CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFA MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO 11

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1 DESIGUALDADES E INECUACIONES PERÍODO I FECHA 3 de abril de 08 NIVEL MEDIA TÉCNICA CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFA MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO LOGROS: Reconoce el concepto de desigualdad, las clases de intervalos y efectúa operaciones entre estos. Enuncia e interpreta las propiedades básicas relativas a las desigualdades. Representa la solución de desigualdades absolutas o condicionales en la recta numérica. Reconoce las propiedades básicas de las desigualdades y las aplica en la solución de ejercicios y problemas sobre inecuaciones lineales, polinómicas y racionales. DEFINICIONES: ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES El campo de los números reales posee la propiedad de orden, es decir tiene lugar la tricotomía de los números reales, a saber, que para todo par a, b tiene lugar una y solo una de las tres relaciones siguientes: a > b, a < b, a = b. DEFINICIÓN DE MAYOR QUE Y MENOR QUE Donde a > b significa por definición que a - b es positivo, mientras que a b a b > 0 a < b a b < 0 A diferencia del campo de los números reales el campo de los números complejos no es ordenable. Para los números complejos los conceptos de «mayor que» y «menor que» no están definidos y por ello en este tema de desigualdades se restringe a los números reales. Por definición a las relaciones a > b y a y < los signos de relación de orden. De la definición misma de desigualdad de inmediato se concluye que:. Todo número positivo es mayor que cero.. Todo número negativo es menor que cero.

2 3. Todo número positivo p es mayor que cualquier número negativo n. 4. De dos números negativos es mayor aquel, cuyo valor absoluto sea menor. Los signos de desigualdad son > (mayor que), < (menor que), (mayor o igual que) y (menor o igual que). Se suele escribir: a > 0 para expresar que el número a es positivo a < 0 para expresar que el número a es negativo En general se escribe: a b y se lee «a es mayor que b» (desigualdad estricta) a b y se lee «a es mayor o igual que b» (desigualdad amplia) Ejemplos: ) x + 5 > 4 ) < 7 3) 5 < x < 3 4) x + 0x + < 6 Ejemplos: 5<3 porque 5-3= - 8 R o -8<0-6>-5 porque 6-(-5)= 9 R o 9>0 INTERVALOS La doble desigualdad describe un intervalo abierto (a < x < b) que consiste en todos los números comprendidos entre a y b sin incluir los extremos a y b la designaremos mediante el símbolo: La desigualdad a x b describe a un intervalo cerrado que si incluye los extremos a y b y se denota así:

3 Los paréntesis ( ), no entran extremos. Con los corchetes [ ], sí entran los extremos. El símbolo dos puntos o el símbolo /, se lee «tal que», en conjuntos. CLASES DE INTERVALOS Notación de conjuntos Notación de intervalos Gráfica INTERVALOS FINITOS O ACOTADOS {x R: a < x < b} (a, b) Intervalo abierto {x R: a x b} [a, b] Intervalo cerrado {x R: a x < b} [a, b) Intervalo semiabierto a la derecha o semicerrado a la izquierda. {x R: a < x b} (a, b] Intervalo semiabierto a la izquierda o semicerrado a la derecha. {x R: < x b} = {x R: x b} INTERVALOS INFINITOS O NO ACOTADOS (, b ] {x R: < x < b} = {x R: x < b} {x R: a x < } = {x R: x a} {x R: a < x < } = {x R: x > a} (, b ) [a, ) (a, ) {x R: < x < } = R (, ) DESIGUALDAD Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >, <,,. Ejemplos: ) 4 > 3 ) a < 0 3) b 5 4) x 3

4 CLASES DE DESIGUALDADES: DESIGUALDADES ABSOLUTAS: Son aquellas que son satisfechas por todos los números reales. Ejemplo: x x 0 Si x0, entonces se verifica que x x 0 Si x0, entonces x > 0 y x > x. Por lo tanto, x x 0 Ejemplo: a + 3 > a DESIGUALDAD CONDICIONAL: Son aquellas que sólo son satisfechas por algunos números reales, es decir por todos los elementos de un subconjunto propio de R. Ejemplo: x + 3 > 7 S= {xr/x > 4} = (4, ) Ejemplo: x 8 > 0 Una inecuación es una desigualdad condicional en la que aparecen una o más incógnitas. para resolver una inecuación aplicamos una o más de las propiedades de las desigualdades. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Las siguientes Propiedades o Teoremas deben ser demostradas como ejercicio. Hipótesis Tesis TEOREMA : Si a, b, c, tales que a > b y b > c, entonces a > c Si a, b, c R, tales que a b, entonces a + c > b + c Si sumamos o restamos a ambos miembros de una desigualdad un mismo número real, la desigualdad no cambia de sentido. TEOREMA 3: Sean a, b R y c > 0. Si a > b, entonces a. c > b. c Si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por un mismo número real positivo, la desigualdad no cambia de sentido. TEOREMA 4: Sean a, b R y c < 0. Si a > b, entonces a. c < b. c Si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por un mismo número real negativo, la desigualdad cambia de sentido. 4

