7) + < 9 + 8) + < 9) - > + 0) + 8 > - ) + > + 9 ) - < + ) - > + ) - < 6 + ) < + 6) > + 7) > + 8) + < + 9) + < 7 0) ( + ) > ( - ) + 6 ) 7( - 6 ) < ( + 9) ) ( - ) + ( + 0) < 6( - ) - ( + ) ). - < ( - ) ) ( + ) - ( + ) > + 7 ) + > + 9 6) ( - ) > ( + ) 7) - > - 7 8) > - 8 9) + < ( + ) 0) + < - 7

6 Nombre y Apellido:... Tema: Inecuaciones - La inecuación < está representada por: Trabajo Práctico N a) b) c) d) e) - Al resolver el sistema, se obtiene: - > + < 6 a) S = { R / 6 < < } b) S = ]6, ] c) S = [6, [ d) S = { R / < < } e) S = [6, ] - En el sistema - < -, el conjunto solución es : + 6 > a) ]-, 9[ b) { R / - < < 9 } c) { R / - > < 9 } d) [-, 9] e) [9, -[ - El conjunto de los números reales menores o iguales que - está dado por: a) [0, ] b) ]-, -] c) ]-, -[ d) ], -] e) ], -[ - La epresión (como intervalo), que representa al conjunto A = { R / - < < } es a) [-, ] b) ]-, ] c) ]-, [ d) [-, [ e) Ninguna respuesta anterior

7 6- Sea S = { [-8, 6[ } { [6, 0] }, es equivalente a : a) { R / -8 < < 6 } { R / 6 < < 0 } b) { R / -8 < < 0 } c) { R / -8 < < 0 } d) { R / -8 < < 6 } e) { R / -8 < < 0 } 7- Dado el siguiente sistema ( + ) + ( - ) > 7( - ) + 8( - ) > ( - ) ( - ) ( + ) < ( - ) ( - ) entonces se tiene que la solución es : a) ]9/, 7/[ b) ]9/, 7/] c) [9/, 7/] d) [9/, 7/[ e) Ninguna anterior 8- Dado el sistema + < y, cuál de los siguientes puntos no son solución de él? y + > - I. (-8, ) II. (0, 0) III. (, 0) a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) Todas I, II y III e) Ninguno

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