1 Profesor: Aquilino Miranda I TRIMESTRE - UNIDAD DE APRENDIZAJE #1 (DESIGUALDADES) PROFESOR: AQUILINO MIRANDA (COLEGIO DANIEL O.

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1 1 Profesor: Aquilino Miranda I TRIMESTRE - UNIDAD DE APRENDIZAJE #1 (DESIGUALDADES) PROFESOR: AQUILINO MIRANDA (COLEGIO DANIEL O. CRESPO) Resuelve desigualdades lineales enteras y fraccionarias. Resuelve desigualdades cuadráticas. Resuelve desigualdades racionales, Resuelve desigualdades con valor absoluto. Actividad previa: Responde la siguiente interrogante. Qué es para ti una desigualdad? La suma de tres números naturales consecutivos es 18 Cuáles son los números? + + = 18 Ahora podemos iniciar con el desarrollo del tema, adelante 1. Concepto de desigualdad: Una desigualdad es una relación que establece una comparación entre dos cantidades que no son iguales. Un ejemplo claro de desigualdad sería 5, 1.1 Concepto de inecuación: En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo se denomina inecuación en sentido amplio. Ejemplos de inecuaciones: x5 x 1 x x 4x 1 1. Simbología: Para las desigualdades utilizaremos la siguiente simbología. 5 (Menor que), (Menor o igual que), (Mayor que), (Mayor o igual que) 1. Regla para trabajar con desigualdades e inecuaciones: si una desigualdad se multiplica o divide por un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia, es decir, si es mayor, cambia a menor y viceversa.

2 Profesor: Aquilino Miranda 1.4 Solución de las inecuaciones mediante intervalos: para dar el conjunto solución de una desigualdad utilizaremos los siguientes intervalos, para los símbolos mayor y menor que se utilizan los intervalos abiertos, cuando interviene el símbolo (infinito), con el se utilizan los intervalos abiertos o semi-abiertos:, (,] [,) Para los símbolos menor o igual que y mayor o igual que se utiliza el intervalo cerrado:, siempre y cuando no intervenga el infinito. Para dar la solución de una desigualdad debemos tener presente la recta real. 1.5 Resolución de desigualdades o inecuaciones: consiste en encontrar su conjunto solución. 1. Desigualdades lineales: son aquellas en las cuales el exponente de las variables que intervienen es 1. Resolver x5 x 0 x 5 x 0 x x 0 5 5x 15 x x 15 5 La solución son todos aquellos valores estrictamente menores que, de donde el intervalo solución es:, Resolver 5x x 19 5x x19 5x x 19 x 17 x 17 La solución son todos aquellos valores mayores 17 o iguales que de donde el intervalo solución es: 17 [, ) Resolver 4x15 x 18 4x15 x18 4x x18 15 x x Nota: el sentido de la desigualdad cambió pues se dividió entre un número negativo. La solución son todos aquellos valores estrictamente mayores que de donde el intervalo solución es:,

3 Resolver x 1x 7 5x 9 x Profesor: Aquilino Miranda x 1 x 7 5x 9 x x x 5x x 8xx 5 x x S, 5 5 Resolver x x x Resolver x x x x x x x x x x 5x 0x x 5x x x x x S, x x x x x x 0x x x 0x x x x x S, Desigualdades Cuadráticas: Una desigualdad en la variable x es cuadrática cuando es posible escribirla en alguna de las formas que se presentan a continuación: ax bx c, ax bx c, ax bx c, ax bx c

4 4 Profesor: Aquilino Miranda Nota: para resolver desigualdades cuadráticas debemos recordar algunos casos de factorización: Factorización de la forma x mx n, Este caso se aplica a polinomios de la forma x bx c Para Factorizar estos polinomios se deben buscar dos números que son únicos, cuya multiplicación sea igual a c, es decir el término libre y cuya suma o resta sea igual a b, es decir al coeficiente numérico de x. Para este caso de factorización se deben recordar las leyes de los signos para la suma y la multiplicación. Factorizar: x 5x, Se observa claramente que y que 5 para ax bx c Factorizar 8 8x 1x8 8 x x x18x x x x 8x 4 Luego, x 5x x x 8x 1x 8, x 14x4 Factorización x 14x 4 x x 14 4 x1x x x x x Factorización mediante la fórmula general 48 x 4 9 x 100 x 10 x, x 11x 5 x 11x5 x aplicar a polinomios de la forma Ejemplo: Factorizar: a, b, c 8 x x x10x1 5 1 x x x 5x 1 b b 4ac,este caso x x 8 Aplicando la fórmula general obtenemos: a ax bx c, a 0 De donde: Luego del valor obtenido de la raíz, se toma uno positivo y uno negativo y se obtienen los dos valores de x.

