REPUBLICA DE PANAMA MINISTERIO DE EDUCACIÓN INSTITUTO LABORAL NUEVA LUZ DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE JOVENES Y ADULTOS

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1 REPUBLICA DE PANAMA MINISTERIO DE EDUCACIÓN INSTITUTO LABORAL NUEVA LUZ DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE JOVENES Y ADULTOS MODULO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA NIVEL: 12 -LETRAS FACILITADOR: TRIMESTRE: III EDUCANDO PARA UN MUNDO COMPETITIVO 2015

2 2 VISIÓN Ser un Instituto Laboral de excelente proyección social, elevada calidad y reconocimiento Nacional en la formación de jóvenes y adultos con innovaciones tecnológicas adecuadas al entorno social y empresarial. MISIÓN El Instituto Laboral Nueva Luz es una entidad privada innovadora con proyección social, creada para formar y capacitar jóvenes y adultos con calidad humana, emprendedores con las competencias esenciales para continuar estudios universitarios en cualquier institución superior pública o privada. VALORES Responsabilidad, Cooperación, Honestidad, Sensibilidad Social, Innovación Creativa, Diversidad, Respeto, Solidaridad, Equidad.

3 3 TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN MENSAJE AL ESTUDIANTE. TEMA #1: DESIGUALDADES TEMA #2: FUNCIONES LINEALES TEMA #3: LÍMITES TEMA #4: DERIVADAS. BIBLIOGRAFÍA

4 4 INTRODUCCIÓN El presente módulo instruccional está estructurado en cuatro temas; cada uno dividido en subtemas y desarrollado con una gran variedad de ejemplos y diversas actividades de aprendizaje, divididas en forma individual y grupal. La metodología del módulo se caracteriza por una presentación clara de cada tema, de fácil comprensión mediante el empleo de un vocabulario sencillo. Este módulo pretende ser un instrumento válido para el desarrollo de las potencialidades de los participantes de décimo grado 12 Letras del Instituto Laboral Nueva Luz.

5 5 MENSAJE AL ESTUDIANTE Estimado y apreciado amigo estudiante, Bienvenido al año escolar Te animo a que durante este periodo dediques todo tu esfuerzo, capacidad e interés para el logro satisfactorio de los objetivos propuestos y de esta forma puedas aplicar los conocimientos que te ayudaran a ser un mejor individuo y futuro profesional. Vamos Anímate! Y recuerda los obstáculos se hicieron para ser superados. Tú tienes el don divino de la inteligencia y la sabiduría. Úsalo!

6 Desigualdades o Inecuaciones 6

7 7 TEMA #1: DESIGUALDADES Objetivos: Resolver desigualdades lineales. Encontrar los valores críticos de las desigualdades cuadráticas. Concepto: Una desigualdad es una relación que establece una comparación entre dos cantidades que no son iguales. Ejemplos de desigualdades: Para las desigualdades utilizaremos la siguiente simbología: La solución de desigualdades utiliza paréntesis para los intervalos solución que son abiertos y para cuando un extremo de la solución sea el infinito. Pero cuando los intervalos solución son cerrados se utilizan los corchetes, -. Y cuando los intervalos tienen extremos uno cerrado y otro abierto entonces se utilizan ya sean los paréntesis y los corchetes combinados según sea cada extremo solución.

8 8 Para graficar la solución de una desigualdad se utiliza la Recta Real Numérica Observación: si una desigualdad se multiplica o divide por un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia. TIPOS DE DESIGUALDADES: Numéricas: son desigualdades que ordenan elementos de los números reales. Ejemplo: Se lee 3 es menor que 5 Algebraicas: son desigualdades que contienen números y expresiones con una o más variables. Ejemplo: Desigualdades Algebraicas: Desigualdades Absolutas: se cumplen para todos los valores de las variables. Ejemplo: Desigualdades Condicionales: son desigualdades que no se cumplen para todos los valores reales de las variables. Ejemplo:

9 9 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES. Consideremos. TRICOTOMIA: dados dos cantidades, con es posible establecer múltiples relaciones tales como: No negatividad: Transitividad: si Si entonces Suma de desigualdades: Si entonces Si entonces Producto de desigualdades: Si y entonces Si y entonces Si y entonces Si y entonces entonces CONJUNTO SOLUCIÓN. La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los valores de la incógnita que la satisface. Así resolver una desigualdad es hallar su conjunto solución, utilizando reglas y propiedades. Intervalo: es un subconjunto de los números reales que está comprendido entre dos números cualesquiera,, es decir es un subconjunto de la recta numérica.