5 TEOREMA 5: Si a, b R y a. b > 0 si y sólo si:. a > 0 b > 0. a < 0 b < 0 El producto o cociente de dos números es mayor que cero (o positivo) cuando ambos números son positivos o ambos son negativos TEOREMA 6: Si a, b R y a. b < 0 si y sólo si:. a > 0 b < 0. a < 0 b > 0 Si el producto o cociente de dos números es negativo, es porque los números tienen signos contrarios. TEOREMA 7: Si a, b R y a < b entonces a c < b c TEOREMA 8: Si a, b, c R y a + c < b + c, entonces a < b TEOREMA 9: Si a, b R, c R + y a < b, entonces a. c < b. c o TEOREMA 0: Si a R+, c R+, a 0 TEOREMA 3: Si a > b y b R+, entonces a 0, b > 0 y a > b, entonces a > b TEOREMA 5: Si a > 0, b > 0 y a > b, entonces a > b TEOREMA 6 Si a < 0, b < 0 y a > b, entonces a b a b c c 5

6 INECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x 8. Sumando la misma cantidad a ambos lados: 3 > x 8 Desigualdad dada > x Sumando 8 a ambos lados de la desigualdad > x + 0 Operación suma y propiedad invertiva en Reales > x Propiedad modulativa x < Definición de desigualdad S = (, ) SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Cuando un mismo número x tiene que verificar dos o más inecuaciones, decimos que se trata de un sistema de inecuaciones. Consideraremos sólo casos muy sencillos, y vamos a buscar su solución y a representarla gráficamente. Para resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita se siguen los siguientes pasos: Se calculan por separado las soluciones de todas las inecuaciones del sistema. La parte común a todas las inecuaciones es la solución. Las soluciones son todos los números comprendidos entre el -4 incluido, y el 5 excluido. S = [ 4,5) INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO S = (, ) (4, ) 6

7 INECUACIONES RACIONALES MÉTODO GRÁFICO O ALTERNATIVO El método que se propone a continuación es mucho más ágil y puede desarrollarse siguiendo los siguientes pasos:. Se analiza el signo de cada uno de los factores que contiene el Numerador y Denominador de la fracción, tomando como punto de referencia los valores que anulan cada factor. Para ello se eligen puntos de prueba anteriores y posteriores al referencial.. Se efectúa el producto de los signos de cada factor en los intervalos determinados por los puntos de referencia. 3. El conjunto solución lo constituye el intervalo o unión de intervalos cuyo signo coincide con el signo del lado derecho de la desigualdad. Así, si el signo del lado derecho de la desigualdad es ">", se eligen los intervalos con signo (+). Si el signo del lado derecho de la desigualdad es "<", se eligen los intervalos con signo (-). 4. Verifique si los puntos referenciales pertenecen o no al conjunto solución, sustituyéndolos en la desigualdad y poder determinar de esta forma la naturaleza de ellos: abierto, cerrado, semiabierto y otros. x Apliquemos el método, al caso particular: 0. La siguiente gráfica muestra toda la ( x )( x ) información obtenida siguiendo el método descrito. Signo de (-x) Signo de (x-) Signo de (x+) Signo del producto PUNTO DE REFERENCIA -x = 0 x=0 x = 0 x = x + = 0 x = - PUNTOS DE PRUEBA x = x = - x = 0 x = x = 0 x =- Note que los puntos referenciales no satisfacen la desigualdad, por lo tanto, no pertenecen al conjunto solución. Como el signo del lado derecho de la desigualdad es "<", interesa para la solución los intervalos del producto con signo (-). Esto es: S = (, 0) U (, ) es el conjunto solución. INECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Para resolver este tipo de inecuaciones es conveniente realizar los siguientes pasos:. Pasar todos los términos al primer miembro (para que en el otro quede cero) y reducir factores. 7