5 5 Profesor: Aquilino Miranda 10 x 8 x 4 x, 10 x 1 x x Luego, x x 8 x 4x 1.8 Método por intervalos: este método se usa para resolver desigualdades que involucran polinomios de magro mayor o igual que dos, o desigualdades que contienen cocientes con denominadores variables. El método se basa en el siguiente principio: un polinomio cambia de signo solamente en sus ceros (son aquellos valores en donde el polinomio se anula), entre dos ceros consecutivos un polinomio es siempre positivo o negativo, por lo tanto si ordenamos los ceros reales de un polinomio en la recta real, dicha recta se divide en intervalos; de cada intervalo se elige un valor de prueba para determinar el signo del intervalo. Todos estos datos se tabulan y dependiendo de la desigualdad y de los signos resultantes se determina la respuesta del problema. Observación: si los factores del polinomio no se repiten, los signos van intercalados. Ejemplo: determine el intervalo solución para x x 15 Solución: x x x x x x Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio, x5 0, x 0 x 5, x Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los intervalos, La recta real se divide en los siguientes intervalos:,,,5, 5,

6 Profesor: Aquilino Miranda Intervalos Valor de prueba x x 5 x5x, , , Solución S,5 Ejemplo: determine el intervalo solución para x x 10 Solución: Debemos factorizar el polinomio. x 1x10 x x 1 0 x15x 5 x x x 5x Luego, x x x x x x Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio, x5 0, x 0 x 5, x Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los intervalos,

7 7 Profesor: Aquilino Miranda La recta real se divide en los siguientes intervalos: Intervalos Valor de prueba x 5 x, 5, 5,,, x5x, ,, Ejemplo: determine el intervalo solución para Solución: Debemos factorizar el polinomio. 4 4x 8x5 4 4x x 5 x x x104x 4 4x104x x 5x 1 Luego, x x x x x x Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio, Solución S 5,

8 8 Profesor: Aquilino Miranda x5 0, x x, x Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los intervalos, La recta real se divide en los siguientes intervalos: ,,,,, Intervalos Valor de prueb a x 5 x 1 x 5x 1 5, Solución 1, 5 1, S 5 1,, CONSIGNA DE APRENDIZAJE GRUPAL (4 INTEGRANTES) Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades: x x x 7 5, 5x x 7 x 84x 1 x 11x 4, 8x x 1.9 Desigualdades racionales: Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas

9 9 Profesor: Aquilino Miranda cuadráticas o polinómicas de grado mayor o igual que dos, aunque pueden intervenir polinomios de primer grado. En esta sección utilizaremos el método por intervalos. En los intervalos del denominador siempre se deben quitar los valores que lo convierten en cero, es decir que en el denominador siempre tendremos intervalos abiertos o semiabiertos y el numerador depende de la x 1 desigualdad. Ejemplo: determine el intervalo solución para 0 x 5 Solución: Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio, x1 0, x5 0 1 x, x 5 Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los intervalos, 1 1 La recta real se divide en los siguientes intervalos:,,,5, 5, Intervalos 1, 1,5 Valor de prueba x 1 x 5 x 1 x , Solución S 1, 5,

10 10 Profesor: Aquilino Miranda 5x 1 Ejemplo: determine el intervalo solución para x 4 Solución: 5x 1 5x 1 5x1 x 4 5x 1 x 8 x x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio, x9 0, x 4 0 x 9, x 4 Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los intervalos, La recta real se divide en los siguientes intervalos:, 4, 4,,, Intervalos Valor de prueba x 9 x 4 x 9 x 4, , , Ejemplo: determine el intervalo solución para Solución: Debemos factorizar el polinomio. x 1 x 5x 0 Solución S 4,

11 11 Profesor: Aquilino Miranda x 5x x x 5 xx1 x x x x 1 x1 x1 0 0 Luego, x 5x x 1 x Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio, x1 0, x 0 1 x, x Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los intervalos, 1 1,,, 1, 1,,, intervalos: Intervalos Valor de prueba Signo de x 1 Signo de x 1 La recta real se divide en los siguientes Signo de x x1 x x 1 x1 x,