10 TIPOS DE INTERVALOS. 10

11 11 Inecuaciones Lineales de primer grado: son inecuaciones en las cuales el grado más alto que tiene una variable es uno; como en los siguientes casos: Resolver una inecuación es hallar los valores en los cuales se cumple la desigualdad. Ejemplo 1: Dada la siguiente inecuación grafícalo., halla el conjunto solución y Solución: Transponiendo Despejando x Simplificando Conjunto solución simbolizado con S ó * + Ejemplo 2: Resolver Soluci n:

12 12 Ejemplo 3: Resolver Soluci n: Observación: el sentido de la desigualdad cambio pues se dividió entre un número negativo Ejemplo 4: Resolver Soluci n:, ) PRACTICA INDIVIDUAL 1 Resuelva las siguientes desigualdades lineales: a) b) c) d) e) f)

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14 14 Unidad 2 Desigualdades Cuadráticas

15 15 Inecuaciones cuadráticas. Una inecuación cuadrática es una expresión que tiene la forma: En ella el conjunto solución estará determinado por las soluciones de la ecuación cuadrática En la cual se pueden aplicar cualquiera de los métodos conocidos. Recordemos la factorización en algunos de sus casos: Trinomio de la forma Ejemplo: Diferencia de cuadrados: Ejemplo: Practiquemos para recordar: Factorizemos:

16 16 Para encontrar el conjunto solución de inecuaciones cuadráticas es conveniente: 1) reducir la ecuación algebraicamente todo lo posible. 2) factorizar. 3) utilizar el método de los puntos críticos para determinar donde se cumple la igualdad. Puntos críticos: son los valores que hacen que la inecuación tome el valor de cero. Ejemplo: Los puntos críticos son x= -5, x=3 Ejercicio: encuentra el conjunto solución de la ecuación cuadrática Solución: Los puntos críticos son: x= 6, x= -2 Para determinar el conjunto solución evaluamos la expresión cuadrática con: a) un número menor que -2 ósea b) un número mayor que -2, pero menor que 6. Ósea c) un número mayor que 6. Ósea Luego:

17 17 intervalos Valor de prueba Entonces cuando. Así * + Ejemplo: encuentra el conjunto solución de la ecuación cuadrática Solución: Los puntos críticos son: x= -3, x= 1

18 18 intervalos Valor de prueba Entonces: cuando Así * + Ejemplo: encuentra el conjunto solución de la ecuación cuadrática Solución: Los puntos críticos son: x=3, x= -3 intervalos Valor de prueba

19 19 Entonces Cuando Así: ( -, ) ASIGNACIÓN PRÁCTICA GRUPAL 2 Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas

20 20 UNIDAD 3 -Funciones Lineales. -Límite de funciones.

21 21 FUNCIONES LINEALES Objetivo: Graficar funciones lineales y cuadráticas. Concepto: Una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto que se llama Dominio, y los elementos en otro conjunto llamado Codominio. La notación indica que es una función de Funciones lineales: Una función es lineal si es de la forma Donde y son números o constantes, Dominio: es el conjunto de todos los valores que se pueden sustituir en la función o el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Codominio: es el conjunto de todos los valores que toma la gráfica de la función, este se determina con relación a la ordenada o variable dependiente. Gráficas de las funciones lineales: Las gráficas de las funciones lineales siempre son líneas rectas y se construyen en el plano cartesiano. Para graficar funciones lineales se construye una tabla, donde cada valor de que es la variable independiente, genera un valor o imagen para o que es la variable dependiente. PLANO CARTESIANO