8 . Calcular las soluciones (o raíces) del polinomio resultante. 3. Representar sobre la recta real las soluciones obtenidas. Se forman de esta manera todos los intervalos posibles desde hasta +, siendo los extremos de los intervalos las raíces del polinomio. 4. Se escoge un valor del interior de cada uno de los intervalos y se sustituye en la inecuación. Si ésta se verifica quiere decir que dicho intervalo es solución de la inecuación. 5. Los extremos de los intervalos están incluidos (salvo + y) si en la inecuación polinómica está incluido el signo =. Ejemplo: 4x 3 0x + x + 4 0, aplicando la división sintética y el teorema de las raíces racionales, se obtiene: (4x 6x 4)(x ) 0 (x )(x )(x + ) 0 x = 0 x = 0 x + = 0 x = x = x = x = x = x 3 = S = (, 0.5] [, ] INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Se llama inecuación lineal con dos incógnitas a toda desigualdad en la que en algún miembro haya una ecuación lineal con dos incógnitas: ax + by < c ó ax + by > c, a cada par de valores (x, y) que satisfacen la inecuación es una solución de la inecuación. Toda ecuación o inecuación en r en la que intervienen dos variables x, y tiene como representación un subconjunto del plano cartesiano (semiplano). Cuál sería la representación gráfica de la inecuación: x + y > 3 en el plano cartesiano? SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Llamamos sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas a un conjunto de inecuaciones lineales con dos incógnitas que deben verificarse simultáneamente. 8

9 Las soluciones del sistema son los valores de x e y que satisfacen a la vez todas las inecuaciones. Hemos visto que las soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas son las coordenadas de los puntos de un semiplano. Considerando el sistema formado por dos inecuaciones lineales con dos incógnitas. Representamos en la figura los semiplanos solución de ambas inecuaciones. Las soluciones del sistema son las coordenadas de los puntos que pertenecen a la vez a los dos semiplanos solución. Ejemplo: Encontremos el conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen el sistema conformado por las inecuaciones: x + y - < 0 () x y 0 () CONJUNTOS CONVEXOS La intersección de semiplanos cerrados recibe el nombre de conjunto convexo poligonal. Un conjunto convexo poligonal puede tener o bien un área finita o un área infinita. Ejemplo: Representar en un plano cartesiano el sistema de inecuaciones: x + y 3 0; x + y + 9 0; x 3y 6 0 Toda función ax + by + c definida sobre un polígono convexo adquiere su valor máximo (y mínimo) en un punto vértice de aquel. 9

10 TALLER DE DESIGUALDADES E INECUACIONES PERÍODO I FECHA 3 de abril de 08 NIVEL MEDIA TÉCNICA TALLER No. UNO:. Coloca el signo < ó >, según corresponda: a) 3< 9 (3).(5) (9).(5) b) -< 5 (-).(3) (-5).(3) c) 3< 0 (-3).(-6) (0).(-6) d) 00 > 50. En cada caso, encuentra el factor por el que se multiplicó la desigualdad: a) 5<6 (3).( ) < (6).( ) b) 7< (7).( ) > ().( ) - > -36 c) 4<-8 (-4).( ) > (-8).( ) - > -4 d) 30>-5x (30).( ) < (-5x).( ) -6 < x 3. Encontrar otra desigualdad equivalente, multiplicando ambos miembros por : a) 4 + x > 6 b) 5x > c) + x < 0 d) x 4 > 40 e) (5 + x) (x ) > 0 f) (x 3) (x + 0) < 0 4. Encuentra la potencia en cada caso y escribe el signo de desigualdad correspondiente: a) 5> 5 0

11 5 4 b) 3> c) ->-3 9 d) ->8 e) 5< g) -9<4 8 6 g) 4< Completa las siguientes expresiones usando > ó <, según corresponda: a) , y 8, entonces b) c) d) e) 5y < 0, entonces y 0 6. Escribir en forma de desigualdad los siguientes intervalos y representarlos en la recta numérica: a) A = [ 5,] b) B = [ 8, 5) c) C = (, 7) d) D = (6, ) e) E = ( 8, 0) f) F = [,3)

12 7. Escribir en forma de intervalo las siguientes desigualdades y representarlas en la recta numérica: a) x 4 b) 5 < x c) t > 6 d) < y 3 e) p 7 8. Escribir los siguientes intervalos en la notación de conjuntos: a) ( 3,] = b) (, ) = c) [, 3] = d) [, ) = e) (3, ] = f) (, ) = g) [, ) = 9. Sea A = {xr/0 x}, B = {x R/ < x }, C = {x R/ x < } y U = R. Representar gráficamente y determinar el resultado: a) A B = b) (A B) C = c) B C = d) (A B) = e) C B = f) A C = g) (A C) B = h) C B = i) B A = j) C A= k) A = 0. Si U = Reales; A = ( 3; 3] ; B = ( 3; 3) ; C = ( ; 4] ; D = ( 4; 3); E = ( ; 4); F = ( 4; 3), determina y escribe la solución en notación de intervalo y de conjuntos: a) (A E) F = b) E F = c) D C = d) E = e) F E = f) A B = TALLER No. DOS Sean a, b y c números reales cualesquiera. Demostrar las siguientes desigualdades absolutas:

13 . Sí a es un número real y a 0, entonces. Sí a, b y c son números reales tales que c < 0 y a < b, entonces a. c > b. c 3. Sí a, b, c y d son números reales, tales que a < b y c < d, entonces a + c < b + d 4. Sí a, b y c son números reales tales que a + c 9} 6. B = {xr/5x 7 8} 7. C = { xr/x 4x + 3 0} 8. D = { xr/x x + > 0} 9. E = { xr/x 69 > 0} 0. F = { xr/x x 0 < 0} Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones por el método analítico:. 3(x + ) < 5x 3. x + x < x < 4x + 5 < < 7x x 3 < 7 x 8 > x x + x+ 7 x + < 0 7. ( 3 x) ( 3) + 4 ( x ) 0 8. x x > 5 x+6 0. (x + 6) 4. (x + )(x + 4) > 0. 4x 0 3x 3

14 3. x + x 4. 40x + 33x 8 > x + 7x 0 6. x 3 5x + x (x 6)(x + 5) < x+ 9 x Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones por el método gráfico: 9. x+4 5 x x x x x+4 3. x 39x 60 x x 3. (x+4)(x 5x+6) x x4 5x x x > x+4 x 3 5 x 35. 3x+4 x x+3 > x x+ x x 5 x+ 38. Resolver la siguiente inecuación por el método analítico o gráfico, escribir el resultado en forma de intervalo, representarlo gráficamente y calcular un punto de prueba que pertenezca a la solución encontrada. a) x 3 x 4x 4 b) x 3 x < 9x 30 c) x 3 9x + 6x 0 d) 3x 4 0x 3 3x + 8x > 0 e) 5 6 x4 3 x x 3x 3 < 0 4 f) 4x 5 8x 4 4x x x 4

15 RECUERDA: Teorema del residuo. Teorema del factor. División sintética. Teorema de la factorización completa. Propiedades: ) a 0 b 0 ab 0 ) a 0 b 0 ) a 0 b 0 ab 0 ) a 0 b 0 ) ab 0 c 0 ) a 0 b 0 abc 0 ) 0 0 ab c a 0 b 0 ) a 0 b 0 a 0 b 0 Hallar los valores de x en los Reales para los cuales: c 0 c x 3 R 40. x + 3x + 5 ε R 4. x + x 3 3x+ R 4. Representar gráficamente, en el plano cartesiano, las siguientes inecuaciones lineales con dos indeterminadas: a) x 4y 8 b) x < 3y + c) x + 4 < 5y d) x 3 0; y 0; x + 3y 0 PROBLEMAS DE APLICACIÓN: Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 45 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta? 5

16 En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 45 kg x 45 Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos: Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x Para despejar x, multiplicamos a ambos miembros por - (Cuidado: como multiplicamos por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x 460 Hacemos el cálculo x Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 5 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo: (0, 5]. Graficamos la solución en la recta real: PROGRAMACIÓN LINEAL 43. Una tienda de ropa femenina vende trajes de dos marcas M y N. Nunca realiza pedidos mayores de 60 trajes en un mes. La marca M le cuesta $0.000 y la vende en $3.000, mientras que la marca N en $ para venderla en $ Si restringe su gasto para la compra de trajes a $ por mes, cuántos de cada marca deberá comprar para que su utilidad sea máxima? (supongamos que vende todos los trajes.) 44. Se compra 5 artículos iguales por un total de $ Entonces: a) A cómo debe venderse cada artículo para obtener una ganancia total de $40.000? b) Cuál es el menor precio de venta de cada artículo para obtener una ganancia total de por lo menos $0.000? 45. La oficina de publicaciones del CEFA puede editar libros con cubierta rústica y de lujo. En una semana determinada, esta dependencia puede sacar 4000 libros, de los cuales se proyecta para las 6

17 estudiantes de ambas jornadas 000 libros con cubierta de lujo y 500 en rústica, Sabemos, además, que el beneficio por unidades de lujo es 500 pesos, y por unidad de rústica es 00 pesos. Nos preguntamos cuántos libros de uno y de otro tipo debe producir la oficina de publicaciones hasta un total de 4000 para obtener el máximo beneficio. Preparó: MCs. JORGE CARDEÑO ESPINOSA. Departamento de Matemáticas CEFA BIBLIOGRAFÍA: Londoño, N. y Guarín, H. (996). Dimensión Matemática. Medellín: Norma. Uribe Calad, J. (007). Matemática Experimental. Medellín: Uros Editores. Zill, D. y Dewar J. (0). Álgebra, trigonometría y geometría analítica. México: Mc Graw Hill. 7