12 1 Profesor: Aquilino Miranda, 1 1/ , 1, Luego, la solución es S, 1.10 Valor absoluto: En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo o negativo. El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. Sea xr el valor absoluto de x que de denota como x se define de la siguiente forma: x x 1.11 Propiedades del valor absoluto: 1 x 0 x si x 0 x x si x 0 es decir x a a x a x a x a x a, con a 0 4 xy x y 5 x a x a x a x y x y x y x x 7 x x x 8, y y y 0 n n 9 x x, n, entero positivo 10 x y x y, Desigualdad Triangular Observación: las propiedades, y 5 también son válidas para los signos (Menor que), (Mayor que). Ejemplo: Resolver x Solución: Aplicando la propiedad (5) obtenemos, x x luego,

13 1 Profesor: Aquilino Miranda x, x x, x 9 9 x, x x1, x S,1, Ejemplo: Resolver x 1 4 Solución: Aplicando la propiedad () obtenemos, 4 x 1 luego, x x x S, Ejemplo: Resolver x 1 5 x x x x Aplicando la propiedad () obtenemos, 5 x 5 luego, 8 5 x 5 x x 1 x S 1, 4 CONSIGNA DE APRENDIZAJE GRUPAL (4 INTEGRANTES) Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades: x x 4 10x 8x x 4 4x x 1 x, 0, 0 7x4 5x, 4

14 14 Profesor: Aquilino Miranda APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES Problema 1 (Producción de artículos): Una compañía desea ensamblar 1000 artefactos electrónicos en una semana, gastando no más de 000 dólares por concepto de mano de obra. Por ensamblar una unidad durante las horas diurnas es de 5 dólares y 7 dólares el de las nocturnas Cuál es el número mínimo de artefactos que deben ser ensamblados en las horas diurnas? Luego formamos la desigualdad basándonos en el enunciado del problema: Solución: Sea x: el número de aparatos ensamblados en las horas diurnas. Entonces, 1000-x: es el número de aparatos ensamblados en las horas nocturnas. El costo por mano de obra de los artículos ensamblados en las horas diurnas será de 5x, es decir cinco dólares por la cantidad desconocida de artículos ensamblados. El costo por mano de obra de los artículos ensamblados en las horas nocturnas será de 7(1000-x), es decir siete dólares por la cantidad desconocida de artículos ensamblados en la noche. El gasto por mano de obra no debe superar los 000 dólares por lo tanto debe ser menor o igual que 000 dólares. 5x x 000, La suma de los gastos menor o igual que 000 5x x 000, producto x , reducción de términos semejantes x 1000, reducción de términos semejantes 1000 x el sentido de la desigualdad cambió por la regla x 500, división Respuesta: se debe ensamblar mínimo 500 aparatos en las horas diurnas para que el gasto de mano de obra no supere los 000 dólares.

15 15 Profesor: Aquilino Miranda Problema (Toma de decisiones): El costo de hacer transacciones en dos Bancos de Kansas City es el siguiente: en el Banco A, por mantener una cuenta corriente es de 1 dólares por cada mes y 0.1 fracción de dólar por cada cheque girado, mientras que en el Banco B, se cobran 10 dólares por mantener una cuenta corriente al mes y 0.14 fracción de dólar por cada cheque girado. A qué tipo de clientes es conviene afiliarse al Banco A? Solución: sea x: el número de cheques emitidos en el mes. El costo por los cheques girados en el Banco A es de 0.1x, y en el Banco B es de 0.14x Sea CA: el costo de la cuenta corriente más el costo de los cheques girados en el Banco A. Sea CB: el costo de la cuenta corriente más el costo de los cheques girados en el Banco B. Se entiende claramente que los costos por mantener la cuenta son constantes no varía en ambos Bancos, lo que si varía es la cantidad de dinero por los cheques girados, lo cual representa nuestra variable. Para que a un cliente le convenga el Banco A, el valor de los gastos debe ser menor que los gastos en el Banco B, es decir: CA CB Luego formamos la desigualdad basándonos en el enunciado del problema: 1 0.1x x 0.1x 0.14x x x 0.04 x Respuesta: El Banco A le conviene a los clientes que emiten más de 50 dólares al mes, de lo contrario entonces les conviene el Banco B. Problema (Longitudes): Los valores numéricos de los tres lados de un triángulo escaleno son dados por tres números enteros pares consecutivos. Si el perímetro del triángulo (la suma de sus tres lados), es mayor que 4 centímetros Cuál es el valor mínimo que debe medir el lado más corto?