22 22 Para localizar una punto en el plano cartesiano, se acostumbra a ubicar primeramente el valor de, posteriormente se ubica el valor de Ejemplo: Graficar la función. Luego asignamos algunos valores para la variable, donde cada valor de generará un valor para Hacemos una tabla de valores con los resultados obtenidos para y para Luego se ubican todos los pares de puntos en el plano cartesiano, dando como resultado la siguiente gráfica:

23 23 Graficar Luego asignamos algunos valores para la variable, donde cada valor de generará un valor para. Luego se ubican todos los pares de puntos en el plano cartesiano. Graficar Luego asignamos algunos valores para la variable, donde cada valor de generará un valor para.

24 24 Luego se ubican todos los pares de puntos en el plano cartesiano. TALLER GRUPAL 3 Grafica las siguientes funciones, hallar el dominio y Codominio de cada una. a) b) c) PRÁCTICA INDIVIDUAL 2 Grafica las siguientes funciones, hallar el dominio y Codominio de cada una. a) b) c)

25 25 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Objetivo: Calcular el límite de una función. Concepto: dada una función y un punto se dice que es el límite de cuando se acerca al valor y se denota como: Propiedades de los límites: Múltiplo escalar Suma o Resta de funciones Producto de funciones, -, - Cociente de funciones Observación: Al momento de calcular el límite de un cociente se pueden presentar tres casos:

26 26 cuando esto sucede obligatoriamente hay que Factorizar si es un polinomios, y si interviene raíces, se multiplica por el conjugado. Recordemos dos casos de factorización que necesitaremos. TRINOMIO DE LA FORMA Para Factorizar estos polinomios se deben buscar dos números que son únicos, cuya multiplicación sea igual a, es decir el término libre y cuya suma o resta sea igual a, es decir al coeficiente numérico de. Para este caso de factorización se deben recordar las leyes de los signos para la suma y la multiplicación. Ejemplo: Factorizar Se observa claramente que y que Factorizar Luego, Se observa que y que FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS. La diferencia de cuadrados se factoriza de la siguiente forma: Ejemplo:

27 27 Ejemplos: Cálculo del límite de una función. Calcular Para calcular el límite simplemente sustituimos la por su respectivo valor. Luego, Calcular Luego, Calcular Evaluamos el valor de este límite cuando tiende a 3 el límite es indeterminado. Po lo cual tenemos que factorizar para tratar de evitar la indeterminación del límite. Diferencia de cuadrados

28 28 Luego, Calcular Evaluamos el valor de este límite cuando tiende a El límite es indeterminado por lo cual procedemos a factorizar si es posible. Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma x 2 bx c Luego, Calcular

29 29 Evaluamos el valor de este límite cuando tiende a El límite es indeterminado por lo cual procedemos a factorizar si es posible. Trinomio de la forma x 2 bx c Trinomio de la forma x 2 bx c Luego, TALLER GRUPAL 4 Calcule los siguientes límites.

30 30 PRÁCTICA INDIVIDUAL 3: Calcule los siguientes límites. MINISTERIO DE EDUCACIÓN INSTITUTO LABORAL NUEVA LUZ EXAMEN TRIMESTRAL DE MATEMÁTICA 12 - LETRAS Estudiante: fecha: Puntaje del Examen: 78 pts Pts. Obt: Indicaciones: Resuelva en forma clara y ordenada los siguientes problemas. Escriba con una letra legible. I- Grafique la siguiente función lineal. Valor: 20 pts a) II- Calcular los siguientes límites aplicando la regla de sustituir. Valor: 30 pts 1) 2) 3) III- Determine los siguientes límites. Valor: 20pts

31 31 Recomendación: evalué si el límite es indeterminado y luego proceda a evadir la indeterminación de ser posible y para esto utilice factorización. a) b) Criterios a evaluar Puntaje Contenidos y procedimientos correctamente 70 resueltos Orden y Aseo 4 Letra Legible 4 Total 78 pts. BIBLIOGRAFÍA Panamá Solís. Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral. Instituto Laboral Nueva Luz, Módulo Instruccional 12, 2011.