Qué cacharros debe recoger en su mochila para que el valor de lo recogido sea máximo?

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Inmaculada Luna Roldán
hace 6 años
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1 Un trapero tiene una mochila en la que puede meter objetos por un peso total de hasta 44 kilos. En uno de sus paseos observa un montón en el que hay seis cacharros, cuyo peso y valor estima según refleja la tabla siguiente Cacharro nº Valor Peso Qué cacharros debe recoger en su mochila para que el valor de lo recogido sea máximo?

2 Un criterio razonable para proceder a la elección de cacharros es el la relación valor/peso. De acuerdo con este criterio, los cacharros se ordenan según la siguiente tabla Cacharro nº Valor

3 Cacharro nº Valor En virtud de esta ordenación, la primera cuestión que debe plantearse el trapero es si le conviene o no llevarse el cacharro nº. Esto permite establecer la raíz de un árbol del que parten dos ramas según opte por dejar o llevarse dicho cacharro. V0 r2 r1

4 Cacharro nº Valor V0 r2 r1 0 G = 28 G ( i) representa el valor de la mochila en el nodo correspondiente

5 Cacharro nº Valor V0 Para el nodo se calcula el máximo valor que podría contener en el supuesto de que los cacharros se pudieran partir en trozos cuyo valor fuera proporcional a su peso. El nombre de un cacharro con un asterisco significa que ese cacharro ha sido partido. r2 r1 G G = 28 Maxp() = cacharros : c1+ c4* 25 Peso : = Vlr a o : = Como el máximo potencial de es mayor que el valor de la mochila en, el trapero debe seguir planteándose si se lleva o no el cacharro nº 1, que es el siguiente en la relación valor/peso. Eso supone que, de los y salen dos ramas que analizan la posibilidad de abandonar o tomar el cacharro nº 1.

6 Cacharro nº Valor V0 r2 r1 G G = 28 r V 0 0 G G = G = 28

7 Cacharro nº Valor G G = 28 r V G Maxp(V) = cacharros : c4+ c6+ c2* 12 Peso : = Valor : = G Como el máximo valor potencial que toma esta rama 56 es menor que el valor de la mochila en el vértice, no es necesario continuar la búsqueda por esta rama y procedemos a su poda

8 Cacharro nº Valor G = 28 G G Maxp() = 6.6 Como el máximo valor potencial que toma esta rama 6.6 es mayor que el valor de la mochila en el vértice, hay que continuar la búsqueda por esta rama. 24 cacharros : c1+ c4* 25 Peso : = Vlr a o : =

9 Cacharro nº Valor G = 28 V r G Como el máximo valor potencial que toma esta rama 8 es mayor que el valor de la mochila en el vértice, hay que continuar la búsqueda por esta rama. Pasamos a considerar si nos llevamos el cacharro número 4 G Maxp() = 69 G = 28 5 cacharros : c1+ c4+ c6* 10 5 Peso : = Valor : = 68 10

10 Cacharro nº Valor G = 28 0 V7 4 r7 G G r8 4 V8 V9 4 r9 r G ( 4) 1 4 r11 G r12 4 2

11 Cacharro nº Valor G = 28 0 V7 4 r7 G G G r8 r9 r10 r11 r12 V8 V G ( 4) G ( 4) = 6

12 Cacharro nº Valor G = 28 0 V7 4 G r7 r8 r9 r10 V8 V G 1 4 r11 G r G ( 4) Maxp(V7) = 55.6 < 6 2 cacharros : c1+ c6+ c2+ c1* 5 Peso : = 44 5 Vlor a : = G ( 4) = 6 Como el máximo valor potencial que toma esta rama, 55.6, es menor que el valor de la mochila en el vértice 1, no es necesario continuar la búsqueda por esta rama y procedemos a su poda

13 Cacharro nº Valor G = 28 0 G G G r8 r9 r10 r11 r12 V8 V Infactible G ( 4) = 6 El peso conjunto de los cacharros 1 y 4 excede la resistencia de la mochila

14 Cacharro nº Valor G = 28 0 G V9 4 G r9 r10 r11 r G 4 2 Infactible G ( 4) = 6 El peso conjunto de los cacharros, 1 y 4 excede la resistencia de la mochila

15 Cacharro nº Valor G = 28 0 Maxp(0) = 70 cacharros: c+ c1+ c6 Peso : = 44 Valor : = 70 G G ( 4) r10 G r11 G ( 4) = 6 G r Como el máximo valor potencial que toma esta rama 70 es mayor que el valor de la mochila en el vértice 1, es necesario continuar la búsqueda por esta rama. Nótese que este óptimo corresponde a una solución entera que aprovecha exactamente la capacidad de la mochila

16 Cacharro nº Valor G G ( 4) Como el máximo valor potencial que toma esta rama, 56, es menor que el valor de la mochila en el vértice 1, no es necesario continuar la búsqueda por esta rama y procedemos a su poda. G G ( 4) = 6 G = 28 r10 r11 r Maxp(2) = 56 G 4 cacharros : c+ c6+ c2 + c5 2 G ( 4) = 28 Peso : < 44 Valor : = 56< 6

17 Cacharro nº Valor G = 28 0 G Pasamos a considerar la posibilidad y conveniencia de llevarnos o no el nº 6. G ( 4) r10 4 G r11 G ( 4) = 6 G 46 r1 r14 r15 r

18 Cacharro nº Valor Analizamos 4 ya que tenía máximo valor potencial correspondiente a una mochila llena con cacharros completos. G ( 46) = 70 G = 28 0 G 46 G ( 4) r1 r10 G r11 46 G ( 4) = 6 r14 r15 r16 G 6 146

19 Cacharro nº Valor Analizamos Maxp() cacharros : c+ c1+ c2+ c5 Pso e : = Valor : = 68 < Como este potencial, 68, es menor que la cota entera encontrada, 70, se poda. 46 G ( 46) G = 28 0 G G ( 4) r1 r10 G r11 46 G ( 4) = 6 r14 r15 r G ( 46) = 70 G 6 146

20 Cacharro nº Valor Analizamos el vértice 15. Maxp(5) = 68 5 cacharros : c+ c4+ c2* 12 4 Peso : = Valor : = 68< Como este potencial es menor que la cota entera encontrada, 70, se poda. r10 G ( 46) = G G ( 4) 4 46 G ( 46) = 70 r14 G r15 r11 46 G = 28 G ( 4) = 6 r16 G 6 146

21 Cacharro nº Valor G = 28 0 G G ( 4) r10 G r11 G ( 4) = 6 G Por último, el vértice 16 supone una solución infactible porque el peso de los tres objetos es superior a lo que la mochila puede aguantar. r G ( 46) = 70 r16 Infactible 6 146

22 G V7 V 4 G r G ( 4) r7 V r2 r8 G ( 46) G r1 V9 4 r9 V0 46 r1 G ( 4) 4 r10 4 r14 0 G 1 G ( 46) = 70 G = 28 r r15 46 G ( 4) = 6 G ( 46) = 6 r16 G = 28 r G ( 4) =

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