16 1 Profesor: Aquilino Miranda Solución: sea x: la longitud del lado menor (número entero y par) Entonces el lado mediano debe medir x+, pues es el número entero y par que le sigue a x y por último x++=x+4 es la longitud del lado más largo, pues es el número entero y par que le sigue a x+. Luego, formamos la siguiente desigualdad, recordando que la suma de los tres lados debe ser mayor que 4 según el enunciado del problema. x x x 4 4 x 4 x 4 x x x Respuesta: el lado más corto debe ser un número entero y par mayor que, por ejemplo el 8. Problema 4: Para una compañía que fabrica webcam, el costo entre mano de obra y materiales es de 1 dólares por cada unidad producida y sus costos fijos son de dólares, si el precio de venta de cada webcam es de 5 dólares Cuántas unidades debe vender como mínimo para que la compañía genere utilidades? Observación: en economía el ingreso total por la venta de un artículo es igual al precio por unidad multiplicado por el número de unidades vendidas. El costo total es igual al costo variable (costo de las unidades, gastos de la producción directa), más el costo fijo (gastos de forma indirecta, renta o seguro). La utilidad o ganancia es igual al ingreso total menos el costo total y esta debe ser mayor que cero, de lo contrario solo se obtendría pérdidas. Solución: sea x: el número de unidades y vendidas. Sea I: el ingreso total, el cual corresponde al producto de los 5 dólares que es el precio de la venta por las unidades x vendidas, es decir 5x.

17 17 Profesor: Aquilino Miranda Sea C: igual al costo total por lo tanto debemos sumar el ingreso total (el gasto de producción de cada unidad por la totalidad x de unidades producidas, es decir 1x), más el gasto fijo que es de 70000, de donde concluimos que el gasto total es de 1x La utilidad o ganancia U es igual al ingreso total menos el costo total y esta debe ser mayor que cero, de lo contrario solo se obtendría pérdidas. Es decir U 5x 1x Ahora procedemos a resolver la desigualdad, 5x 1x x 1x x1x x x 14 x Respuesta: para general utilidades se tienen que vender más de 5000 webcam. EVALUACIÓN FORMATIVA Resuelve los siguientes problemas, aplicando las desigualdades. Una compañía de publicidad determina que el costo por publicación de cada ejemplar de una revista es de 1.50 dólares, el ingreso recibido de los distribuidores es de 1.40 por cada revista, además el ingreso por publicidad es el 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos, siempre y cuando superen los 10000, de lo contrario no habrá ingresos por publicidad. Cuál es el mínimo de revistas que deben venderse de modo que la compañía obtenga ganancias?

18 18 Profesor: Aquilino Miranda Un arquitecto desea delimitar un terreno rectangular y tienen 450 metros de cerca disponibles. Determine las dimensiones del terreno (largo y ancho), si el área delimitada debe ser al menos de 150 metros cuadrados. EVALUACIÓN SUMATIVA Resolver los siguientes problemas aplicando las desigualdades. Una compañía de textiles fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de 5 dólares y un costo unitario de producción de 0 dólares, el costo fijo es de 0000 dólares, determine el número de unidades que la compañía debe fabricar y vender para obtener ganancias. Se desea determinar la diferencia (toma de decisiones), entre los costos de comprar y rentar un yate. Si se puede rentar un yate por 50 dólares mensuales, con una base anual (por 1 meses), bajo este plan el costo por kilómetro en combustible es de 0.0 dólares. Si se compra el yate, el gasto fijo anual sería de 500 dólares más 0.8 por kilómetro Cuál es el máximo de kilómetros que deberá recorrer al año el yate para que la compra sea más barata que el alquiler? Las ventas mensuales x, de cierto artículo cuando su precio es de p dólares están dados por la siguiente igualdad, p=5-5x, el costo de producir x unidades al mes del artículo es de C=000+5x dólares Cuántas unidades de dicho artículo deben venderse y producirse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 1500 dólares? EL ÉXITO CONSISTE EN OBTENER LO QUE SE DESEA, LA FELICIDAD CONSISTE EN DISFRUTAR LO POCO O LO MUCHO QUE SE TENGA